Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules arithmétiques logarithmiques,

stabilité par opérations cohomologiques

Daniel Caro

Received: April 23, 2016 Revised: August 8, 2016

Communicated by Takeshi Saito

Abstract. Let 𝒱 be a complete discrete valuation ring of unequal characteristic with perfect residue field, 𝒫 be a smooth, quasi-compact, separated formal scheme over 𝒱, 𝒵 be a strict normal crossing divisor of 𝒫 and 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵) the induced smooth formal log-scheme over 𝒱. In Berthelot’s theory of arithmetic 𝒟-modules, we work with the inductive system of sheaves of rings 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)} := (𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)})_{m∈ℕ}, where 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}is the p-adic completion of the ring of differential operators of level m over 𝒫^{♯}. Moreover, he introduced the sheaf 𝒟_{𝒫^{♯},ℚ}^{†} := lim_{−→_{m}}𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}⊗_{ℤ} ℚ of differential operators over 𝒫^{♯}of

finite level. In this paper, we define the notion of (over)coherence for complexes of 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}-modules. In this inductive system context, we prove some classical properties including that of Berthelot-Kashiwara’s theorem. Moreover, when 𝒵 is empty, we check this notion is compatible to that already known of (over)coherence for complexes of 𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} -modules.

2010 Mathematics Subject Classification: 14F30 Keywords and Phrases: Arithmetic 𝒟-modules, p-adic cohomology, de Rham cohomology

Table des matières

1 Localisations de catégories dérivées de systèmes inductifs sur le niveau de 𝒟-modules arithmétiques 1520 1.1 Rappels et définitions de Berthelot dans le cas des complexes . . . . .1520 1.2 Point de vue de la catégorie dérivée d’une catégorie abélienne quotient

à la Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1524 1.3 Propriétés locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1530 1.4 Bifoncteurs homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1531

2 Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules arithmétiques 1536 2.1 Cohérence à ind-isogénie près . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1536 2.2 Cohérence à lim-ind-isogénie près . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1545 2.3 Cohérence au sens de Berthelot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1547 2.4 Sur une équivalence de catégories des complexes à cohomologie co-

hérente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1548 2.5 Comparaison entre les notions de cohérence . . . . . . . . . . . . . .1550

3 Foncteur de localisation en dehors d’un diviseur 1554 3.1 Produits tensoriels, quasi-cohérence et foncteur oubli . . . . . . . . .1554 3.2 Définition et propriétés dans le cas des complexes . . . . . . . . . . .1556 3.3 Définition et propriétés dans le cas des modules . . . . . . . . . . . .1564 3.4 Théorème de type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1565 3.5 Un critère de stabilité de la cohérence par localisation en dehors d’un

diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1567

4 Foncteur cohomologique local à support strict dans un fermé, foncteur de localisation en dehors d’un fermé 1571 4.1 Triangle distingué de localisation relativement à un diviseur . . . . . .1571 4.2 Commutations et compatibilités des foncteurs locaux et de localisa-

tion dans le cas d’un diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1573 4.3 Foncteur cohomologique local à support strict dans un sous-schéma

fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1576 4.4 Foncteur de localisation en dehors d’un sous-schéma fermé . . . . . .1578

5 Surcohérence 1580 5.1 Image inverse extraordinaire, image directe . . . . . . . . . . . . . .1580 5.2 Stabilité par image inverse du coefficient constant avec singularités

surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1583 5.3 Surcohérence dans un 𝒱-schéma formel lisse, stabilité par image in-

verse extraordinaire par une immersion fermée . . . . . . . . . . . .1588 5.4 Surcohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1591

A Théorème de Berthelot-Kashiwara avec log-structures et coefficients 1594

Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules … 1517

B Preuve direct de la cohérence du coefficient constant avec singularités surconvergentes pour les systèmes inductifs 1602 Introduction

Soit 𝒱 un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0,p), de corps résiduel parfait. Soient 𝒫 un 𝒱-schéma formel séparé, quasi-compact, lisse et P sa fibre spéciale. Pour tout entier m ∈ ℕ, Berthelot a construit dans [Ber96b] le faisceau d’anneaux 𝒟_{𝒫}^{(m)} des opérateurs différentiels sur 𝒫 de niveau m. En le complétant p-adiquement, on obtient le faisceau d’anneaux 𝒟̂_{𝒫}^{(m)}. On dispose de plus des morphismes canoniques de changement de niveaux 𝒟̂_{𝒫}^{(m)} → 𝒟̂_{𝒫}^{(m+1)} (voir [Ber96b]), ce qui donne le système inductif d’anneaux 𝒟̂_{𝒫}^{(•)} := (𝒟̂_{𝒫}^{(m)})_{m∈ℕ}. Berthelot construit le faisceau des opérateurs différentiels de niveau fini en posant 𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} := lim_{−→_{m}}𝒟̂_{𝒫}^{(m)}⊗_{ℤ} ℚ.

Par tensorisation par ℚ et passage à la limite sur le niveau, on obtient le foncteur noté \underrightarrow{lim}: D^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) → D^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ). Afin d’obtenir un foncteur pleinement fidèle qui

factorise ce foncteur \underrightarrow{lim}, Berthelot a introduit la catégorie \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) qui est une lo-

calisation de D^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}). Il a défini la sous-catégorie pleine des complexes cohérents de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) qu’il note \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}). Il a alors établi que le foncteur \underrightarrow{lim} induit l’équivalence de catégories

(∗) \underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) ≅ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ).

Nous avions défini dans [Car04] la sous-catégorie pleine notée D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ) de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ) des complexes surcohérents. Par définition, un complexe ℰ de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ) est surcohérent s’il vérifie la propriété suivante : pour n’importe quel morphisme lisse f: 𝒫′→ 𝒫, pour n’importe quel diviseur T′de la fibre spéciale de 𝒫′, on a (^{†}T′) ∘ f^{!}(ℰ) ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫′,ℚ}^{†} ), où (^{†}T′) est le foncteur de localisation en dehors

de T′. Si ℰ est un objet D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} ) et ℰ^{(•)} est un objet de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) tel que \underrightarrow{lim}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ, il n’est pas évident que ℰ^{(•)} vérifie les mêmes propriétés de stabilité

que ℰ. La raison est que pour tout objet ℱ^{(•)} de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}), la propriété que \underrightarrow{lim}(ℱ^{(•)}) soit cohérent n’implique pas que ℱ^{(•)} soit cohérent. Soient 𝒵 un diviseur à croisements normaux strict de 𝒫, 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵) le schéma formal logarithmique lisse sur 𝒱 induit et T un diviseur de P. Toutes les constructions des faisceaux des opérateurs différentiels ci-dessus restent valable en rajoutant des singularités surconvergentes le long de T (voir [Ber96b]) ou en rajoutant des singularités logarithmiques (voir [Mon02] ou [Car09]). Dans ce papier, nous introduisons de manière analogue la notion de (sur)cohérence pour un complexe de D(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ou de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) (pour ce dernier, on retrouve la notion usuelle de surcohérence lorsque 𝒵 est vide). Nous étendons aussi quelques propriétés standards de la théorie des 𝒟-modules arithmétiques à ce contexte logarithmique de systèmes inductifs, notamment le théorème de Berthelot-Kashiwara (voir le théorème 5.3.7). En notant \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)) des complexes surcohérents (la notion de surcohérence lorsque 𝒵 est non vide n’est pas intéressante), nous vérifions que l’on dispose de l’équivalence de catégories

(∗∗) \underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)) ≅ D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫}^{†} (^{†}T)_{ℚ})

Le point crucial de cette équivalence (**) est le théorème 3.5.1 dont le corollaire 3.5.2 signifie que si la localisation en dehors d’un certain diviseur T de P de l’image par \underrightarrow{lim} d’un complexe cohérent ℰ^{(•)} reste cohérent, alors la localisation en dehors de ce diviseur T de ℰ^{(•)} reste cohérent. Pour comprendre la pertinence fondamentale de cette équivalence de catégories dans les problèmes de stabilité en théorie des 𝒟-modules arithmétiques, on peut aussi consulter la remarque 5.4.9.

Précisons à présent le contenu de ce papier. Notons M(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la catégorie des

𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules (toujours à gauche par défaut). Dans le premier chapitre, en loca-

lisant la catégorie M(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de manière identique à Berthelot pour les complexes,

on introduit la catégorie \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Nous vérifions que c’est une catégorie abé-

lienne quotient à la Serre de M(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Dans le second chapitre, nous définissons

les objets de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui sont cohérents à lim-ind-isogénies près. Cette notion de cohérence à lim-ind-isogénies près est locale sur 𝒫^{♯}, ce qui est la motivation principale de son introduction. De plus, en notant D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) la sous-catégorie

pleine de D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) des complexes dont les espaces de cohomologie sont cohérents à lim-ind-isogénie près, on vérifie l’équivalence canonique de catégories de la forme

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).

Nous établissons aussi un des résultats techniques utiles dans la preuve du résultat central du troisième chapitre (i.e. le théorème 3.5.1 déjà évoqué ci-dessus) qui est que pour vérifier qu’un morphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) soit un isomorphisme, il suffit de

le prouver pour ses espaces de cohomologie calculés dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ce qui nous ramène ainsi au cas des modules. Dans le troisième chapitre, nous rappelons et étudions le foncteur de localisation en dehors d’un diviseur puis nous établissons le point clé de ce papier évoqué ci-dessus concernant la stabilité de la cohérence par foncteur de localisation en dehors d’un diviseur. Dans le quatrième chapitre, nous rappelons la construction des foncteurs cohomologiques à support strict dans un fermé et de localisation en dehors d’un fermé de [Car04] (ou de [CT12] avec des structures logarithmiques) et complétons, lorsque cela est utile, la vérification de certaines de leurs propriétés (qui étendent celles de [Car04] au cas logarithmiques), notamment concernant la fonctorialité. Enfin, dans le dernier chapitre, nous définissons la notion de surcohérence dans le contexte des systèmes inductifs de 𝒟-modules arithmétiques logarithmiques et établissons l’équivalence (∗∗).

Remerciement

Je remercie Tomoyuki Abe pour ses encouragements à rédiger en détail la partie concernant le foncteur cohomologique local ainsi que pour ses commentaires sur une version préliminaire. Je remercie Pierre Berthelot pour son avis sur les résultats de ce papier. Je remercie enfin l’IUF pour son soutien.

Notations

Dans ce papier, on désigne par 𝒱 un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0,p), k son corps résiduel supposé parfait, K son corps des fractions et π une uniformisante. Les faisceaux seront notés par des lettres calligraphiques, leurs sections globales par la lettre droite associée. Les modules sont par défaut à gauche. On notera avec des chapeaux les complétions p-adiques et si ℰ est un faisceau en groupes abéliens alors on posera ℰ_{ℚ} := ℰ ⊗_{ℤ} ℚ. Soient 𝒜 un faisceau d’anneaux sur un espace topologique X. Si ∗ est l’un des symboles +, −, ou b, D^{∗}(𝒜) désigne la catégorie dérivée des complexes de 𝒜-modules (à gauche) vérifiant les conditions correspondantes d’annulation des faisceaux de cohomologie. Lorsque l’on souhaite préciser entre droite et gauche, on précise alors comme suit D^{∗}(^{g}𝒜) ou D^{∗}(𝒜^{d}). On note D_{coh}^{b}(𝒜) la sous-catégorie pleine de D(𝒜) des complexes à cohomologie cohérente et bornée. On suppose (sans nuire à la généralité) que tous les k-schémas sont réduits et on pourra confondre les diviseurs avec leur support.

Les 𝒱-schémas formels (logarithmiques) seront indiqués par des lettres calligraphiques ou gothiques et leur fibre spéciale par la lettre droite correspondante. Par défaut, tous les schémas ou schémas formels seront quasi-compacts. On se donne de plus 𝒫 un 𝒱-schéma formel séparé, lisse (et quasi-compact), T un diviseur de P, 𝒵 un diviseur à croisements normaux strict sur 𝒫 et 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵) le 𝒱-schéma formel logarithmique lisse dont la log-structure est donnée par 𝒵. Si 𝔘 est un ouvert de 𝒫, on notera 𝔘^{♯}:= (𝔘,𝒵 ∩ 𝔘). Pour alléger les notations, on notera alors 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T) :=

ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}, où ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T) désigne les faisceaux d’anneaux construits par Berthe-

lot dans [Ber96b, 4.2.3] et 𝒟_{𝒫^{♯}}^{(m)}est le faisceau des opérateurs différentiels de niveau m sur 𝒫 (voir [Ber96b, 2.2] pour la version non-logarithmique ou [Car09, 1] en général). On fixe λ_{0}: ℕ → ℕ une application croissante telle que λ_{0}(m) ≥ m. On pose alors ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) := ℬ̂_{𝒫}^{(λ_{0}(m))}(T) et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T) := ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}. Nous verrons d’ailleurs a posteriori (voir 2.2.6 et 2.3.4), que l’hypothèse λ_{0} = id ne nuit pas à la généralité. Enfin, si f: 𝔛 → 𝒫 (resp. f^{♯}: 𝔛^{♯} → 𝒫^{♯}) est un morphisme de 𝒱-schémas formels (resp. logarithmiques) lisses, pour tout entier i ∈ ℕ, on note f_{i}: X_{i} → P_{i} (resp. f_{i}^{♯}: X_{i}^{♯}→ P_{i}^{♯}) le morphisme induit modulo π^{i+1} . On pose enfin 𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) := 𝒱/π^{i+1} ⊗_{𝒱} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T) =

ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}} 𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)} et 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) := ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}} 𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)}.

1 Localisations de catégories dérivées de systèmes inductifs sur le niveau de 𝒟-modules arithmétiques

1.1 Rappels et définitions de Berthelot dans le cas des complexes

Nous utiliserons dans ce papier toutes les notations qui suivent :

1.1.1 (Catégories localisées de la forme \underrightarrow{LD}_{ℚ} de Berthelot). On rappelle ici les constructions de Berthelot de [Ber02, 4.2.1 et 4.2.2] (Ce sont des cas particuliers pour simplifier la présentation de cette introduction [Ber02]). On dispose du système inductif d’anneaux 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) := (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T))_{m∈ℕ} (les morphismes de transition sont construits de manière analogue à [Ber96b]). Nous disposons de la catégorie dérivée D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), où ♯ ∈ {∅,+,−,b}. Les objets de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) seront notés ℰ^{(•)} = (ℰ^{(m)},α^{(m′,m)}), où m,m′parcourent les entiers positifs tels que m′≥ m, où ℰ^{(m)} est un complexe de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)-modules et α^{(m′,m)}: ℰ^{(m)} → ℰ^{(m′)} sont les morphismes

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)-linéaires de transition.

• Soit M l’ensemble filtrant (muni de la relation d’ordre canonique) des applications croissantes χ: ℕ → ℕ. Pour toute application χ ∈ M, on note χ^{∗}(ℰ^{(•)}) := (ℰ^{(m)},p^{χ(m′)−χ(m)}α^{(m′,m)}). On obtient en fait un foncteur χ^{∗}: D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) →

D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la manière suivante : si f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), le morphisme de niveau m de χ^{∗}f^{(•)} est f^{(m)}. Si χ_{1},χ_{2} ∈ M, on calcule que χ_{1}^{∗} ∘ χ_{2}^{∗} = (χ_{1} + χ_{2})^{∗}, en particulier χ_{1}^{∗} et χ_{2}^{∗} commutent. De plus, si χ_{1} ≤ χ_{2}, alors on dispose du morphisme canonique χ_{1}^{∗}(ℰ^{(•)}) → χ_{2}^{∗}(ℰ^{(•)}) défini par p^{χ_{2}(m)−χ_{1}(m)} : ℰ^{(m)} → ℰ^{(m)}. Un morphisme f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une ind-isogénie s’il existe χ ∈ M et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes g^{(•)}∘ f^{(•)} et χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques (on prend χ_{1} = 0 et χ_{2} = χ). L’ensemble des ind-isogénies est un système inductif (cela découle de la proposition [Har66, I.4.2] et du lemme 1.1.2 ci-dessous). La catégorie obtenue en localisant D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) par rapport aux ind-isogénies se note \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

• Soit L l’ensemble filtrant (muni de la relation d’ordre canonique) des applications croissantes λ: ℕ → ℕ telles que λ(m) ≥ m. Pour tout λ ∈ L, on note λ^{∗}(ℰ^{(•)}) := (ℰ^{(λ(m))},α^{(λ(m′),λ(m))})_{m′≥m}. Si λ_{1},λ_{2} ∈ L, on calcule que λ_{1}^{∗} ∘ λ_{2}^{∗} = (λ_{1} ∘ λ_{2})^{∗}. De plus, si λ_{1} ≤ λ_{2}, on dispose alors du morphisme canonique λ_{1}^{∗}(ℰ^{(•)}) → λ_{2}^{∗}(ℰ^{(•)}) défini au niveau m par le morphisme α^{(λ_{2}(m),λ_{1}(m))}: ℰ^{(λ_{1}(m))}→ ℰ^{(λ_{2}(m))}. Comme pour [Ber02, 4.2.2], on note Λ^{♯}l’ensemble des morphismes f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels qu’il existe

λ ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ^{∗}ℰ^{(•)} de \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les mor-

phismes g^{(•)} ∘ f^{(•)} et λ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques (i.e. on prend λ_{1} = id et λ_{2} = λ). Par commodité pour en référer, convenons que les morphismes de Λ^{♯} sont les « lim-isomorphismes ». On vérifie que Λ^{♯} est un système multiplication (à nouveau, utiliser [Har66, I.4.2] et 1.1.2). La catégorie obtenue en localisant \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) par rapport aux lim-

isomorphismes sera notée \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

• Si χ_{1} ≤ χ_{2} dans M et λ_{1} ≤ λ_{2} dans L, on obtient alors par composition le morphisme canonique λ_{1}^{∗}χ_{1}^{∗} → λ_{2}^{∗}χ_{2}^{∗}. De plus, en considérant χ_{1} ∘ λ_{1} comme un élément de M, on obtient l’égalité λ_{1}^{∗}χ_{1}^{∗} = (χ_{1} ∘ λ_{1})^{∗}λ_{1}^{∗}. On note S^{♯} l’ensemble des morphismes f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels qu’il existe χ ∈ M, λ ∈ L

et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes

g^{(•)} ∘ f^{(•)} et λ^{∗}χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques. Les morphismes de S^{♯}sont appelés les « lim-ind-isogénies ». De même que pour Λ^{♯}, on vérifie que S^{♯}est un système multiplicatif. Plus précisément, cela découle de la proposition [Har66, I.4.2] et du lemme 1.1.2 ci-dessous.

Lemme 1.1.2. Pour tout 𝒢^{(•)} ∈ D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), notons

H_{𝒢^{(•)}} , I_{𝒢^{(•)}} , J_{𝒢^{(•)}} : D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → 𝔄𝔟

les foncteurs cohomologiques à valeur dans la catégorie des groupes abéliens définis respectivement en posant pour tout ℰ^{(•)} ∈ D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

H_{𝒢^{(•)}} (ℰ^{(•)}) := \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(𝒢^{(•)},χ^{∗}ℰ^{(•)}),

I_{𝒢^{(•)}} (ℰ^{(•)}) := \underrightarrow{lim}_{λ∈L}Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(𝒢^{(•)},λ^{∗}ℰ^{(•)}),  (1.1.2.1)

J_{𝒢^{(•)}} (ℰ^{(•)}) := \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(𝒢^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)}).

Soit f: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le morphisme f^{(•)} est une indisogénie (resp. un lim-isomorphisme, resp. une lim-ind-isogénie) si et seulement si H_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}) (resp. I_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}), resp. J_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)})) est un isomorphisme pour tout 𝒢^{(•)} ∈

D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. 0) Les deux autres cas se vérifiant de la même manière (on omet soit les χ soit les λ), traitons seulement le dernier cas respectif.

1) Supposons que f^{(•)} ∈ S^{♯}. Il existe alors χ_{0} ∈ M, λ_{0} ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes g^{(•)} ∘ f^{(•)} et

λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques.

a) Vérifions que J_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}) est injective. Soit un morphisme u^{(•)}: 𝒢^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} tel que λ^{∗}χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ u^{(•)} = 0. Il s’agit de vérifier que, quitte à augmenter λ et χ, alors u^{(•)} = 0. Quitte à augmenter χ_{0}, χ, λ_{0} ou λ, on peut supposer que λ = λ_{0} et χ = χ_{0} ∘ λ_{0} (on remarque que χ_{0} ∘ λ_{0} ∈ M et sera toujours considéré comme un élément de M). Il en résulte λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}(g^{(•)}) ∘ λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}(f^{(•)}) ∘ u^{(•)} = 0. Cela signifie que le morphisme u^{(•)}: 𝒢^{(•)} → λ_{0}^{∗}(χ_{0} ∘ λ_{0})^{∗}ℰ^{(•)} composé avec le morphisme canonique λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}ℰ^{(•)} → λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)} est le morphisme nul. Quoique les foncteurs λ_{0}^{∗} et (χ_{0} ∘ λ_{0})^{∗} ne commutent pas, on dispose cependant du diagramme commutatif de foncteurs dont tous les morphismes sont les morphismes canoniques

[figure: (χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}; λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}; λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}χ_{0}^{∗}; (χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}λ_{0}^{∗}; λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}; λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}; (χ_{0}∘ λ_{0})^{∗}λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}; λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}.]  (1.1.2.2)

En appliquant λ_{0}^{∗} au diagramme 1.1.2.2, on vérifie alors qu’en composant le morphisme u^{(•)} avec le morphisme canonique λ_{0}^{∗}(χ_{0} ∘ λ_{0})^{∗}ℰ^{(•)} → λ_{0}^{∗}λ_{0}^{∗}(χ_{0} ∘ λ_{0})^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)}, on obtient le morphisme nul. Ainsi la classe de u^{(•)} dans J_{𝒢^{(•)}} (ℰ^{(•)}) est nulle.

b) Vérifions la surjectivité de J_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}). Soit un morphisme v^{(•)}: 𝒢^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}. Quitte à augmenter χ_{0}, χ, λ_{0} ou λ, on peut supposer que λ = λ_{0} et χ = χ_{0}∘λ_{0}. Posons u^{(•)} := λ^{∗}χ^{∗}(g^{(•)})∘v^{(•)}: 𝒢^{(•)} → λ_{0}^{∗}(χ_{0}∘λ_{0})^{∗}λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)} = λ_{0}^{∗}λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)}. En utilisant de nouveau la commutativité de 1.1.2.2 auquel on a appliqué λ_{0}^{∗}, on vérifie de même la classe de u^{(•)} s’envoie sur la classe de v^{(•)} via J_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}).

2) Supposons à présent que J_{𝒢^{(•)}} (f^{(•)}) soit un isomorphisme quelque soit 𝒢^{(•)} ∈

D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme J_{ℱ^{(•)}} (f^{(•)}) est en particulier surjectif, il existe alors χ_{0} ∈ M,

λ_{0} ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel que le morphisme

λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est le morphisme canonique. Le foncteur J_{ℰ^{(•)}} (f^{(•)}) envoie la classe de g^{(•)} ∘ f^{(•)} sur la classe de λ_{0}^{∗}χ_{0}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} ∘ f^{(•)}, qui est aussi la classe de f^{(•)}. Comme J_{ℰ^{(•)}} (f^{(•)}) est en particulier injectif, la classe de g^{(•)}∘ f^{(•)} est égale à la classe de l’identité de ℰ^{(•)}. Quitte à augmenter λ_{0} et χ_{0}, il en résulte que le morphisme g^{(•)}∘ f^{(•)} est le morphisme canonique.

1.1.3. Un morphisme f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est représenté par un morphisme ϕ^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} pour un certain χ ∈ M. De plus, deux morphismes ϕ_{1}^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)} et ϕ_{2}^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ_{2}^{∗}ℱ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) induisent la même flèche

de \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement s’il existe χ ≥ χ_{1},χ_{2}, tels que les deux flèches com-

posées ℰ^{(•)} −→^{ϕ_{1}^{(•)}} χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} et ℰ^{(•)} −→^{ϕ_{2}^{(•)}} χ_{2}^{∗}ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} soient égales. Pour

résumer, pour tous ℰ^{(•)},ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on dispose de la formule

Hom_{\underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) = \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},χ^{∗}ℱ^{(•)}).  (1.1.3.1)

De même, on dispose, pour tous ℰ^{(•)},ℱ^{(•)} ∈ S^{−1} D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), de l’égalité :

Hom_{S^{−1} D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) = \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}). (1.1.3.2)

Lemme 1.1.4. 1. Soient χ_{1} ∈ M et f^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)} un morphisme de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). S’il existe χ_{2} ∈ M et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → χ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel que χ_{1}^{∗}(g^{(•)}) ∘ f^{(•)} et χ_{2}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} sont dans \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) les morphismes canoniques, alors f^{(•)} est une ind-isogénie.

2. Soient χ_{1} ∈ M, λ_{1} ∈ L et f^{(•)}: ℰ^{(•)} → λ_{1}^{∗}χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)} un morphisme de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). S’il existe χ_{2} ∈ M, λ_{2} ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ_{2}^{∗}χ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes λ_{1}^{∗}χ_{1}^{∗}(g^{(•)}) ∘ f^{(•)} et λ_{2}^{∗}χ_{2}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} sont les morphismes canoniques dans S^{−1} D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors f^{(•)} est une lim-ind-isogénie.

Démonstration. 1) Traitons d’abord la première assertion. a) Dans un premier temps supposons χ_{1} = 0, i.e. χ_{1}^{∗} = id. Par hypothèse, il existe alors χ ≥ χ_{2} tel que g^{(•)}∘ f^{(•)} composé avec la flèche canonique χ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} soit la flèche canonique dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et tel que χ_{2}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} composé avec la flèche canonique χ_{2}^{∗}ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} soit la flèche canonique dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). En notant h^{(•)} le composé de g^{(•)} avec le morphisme canonique χ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)}, on vérifie alors que h^{(•)} ∘ f^{(•)} et χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ h^{(•)} sont dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) les morphismes canoniques.

b) Revenons à présent au cas général. En composant deux flèches consécutives de

la suite ℰ^{(•)} −→_{f^{(•)}} χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)} −→_{χ_{1}^{∗}(g^{(•)})} χ_{1}^{∗}χ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} −→_{χ_{1}^{∗}χ_{2}^{∗}(f^{(•)})} χ_{1}^{∗}χ_{2}^{∗}(χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)}) on obtient les mor-

phismes canoniques dans \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’où le résultat d’après le cas a) traité cidessus.

2) Pour la seconde assertion, on procède de manière analogue : on traite d’abord le cas où λ_{1} = id et χ_{1} = 0, puis le cas général (on remplace partout χ_{i}^{∗} par λ_{i}^{∗}χ_{i}^{∗} pour i = 1,2). Lemme 1.1.5. On dispose de l’équivalence canonique de catégories S^{♯−1}D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui est l’identité sur les objets.

Démonstration. Comme le foncteur canonique D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) envoie une lim-ind-isogénie sur un lim-isomorphisme, le foncteur canonique D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) se factorise canoniquement en le foncteur S^{♯−1}D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Réciproquement, comme une ind-isogénie est en particulier une limind-isogénie, on bénéficie du foncteur canonique \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → S^{♯−1}D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soit f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel qu’il existe λ_{2} ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → λ_{2}^{∗}ℰ^{(•)} de \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que g^{(•)} ∘ f^{(•)} et λ_{2}^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} sont les morphismes canoniques. Il existe χ_{1} ∈ M tel que f^{(•)} soit représenté par un morphisme de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ϕ^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℱ^{(•)}. Il existe

χ_{2} ∈ M tel que g^{(•)} soit représenté par un morphisme de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ψ^{(•)}: ℱ^{(•)} → χ_{2}^{∗}λ_{2}^{∗}ℰ^{(•)}. On vérifie alors que χ_{1}^{∗}(ψ^{(•)}) ∘ ϕ^{(•)} et χ_{2}^{∗}λ_{2}^{∗}(ϕ^{(•)}) ∘ ψ^{(•)} sont dans \underrightarrow{D}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (et donc dans S^{−1} D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) les morphismes canoniques. D’après le lemme 1.1.4.2, on en déduit que ϕ^{(•)} est une lim-ind-isogénie.

1.1.6. Il découle du lemme 1.1.5 et de 1.1.3.2 que l’on dispose, pour tous ℰ^{(•)},ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), de l’égalité :

Hom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) = \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}). (1.1.6.1)

Remarques 1.1.7. • Soit ϕ^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Grâce à 1.1.3 et 1.1.4 (resp. et 1.1.6), on vérifie alors que ϕ^{(•)} est un isomorphisme dans \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) si et seulement si ϕ^{(•)} est une ind-isogénie (resp. ϕ^{(•)} ∈ S).

• On déduit du premier point qu’un complexe ℰ^{(•)} de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est isomorphe

à 0 dans \underrightarrow{D}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) si et seulement s’il existe χ ∈ M (resp. χ ∈ M et λ ∈ L) tels que la flèche canonique ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} (resp. ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)}) est le morphisme nul.

1.2 Point de vue de la catégorie dérivée d’une catégorie abélienne quotient à la Serre

1.2.1. Notons M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la catégorie des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules. Les 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules seront notés ℰ^{(•)} = (ℰ^{(m)},α^{(m′,m)}), où m,m′ parcourent les entiers positifs tels que m′≥ m, où ℰ^{(m)} désigne un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)-module et α^{(m′,m)}: ℰ^{(m)} → ℰ^{(m′)} sont les mor-

phismes 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)-linéaires de transition. Pour tout χ ∈ M, on note de manière analogue à 1.1.1 χ^{∗}(ℰ^{(•)}) := (ℰ^{(m)},p^{χ(m′)−χ(m)}α^{(m′,m)}). En fait, on obtient le foncteur χ^{∗}: M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ce dernier étant l’identité sur les flèches entre les modules au niveau m fixé. De plus, comme pour 1.1.1, pour tout λ ∈ L, on note λ^{∗}(ℰ^{(•)}) := (ℰ^{(λ(m))},α^{(λ(m′),λ(m))}). Comme pour 1.1.1, on définit le système multiplicatif des ind-isogénies (resp. des lim-ind-isogénies) de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et on note \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. S^{−1} M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) la catégorie localisée par les ind-isogénies (resp. par les lim-ind-isogénies). Comme pour 1.1.1 (on remplace ici l’utilisation de [Har66, I.4.2] par [KS06, Exercice 7.5]), on définit le système multiplicatif des lim-isomorphismes de \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et on note

\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la catégorie localisée.

Tous les résultats entre le lemme 1.1.3 et les remarques 1.1.7 restent valables pour les modules à la place des complexes. Par exemple, de manière identique à 1.1.5, on vérifie l’équivalence canonique de catégories S^{−1} M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Ainsi,

les objets de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont ceux de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et ses flèches sont comme pour

1.1.6.1 données par la formule : pour tous ℰ^{(•)},ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) = \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{M(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}). (1.2.1.1)

1.2.2. En remplaçant 𝒟 par D, on définit de manière identique à 1.2.1 les catégories M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), \underrightarrow{M}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), S^{−1} M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et \underrightarrow{LM}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De même, les résultats entre le lemme 1.1.3 et les remarques 1.1.7 sont toujours valables dans ce contexte.

Lemme 1.2.3. Le foncteur canonique \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est pleinement fidèle.

Démonstration. Cela résulte du fait que l’application

Hom_{M(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}) → Hom_{D(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)})

est bijective et que l’on dispose des égalités 1.1.6.1 et 1.2.1.1.

Lemme 1.2.4. Soit N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des modules

nuls dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

1. La catégorie N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une sous-catégorie de Serre de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

2. On dispose de l’égalité : M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))/N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) = S^{−1} M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅

\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). En particulier, \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une catégorie abélienne et

le système multiplicatif des lim-ind-isogénies de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est saturé.

Démonstration. 1) Il est clair que N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est stable par isomorphismes. D’après l’analogue de la remarque 1.1.7 (on remplace les complexes par les modules), un objet ℰ^{(•)} de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est dans N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement s’il existe χ ∈ M, λ ∈ L tels que le morphisme canonique ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} soit le morphisme nul. Il en résulte aussitôt que N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est stable par sous-objets, sous-quotients. De plus, soit

0 → ℱ^{(•)} → ℰ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → 0 une suite exacte de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) telle que ℱ^{(•)},𝒢^{(•)} ∈

N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soient χ ∈ M, λ ∈ L tels que les morphismes canoniques ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} et 𝒢^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}𝒢^{(•)} sont les morphismes nuls. Comme les foncteurs χ^{∗} et λ^{∗} sont exacts, on obtient la suite exacte courte 0 → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}𝒢^{(•)} → 0 dans M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). L’image du morphisme canonique ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} est alors incluse dans λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}. On en déduit que le morphisme canonique ℰ^{(•)} → (λ ∘ λ)^{∗}(2χ)^{∗}ℰ^{(•)} est le morphisme nul.

2) Notons S_{N} le système multiplicatif saturé associé à la sous-catégorie de Serre N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Rappelons que les éléments de S_{N} sont les flèches de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) dont le noyau et le conoyau sont dans N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il s’agit de vérifier que S_{N} = S.

a) Soit 0 → ℱ^{(•)} → ℰ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → 0 une suite exacte de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Supposons ℱ^{(•)} ∈ N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soient χ ∈ M, λ ∈ L tel que le morphisme canonique ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} soit nul. On obtient alors un morphisme 𝒢^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} qui donne un inverse à ℰ^{(•)} → 𝒢^{(•)} dans S^{−1} M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De même, si 𝒢^{(•)} ∈ N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on vérifie que ℱ^{(•)} → ℰ^{(•)} est un isomorphisme dans S^{−1} M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

b) Soit ϕ: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). En utilisant a), on vérifie que si kerϕ et cokerϕ appartiennent à N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors ϕ est un isomorphisme dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), et donc ϕ ∈ S d’après le premier point de la remarque 1.1.7. Réciproquement, supposons que ϕ soit une lim-ind-isogénie de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soient χ ∈ M, λ ∈ L tels qu’il existe un morphisme canonique ψ: ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} dans M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel que ψ ∘ ϕ et λ^{∗}χ^{∗}(ϕ) ∘ ψ sont les morphismes canoniques. On vérifie alors que la composition kerϕ → λ^{∗}χ^{∗}kerϕ → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} est le morphisme nul. Comme λ^{∗}χ^{∗}kerϕ → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} est un monomorphisme, il en résulte que le morphisme canonique kerϕ → λ^{∗}χ^{∗}kerϕ est nul. De même, on vérifie que la composition ℱ^{(•)} → coker(ϕ) → λ^{∗}χ^{∗}coker(ϕ) est le morphisme nul. Comme ℱ^{(•)} → coker(ϕ) est un épimorphisme, on en déduit que le morphisme canonique coker(ϕ) → λ^{∗}χ^{∗}coker(ϕ) est le morphisme nul.

Remarques 1.2.5. Pour ♯ ∈ {+,−,b,∅}, notons D_{N(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-

catégorie pleine de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes dont les espaces de cohomologie sont dans N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Notons S_{Nqi}^{♯}le système multiplicatif saturé compatible à la triangulation de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui correspond à D_{N(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Par définition, un mor-

phisme f^{(•)} de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) appartient à S_{Nqi}^{♯}si et seulement si, pour tout triangle distingué (il en suffit d’un en fait) dans D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ℰ^{(•)} −→^{f^{(•)}} ℱ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → ℰ^{(•)}[1], pour tout entier n ∈ ℤ, on ait ℋ^{n}(𝒢^{(•)}) ∈ N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). Il découle du théorème [Miy91, 3.1] (on ne peut pas utiliser sa version plus faible et plus agréable à démontrer de [BP09, 2.6.2] car comme la sous-catégorie N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) n’est pas stable par limite inductive filtrante, le foncteur oubli N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ne possède pas de foncteur adjoint à droite), le foncteur canonique D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) induit canoniquement l’équivalence de catégories

S_{Nqi}^{♯−1}D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).  (1.2.5.1)

1.2.6. Pour tout entier n ∈ ℤ, on dispose du foncteur n-ième espace de cohomologie ℋ^{n}: D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) défini pour ℰ^{(•)} = (ℰ^{(m)},α^{(m′,m)}) ∈ D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) en posant ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) = (ℋ^{n}(ℰ^{(m)}),ℋ^{n}(α^{(m′,m)})). On dispose de l’isomorphisme canonique ℋ^{n}λ^{∗}χ^{∗}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} λ^{∗}χ^{∗}ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) qui s’inscrit dans le diagramme commutatif

[figure: ℋ^{n}(ℰ^{(•)}); ℋ^{n}λ^{∗}χ^{∗}(ℰ^{(•)}); ∼; ℋ^{n}(ℰ^{(•)}); λ^{∗}χ^{∗}ℋ^{n}(ℰ^{(•)})]

dont la flèche horizontale du bas est la flèche canonique tandis que celle du haut est l’image par ℋ^{n} du morphisme canonique. On en déduit que le foncteur ℋ^{n} envoie les lim-ind-isogénies sur les lim-ind-isogénies. Le foncteur ℋ^{n}se factorise alors en ℋ^{n}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Lemme 1.2.7. Le foncteur ℋ^{n}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) défini dans 1.2.6 est un foncteur cohomologique.

Démonstration. Par construction, un triangle distingué de \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est isomorphe dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à l’image d’un triangle distingué de K(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) par le foncteur canonique de localisation K(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme ℋ^{n}: K(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est un foncteur cohomologique, comme le foncteur de localisation M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) préserve les suites exactes (cela résulte des propriétés des localisations par une sous-catégorie de Serre et de 1.2.4), on en déduit le résultat.

Notations 1.2.8. Notons \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes ℰ^{(•)} tels que pour tout entier n ≠ 0 on ait ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Remarques 1.2.9. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Par définition, ℰ^{(•)} est un objet de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement si ℰ^{(•)} est un objet de D^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Cette condition est a priori plus forte que de demander qu’il existe N ∈ ℕ assez grand tel que, pour tout j ∉ [−N,N] ∩ ℤ on ait l’isomorphisme ℋ^{j}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il n’est donc pas clair que \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) soit une sous-catégorie strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

Lemme 1.2.10. Le foncteur canonique \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une équivalence de catégories. De plus, le foncteur ℋ^{0}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une équivalence de catégories quasi-inverse. Démonstration. Il résulte de 1.2.3 que le premier foncteur est pleinement fidèle. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il reste à prouver qu’il existe dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) un isomorphisme de la forme ℰ^{(•)} −→^{∼} ℋ^{0}(ℰ^{(•)}). Comme ℰ^{(•)} est un objet de D^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), il existe N ∈ ℕ assez grand tel que, pour tout j ∉ [−N,N] ∩ ℤ on ait l’isomorphisme ℋ^{j}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Pour tout entier n ∈ ℤ, on note σ_{≥n} (ℰ^{(•)}) et σ_{≤n} (ℰ^{(•)}) les troncations cohomologiques usuelles (voir les notations après la proposition [Har66, I.7.1]). On dispose ainsi par définition pour tout entier n ∈ ℤ de la suite exacte dans C(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme : 0 → σ_{≤−n−1} (ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} → σ_{≥−n} (ℰ^{(•)}) → 0.

1) Vérifions σ_{≤−1} (ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

a) Posons ℱ^{(•)} := σ_{≤−1} (ℰ^{(•)}). On dispose alors dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de l’isomorphisme σ_{≤−N−1} (ℱ^{(•)}) = σ_{≤−N−1} (ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0. En considérant la suite exacte de C(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) : 0 → σ_{≤−N−1} (ℱ^{(•)}) → ℱ^{(•)} → σ_{≥−N} (ℱ^{(•)}) → 0, on en déduit que le morphisme canonique ℱ^{(•)} → σ_{≥−N} (ℱ^{(•)}) est un isomorphisme de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

b) Pour tout j ∈ [−N,−1] ∩ ℤ, on dispose d’après [Har66, I.7.2] du triangle distingué dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) :

ℋ^{j}(ℱ^{(•)}) → σ_{≥j} (ℱ^{(•)}) → σ_{≥j+1} (ℱ^{(•)}) → +1.

Comme, pour tout j ∈ [−N,−1]∩ℤ, ℋ^{j}(ℱ^{(•)}) = ℋ^{j}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), il en résulte que la flèche σ_{≥j} (ℱ^{(•)}) → σ_{≥j+1} (ℱ^{(•)}) est un isomorphisme dans

\underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’où σ_{≥−N} (ℱ^{(•)}) −→^{∼} σ_{≥0} (ℱ^{(•)}) dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

c) Comme on a dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) l’isomorphisme σ_{≥0} (ℱ^{(•)}) = σ_{≥0} (σ_{≤−1} (ℰ^{(•)})) −→^{∼} 0, il résulte des étapes a) et b) que ℱ^{(•)} −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

2) Démontrons à présent que le morphisme canonique ℋ^{0}(ℰ^{(•)}) → σ_{≥0} (ℰ^{(•)}) (voir sa construction dans [Har66, I.7.2]) est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Posons 𝒢^{(•)} := σ_{≥0} (ℰ^{(•)}). De même que pour l’étape 1.b), on vérifie que le morphisme canonique σ_{≥1} (ℰ^{(•)}) = σ_{≥1} (𝒢^{(•)}) → σ_{≥N+1} (𝒢^{(•)}) est un isomorphisme dans

\underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme σ_{≥N+1} (𝒢^{(•)}) = σ_{≥N+1} (ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), il en

résulte que σ_{≥1} (ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). En considérant le triangle distingué de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (voir [Har66, I.7.2])

ℋ^{0}(ℰ^{(•)}) → σ_{≥0} (ℰ^{(•)}) → σ_{≥1} (ℰ^{(•)}) → +1,

on en déduit le résultat.

3) Via 1) et 2), on conclut grâce à la suite exacte 0 → σ_{≤−1} (ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} → σ_{≥0} (ℰ^{(•)}) → 0 dans C(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Corollaire 1.2.11. Avec les notations 1.2.5, on dispose de l’égalité S^{b} = S_{Nqi}^{b}. Pour ♯ ∈ {+,−,b,∅}, on dispose de l’inclusion S^{♯} ⊂ S_{Nqi}^{♯}. Le morphisme canonique D^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) induit par le foncteur de localisation M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) se factorise canoniquement en l’équivalence de catégories

\underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).  (1.2.11.1)

Démonstration. 1) Vérifions d’abord l’inclusion S_{Nqi}^{b} ⊂ S^{b}. Soient f^{(•)} ∈ S_{Nqi}^{b} et un triangle distingué dans D^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ℰ^{(•)} −→^{f^{(•)}} ℱ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → ℰ^{(•)}[1]. Par définition, pour tout entier n ∈ ℤ, ℋ^{n}(𝒢^{(•)}) ∈ N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Autrement dit, pour tout entier n ∈ ℤ, on a ℋ^{n}(𝒢^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’après 1.2.10, cela entraîne que 𝒢^{(•)} −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’après les propriétés concernant les catégories triangulées, f^{(•)} est donc un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’après la remarque 1.1.7, on obtient alors que f^{(•)} ∈ S^{b}.

2) Vérifions à présent l’inclusion S^{♯} ⊂ S_{Nqi}^{♯}. Soit f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le foncteur espace de cohomologie ℋ^{0}: D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est un foncteur cohomologique local, en considérant la suite exacte longue dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) déduite du triangle distingué dans D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ℰ^{(•)} −→^{f^{(•)}} ℱ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → ℰ^{(•)}[1], on vérifie que f^{(•)} ∈ S_{Nqi}^{♯} si et seulement si, pour tout entier n ∈ ℤ, ℋ^{n}(f^{(•)}) est un isomorphisme dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (qui est une catégorie abélienne). Or, si f^{(•)} ∈ S^{♯}, alors son image dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est un isomorphisme. Comme le foncteur ℋ^{n}: D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) se factorise par \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on en déduit l’inclusion S^{♯}⊂ S_{Nqi}^{♯}voulue.

3) Enfin l’équivalence canonique de catégories résulte de celle S_{Nqi}^{♯−1}D^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) de 1.2.5.1 ainsi que du lemme 1.1.5.

Corollaire 1.2.12. Soit ϕ: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le morphisme ϕ est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement si, pour tout entier n ∈ ℤ, le morphisme ℋ^{n}(ϕ): ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) → ℋ^{n}(ℱ^{(•)}) est un isomorphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Il existe un triangle distingué dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ℰ^{(•)} −→_{ϕ} ℱ^{(•)} → 𝒢^{(•)} → ℰ^{(•)}[1]. D’après les propriétés concernant les catégories triangulées, ϕ est un isomorphisme si et seulement si 𝒢^{(•)} −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

D’après 1.2.10, cela est équivalent à dire que, pour tout entier n ∈ ℤ, on ait ℋ^{n}(𝒢^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le lemme 1.2.7 nous permet de conclure.

1.3 Propriétés locales

Lemme 1.3.1. Le fait qu’un objet de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) soit un objet de N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est local en 𝒫.

Démonstration. Soit ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. D’après l’analogue de la seconde remarque 1.1.7 (on remplace les complexes par les modules), le fait que ℰ^{(•)} soit un objet de N(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) équivaut à dire qu’il existe χ ∈ M et λ ∈ L tels que la flèche

canonique ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} soit le morphisme nul (dans la catégorie M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). Soit (𝒫_{i})_{i∈I} un recouvrement ouvert de 𝒫 tel que, pour tout i ∈ I, il existe χ_{i} ∈ M et λ_{i} ∈ L tels que la flèche canonique ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → λ_{i}^{∗}χ_{i}^{∗}ℰ^{(•)}|𝒫_{i} soit le morphisme nul. Comme 𝒫 est quasi-compact, on peut supposer I fini. Il existe donc χ ∈ M et λ ∈ L tels que, pour tout i ∈ I, on ait χ ≥ χ_{i} et λ ≥ λ_{i}. Pour tout i ∈ I, le morphisme canonique ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → λ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)}|𝒫_{i} est donc le morphisme nul.

Lemme 1.3.2. Soit f: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le fait que ce morphisme soit un monomorphisme (resp. un épimorphisme, resp. un isomorphisme) est local en 𝒫.

Démonstration. On sait déjà que \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une catégorie abélienne (voir

1.2.4). Or, d’après le lemme 1.3.1, le fait d’être nul dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est local en 𝒫. D’où le résultat.

Proposition 1.3.3. Soit ϕ: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le fait que le morphisme ϕ soit un isomorphisme est local en 𝒫.

Démonstration. Cela résulte de 1.3.2 et 1.2.12.

Lemme 1.3.4. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La propriété ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est locale en 𝒫.

Démonstration. D’après 1.3.2, pour tout entier n ∈ ℤ, la propriété ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est locale en 𝒫.

Lemme 1.3.5. Soient ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} deux objets de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La construction d’un

morphisme dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme f: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} est locale en 𝒫.

Démonstration. Soient (𝒫_{i})_{i∈I} un recouvrement ouvert de 𝒫 et pour tout i ∈ I des morphismes f_{i}: ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → ℱ^{(•)}|𝒫_{i} dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫_{i}}^{(•)}(T ∩P_{i})) tels f_{i}|𝒫_{i}∩𝒫_{j} = f_{j}|𝒫_{i}∩𝒫_{j} pour tous i,j ∈ I. Comme 𝒫 est quasi-compact, on peut supposer I fini. Comme une famille finie d’éléments de L (resp. de M) est majorée par un élément de L (resp. de M), quitte à augmenter les éléments de L ou M qui apparaissent dans un choix de représentant des morphismes f_{i}, on peut supposer qu’il existe λ ∈ L et χ ∈ M, des morphismes a_{i}: ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}|𝒫_{i} dans M(𝒟̃_{𝒫_{i}}^{(•)}(T ∩P_{i})) représentant f_{i}. Quitte à nouveau à augmenter λ et χ, on peut en outre supposer que a_{i}|𝒫_{i}∩𝒫_{j} = a_{j}|𝒫_{i}∩𝒫_{j}. On obtient donc un morphisme a: ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} dans M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel que a_{i} = a|𝒫_{i}. D’où le résultat.

Lemme 1.3.6. Soient f, g: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} deux morphismes de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). L’éga-

lité f = g dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est locale en 𝒫.

Démonstration. L’égalité f = g équivaut à dire que le morphisme canonique ker(f − g) → ℰ^{(•)} est un isomorphisme. Cela résulte alors de 1.3.2.

1.4 Bifoncteurs homomorphismes

Proposition 1.4.1. Soient ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} deux objets de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Notons ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}) le préfaisceau en groupes abéliens sur 𝒫 défini par

𝔘 ↦ Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U))}(ℰ^{(•)}|𝔘, ℱ^{(•)}|𝔘). Alors ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}) est un

faisceau.

Démonstration. La proposition équivaut aux lemmes 1.3.5 et 1.3.6.

Notations 1.4.2. Notons Ab_{𝒫} la catégorie abélienne des faisceaux en groupes abéliens sur 𝒫. Soient ℰ^{(•), •}, ℱ^{(•), •} ∈ K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) (exceptionnellement, on indique le deuxième • pour préciser les notations qui suivent). Avec les notations de la proposition 1.4.1, on dispose du bifoncteur

ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−): K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) × K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → K(Ab_{𝒫} )

dont le n-ème terme pour tout entier n ∈ ℤ est défini en posant :

ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{n}(ℰ^{(•), •}, ℱ^{(•), •}) := ∏_{p∈ℤ} ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•),p}, ℱ^{(•), p+n})

(1.4.2.1)

et les morphismes de transition sont donnés par la formule d = d_{ℰ} + (−1)^{n+1} d_{ℱ} .

Notations 1.4.3. Notons Ab la catégorie des groupes abéliens. De manière analogue à la construction de 1.4.2, en y remplaçant partout « ℋom » par « Hom», on définit le bifoncteur (qui est d’ailleurs le bifoncteur classique des homomorphismes de la catégorie abélienne \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) :

Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−): K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) × K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → K(Ab).

Lemme 1.4.4. Soient 𝒞_{1}, 𝒞′_{1}, 𝒞 des catégories triangulées, 𝒩_{1}, 𝒩′_{1},𝒩 des systèmes nuls (voir la définition de [KS06, 10.2.2]) de respectivement 𝒞_{1}, 𝒞′_{1}, 𝒞. Soient 𝒩_{2}, 𝒩′_{2} des systèmes nuls de respectivement 𝒞_{2} := 𝒞_{1}/𝒩_{1}, 𝒞′_{2} := 𝒞′_{1}/𝒩′_{1}. Soient 𝒩_{3}, 𝒩′_{3} des systèmes nuls de respectivement 𝒞_{1}, 𝒞′_{1} tels que 𝒞_{1}/𝒩_{3} = 𝒞_{2}/𝒩_{2}, 𝒞′_{1}/𝒩′_{3} = 𝒞′_{2}/𝒩′_{2}. Soit F : 𝒞_{1}× 𝒞′_{1} → 𝒞 un bifoncteur triangulé. On suppose que la localisation à droite de F par rapport à (𝒩_{1}× 𝒩′_{1},𝒩) existe (voir la définition [KS06, 10.3.7]) et se note ℝ_{𝒩_{1}× 𝒩′_{1}}^{𝒩} F. Si l’une des conditions :

1. la localisation à droite de F par rapport à (𝒩_{3}× 𝒩′_{3},𝒩) existe,

2. la localisation à droite de ℝ_{𝒩_{1}× 𝒩′_{1}}^{𝒩} F par rapport à (𝒩_{2}× 𝒩′_{2},𝒩) existe

est satisfaite, alors la seconde aussi et on dispose dans ce cas de l’isomorphisme de bifoncteurs

ℝ_{𝒩_{2}× 𝒩′_{2}}^{𝒩} ℝ_{𝒩_{1}× 𝒩′_{1}}^{𝒩} F −→^{∼} ℝ_{𝒩_{3}× 𝒩′_{3}}^{𝒩} F.

Démonstration. Cela découle aussitôt de la propriété universelle des localisations à droite.

Notations 1.4.5 (Bifoncteur faisceau des homomorphismes de Berthelot). Soient ℰ^{(•), •} ∈ K^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ℱ^{(•), •} ∈ K^{+} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Berthelot a considéré le bifoncteur

\underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−): K^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{∘}× K^{+} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → K(Ab_{𝒫} )

dont le n-ème terme pour tout entier n ∈ ℤ est défini en posant

\begin{aligned}\underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} & ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{n}(ℰ^{(•), •}, λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•), •}) \\ & := \underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ∏_{p∈ℤ} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•),p}, λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•), p+n}) \end{aligned}  (1.4.5.1)

et les morphismes de transition sont donnés par la formule d = d_{ℰ} + (−1)^{n+1} d_{ℱ} . Berthelot a vérifié que ce bifoncteur \underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−) est localisable

à droite en le dérivé droit de la forme

ℝ\underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−): \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{∘}× \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{+}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D(Ab_{𝒫} ).

(1.4.5.2)

Il note ℝℋom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−) := ℝ\underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−), ce foncteur

dérivé droit qui se résout (i.e., on applique le théorème d’existence [KS06, 10.3.9]) en prenant des résolutions injectives du terme de droite et des résolutions plates d’un certain type du terme de gauche.

1.4.6 (Bifoncteur homomorphisme de Berthelot). Soient ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ℱ^{(•)} ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ}^{+}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De manière analogue à 1.4.5, en remplaçant ℋom par Hom, Berthelot a construit le bifoncteur

ℝHom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−): \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{∘}× \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{+}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D^{+} (Ab) (1.4.6.1)

tel que H^{0}(ℝHom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)})) = Hom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}). Il a de plus

vérifié l’isomorphisme de bifoncteurs

ℝΓ(𝒫,−) ∘ ℝℋom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−) −→^{∼} ℝHom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−).  (1.4.6.2)

1.4.7. Pour ♯ ∈ \{−, +,b\}, notons Q_{N}: K^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → K^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) le foncteur canonique. D’après la remarque après le théorème [Miy91, 3.2], le foncteur Q_{N} est un quotient. Soit 𝒩_{N} le système nul correspondant à ce quotient. De plus, le foncteur Q_{N} induit par localisation l’équivalence de catégories de 1.2.11.1 notée Q_{eq}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). Notons enfin 𝒬is le système nul des quasi-isomorphismes de K(Ab_{𝒫} ) et Q: K(Ab_{𝒫} ) → D(Ab_{𝒫} ), le foncteur canonique. Avec les notations des paragraphes 1.4.2 et 1.4.5, on dispose de l’égalité

\underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−) = ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(Q_{N}(−),Q_{N}(−)).

Ainsi, la localisation à droite du bifoncteur \underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−)

par rapport à (𝒩_{N} × 𝒩_{N},𝒬is) existe et est égal à Q ∘ ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−).

Grâce à l’existence vérifiée par Berthelot du foncteur dérivé droit de \underrightarrow{lim}_{λ∈L, χ∈M} ℋom_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−, λ^{∗}χ^{∗}−) (voir 1.4.5), grâce à l’équivalence de catégories Q_{eq},

en utilisant le lemme 1.4.4, on obtient alors que le bifoncteur ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−)

est localisable à droite en le bifoncteur que l’on notera

ℝℋom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)))}(−,−): D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))^{∘}× D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab_{𝒫} ).

Par propriété universelle des foncteurs dérivés droits, on dispose de l’isomorphisme canonique de bifoncteurs \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{∘}× \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D(Ab_{𝒫} ) de la forme

ℝℋom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−) −→^{∼} ℝℋom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(Q_{eq}(−),Q_{eq}(−)).

1.4.8. De manière identique à 1.4.7, on vérifie que le bifoncteur Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−) est localisable à droite en le bifoncteur que l’on notera

ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−): D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))^{∘}× D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab).

Par propriété universelle des foncteurs dérivés droits, on dispose de plus de l’isomorphisme canonique de bifoncteurs \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{∘} × \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D(Ab) de la forme

ℝHom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(−,−) −→^{∼} ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(Q_{eq}(−),Q_{eq}(−)).

Ce morphisme provient du morphisme analogue sans les dérivés droits. On déduit alors de 1.4.6 que l’on dispose de l’isomorphisme de bifoncteurs D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))^{∘}× D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → Abde la forme :

ℋ^{0}(ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−)) −→^{∼} Hom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−).  (1.4.8.1)

On déduit de 1.4.6.2 l’isomorphisme de bifoncteurs D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))^{∘} ×

D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab) de la forme

ℝΓ(𝒫,−) ∘ ℝℋom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−) −→^{∼} ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−).

(1.4.8.2)

1.4.9. Notons M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) la catégorie abélienne des 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-modules. En tensorisant par ℚ puis en passant à la limite inductive sur le niveau, on obtient le foncteur \underrightarrow{lim}: M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Comme il transforme les lim-ind-isomorphismes en isomorphisme, il se factorise canoniquement en le foncteur

\underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).  (1.4.9.1)

1.4.10. Soient ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} deux objets de K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). Via le foncteur

\underrightarrow{lim}: K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → K^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) déduit 1.4.9.1, on obtient le morphisme de K(Ab_{𝒫} ) suivant :

ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}) → ℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}^{•}(\underrightarrow{lim}ℰ^{(•)},\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)}).  (1.4.10.1)

Comme le foncteur \underrightarrow{lim}: K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → K^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) transforme complexe acyclique en complexe acyclique, il se factorise donc en le foncteur \underrightarrow{lim}: D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) qui commute au foncteur

canonique de localisation Q: K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) et

Q: K^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) → D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), i.e. Q ∘ \underrightarrow{lim} −→^{∼} \underrightarrow{lim}∘ Q. On dispose ainsi des

morphisme de bifoncteurs K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) × K^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab_{𝒫} ) :

Q ∘ ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}\overrightarrow{1.4.10.1} Q ∘ ℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}^{•}∘ \underrightarrow{lim}→ ℝℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}∘ Q ∘ \underrightarrow{lim}

−→^{∼} ℝℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}∘ \underrightarrow{lim}∘ Q.

Par propriété universelle du bifoncteur dérivé droit, il existe donc un morphisme canonique de la forme

ℝℋom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−) → ℝℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}(−,−) ∘ \underrightarrow{lim}  (1.4.10.2)

de bifoncteurs D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) × D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab_{𝒫} ). Par propriété universelle du bifoncteur dérivé droit, on vérifie de la même manière qu’il existe un morphisme canonique de la forme

ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(−,−) → ℝHom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}(−,−) ∘ \underrightarrow{lim}  (1.4.10.3)

de bifoncteurs D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) × D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) → D(Ab).

Remarques 1.4.11. Si la catégorie abélienne \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) possèdait assez d’injectifs (ce que j’ignore), avec les deux lemmes qui suivent, on pourrait alors résoudre comme d’habitude le bifoncteur ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(−,−).

1.4.12 (Stabilité de l’injectivité par image inverse par une immersion ouverte). Soit j: 𝔘 ↪ 𝒫 une immersion ouverte de 𝒱-schémas formels lisses. Le foncteur canonique j^{∗}: M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) possède un adjoint à gauche exact (le foncteur extension par zéro en dehors de U) que l’on notera, afin de ne pas le confondre avec le foncteur image directe extraordinaire, j_{!}^{top}: M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) →

M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Pour tout ℰ^{(•)} ∈ M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)), on dispose de l’isomorphisme canonique j_{!}^{top}λ^{∗}χ^{∗}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} λ^{∗}χ^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}) qui s’inscrit dans le diagramme commutatif

[figure: j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}); j_{!}^{top}λ^{∗}χ^{∗}(ℰ^{(•)}); ∼; j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}); λ^{∗}χ^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)})]

dont la flèche horizontale du bas est la flèche canonique tandis que celle du haut est l’image par j_{!}^{top} du morphisme canonique. On dispose des mêmes propriétés concernant j^{∗}. Soient ℰ^{(•)} ∈ M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U)), ℱ^{(•)} ∈ M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), λ ∈ L, χ ∈ M. On a l’égalité ℰ^{(•)} = j^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}) qui est compatible avec les isomorphismes ci-dessus, i.e. l’iso-

morphisme composé j^{∗}j_{!}^{top}λ^{∗}χ^{∗}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} j^{∗}λ^{∗}χ^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} λ^{∗}χ^{∗}j^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}) est

l’identité. De même, le morphisme d’adjonction j_{!}^{top}j^{∗}(ℱ^{(•)}) → ℱ^{(•)} est compatible aux isomorphismes ci-dessus. On déduit de ce qui précède que le foncteur j_{!}^{top} envoie les lim-ind-isogénies sur les lim-ind-isogénies. On obtient donc sa factorisation sous la forme j_{!}^{top}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩

U)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le foncteur canonique M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

est exact (e.g. voir [BP09, 2.3.4]), comme une suite exacte courte de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) est isomorphe à l’image par le foncteur canonique quotient d’une suite exacte courte de M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) (e.g. voir [BP09, 2.3.5]), comme j_{!}^{top}: M(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est exact, alors le foncteur j_{!}^{top}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est exact. De la même façon, on dispose du foncteur exact j^{∗}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)). L’application α: Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U))}(ℰ^{(•)},j^{∗}ℱ^{(•)}) → Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(j_{!}^{top}ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) se définit de la manière suivante : si ϕ: ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}j^{∗}ℱ^{(•)} est un représentant d’une flèche, alors un représentant de α(ϕ) est donné par j_{!}^{top}ℰ^{(•)} −→_{j_{!}^{top}(ϕ)}

j_{!}^{top}λ^{∗}χ^{∗}j^{∗}ℱ^{(•)} −→^{∼} λ^{∗}χ^{∗}j_{!}^{top}j^{∗}ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}. De plus, on définit l’application

β: Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(j_{!}^{top}ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) → Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U))}(ℰ^{(•)},j^{∗}ℱ^{(•)}) de la manière suivante : si ψ: j_{!}^{top}ℰ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} est un représentant d’une flèche, alors β(ψ) est

représenté par ℰ^{(•)} = j^{∗}j_{!}^{top}(ℰ^{(•)}) −→_{j^{∗}(ψ)} j^{∗}λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} −→^{∼} λ^{∗}χ^{∗}j^{∗}ℱ^{(•)}. On vérifie facile-

ment que α et β sont des bijections réciproques. Ainsi, le foncteur exact j_{!}^{top} est un adjoint à gauche de j^{∗}. On en déduit que si ℱ^{(•)} est un objet injectif de la catégorie \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors j^{∗}ℱ^{(•)} est un objet injectif de la catégorie \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)).

Lemme 1.4.13. Soient ℰ^{(•)}, ℐ^{(•)} deux objets de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On suppose de plus que ℐ^{(•)} est un objet injectif de la catégorie \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le faisceau ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)}, ℐ^{(•)}) (voir sa définition en 1.4.1) est flasque.

Démonstration. Il s’agit de reprendre les arguments du lemme analogue de [God73, II.7.3.2] qui restent valable grâce au paragraphe 1.4.12.

Lemme 1.4.14. Soient ℰ^{(•)} ∈ K(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) et ℐ^{(•)} ∈ K^{+} (\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) un complexe dont les termes sont des objets injectifs de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Si ℰ^{(•)} ou ℐ^{(•)} sont acycliques, alors il en est de même de ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(ℰ^{(•)}, ℐ^{(•)})

Démonstration. La preuve du lemme analogue de [Har66, II.3.1] fonctionne encore : il suffit de vérifier que le complexe Γ(𝔘,ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(ℰ^{(•)}, ℐ^{(•)})) = Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T))}^{•}(ℰ^{(•)}|𝔘, ℐ^{(•)}|𝔘) est acylique. Or, d’après 1.4.12, ℐ^{(•)}|𝔘 est un com-

plexe dont les termes sont des objets injectifs de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U)).

2 Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules arithmétiques

2.1 Cohérence à ind-isogénie près Dans cette section, on fixe λ ∈ L.

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

Notations 2.1.1. Soit ℰ^{(•)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module.

• On note M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la catégorie des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules. Via le morphisme canonique d’anneaux 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T), on dispose du foncteur oubli oub_{λ}: M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

• Soit χ ∈ M. On remarque que χ^{∗}λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) n’est plus un système inductif d’anneaux (à moins que χ soit constante). On calcule que χ^{∗}ℰ^{(•)} reste muni d’une structure canonique de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. On obtient même le foncteur χ^{∗}: M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

• Soit μ ∈ L. On note μ^{∗}: M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(μ^{∗}λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), le foncteur induit par μ^{∗}.

Notations 2.1.2. • Un morphisme f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une ind-isogénie s’il existe χ ∈ M et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes g^{(•)} ∘ f^{(•)} et χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques. La catégorie obtenue en localisant M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) par rapport aux ind-isogénies se note \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme pour 1.2.4, on vérifie que celle-ci est abélienne.

• Un morphisme f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une lim-ind-isogénie s’il existe χ ∈ M, μ ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℱ^{(•)} → μ^{∗}χ^{∗}ℰ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tels que les morphismes g^{(•)} ∘ f^{(•)} et μ^{∗}χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) sont les morphismes canoniques. On note \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la catégorie localisée par rapport aux lim-ind-isogénies. Comme pour 1.2.4, on vérifie que celle-ci est abélienne.

Lemme 2.1.3. On bénéficie des factorisations oub_{λ}: \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et oub_{λ}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De plus, on dispose des factorisation λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}−: \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et

λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}−: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Il est immédiat qu’une ind-isogénie (resp. une lim-ind-isogénie) de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est (via le foncteur oubli) une ind-isogénie (resp. une lim-ind-isogénie) de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’où les factorisations concernant le foncteur oubli. Pour tout χ ∈ M, pour tout 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)}, l’isomorphisme canonique χ^{∗}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}

ℰ^{(•)}) −→^{∼} λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}χ^{∗}ℰ^{(•)} qui commute aux morphismes canoniques de la 1538 Daniel Caro forme ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)}. D’où la première factorisation du foncteur λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)} −. De plus, soit f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Dire que f^{(•)} est inversible dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) équivaut à dire qu’il existe un morphisme μ ∈ L et un morphisme g^{(•)}: ℰ^{(•)} → μ^{∗}ℱ^{(•)} de \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) rendant commutatif le carré de gauche ci-dessous dans le cas où λ = id :

\xymatrix{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℱ^{(•)} \ar[r] \ar@{.>}[dr]^{id⊗g^{(•)}} & λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}μ^{∗}ℱ^{(•)} \ar[r] & μ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℱ^{(•)}) \\ λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[u]^{id⊗f^{(•)}} & λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}μ^{∗}ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[u]^{id⊗μ^{∗}f^{(•)}} & μ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)}) , \ar[u]^{μ^{∗}(id⊗f^{(•)})}}

(2.1.3.1)

dont les flèches horizontales sont les morphismes canoniques. Il en résulte que la dernière factorisation voulue.

2.1.4 (Adjonction). On vérifie que le foncteur λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}−: M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est adjoint à gauche du foncteur oubli oub_{λ}: M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le foncteur oubli oub_{λ} commute canoniquement aux foncteurs de la forme μ^{∗} et χ^{∗}, on vérifie que oub_{λ}: \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est adjoint à droite de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}−: \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et oub_{λ}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est adjoint à droite de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)} −: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Lemme 2.1.5. Les foncteurs oub_{λ} et λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}− sont des équivalences de catégories quasi-inverses entre \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On en déduit en particulier que le foncteur oubli de la forme

oub_{λ}: \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))  (2.1.5.1)

est pleinement fidèle et exacte (car c’est un quotient par une sous-catégorie de Serre.

Démonstration. Soient ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module et ℱ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Grâce à 2.1.4, il s’agit de vérifier que les morphismes d’adjonction sont des isomorphismes. Cela résulte des diagrammes commutatifs de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) pour

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le carré du bas) :

\xymatrix{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}ℰ^{(•)} \ar[r] \ar@{.>}[dr] & λ^{∗}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}ℰ^{(•)}) \\ ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[u] & λ^{∗}ℰ^{(•)}, \ar[u]}

\xymatrix{ℱ^{(•)} \ar[r] \ar@{.>}[dr] & λ^{∗}ℱ^{(•)} \\ λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}ℱ^{(•)} \ar[r] \ar[u] & λ^{∗}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}ℱ^{(•)}). \ar[u]}  (2.1.5.2)

Définition 2.1.6. Soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module.

• Le module ℰ^{(•)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie s’il existe un recouvrement ouvert (𝒫_{i})_{i∈I} de 𝒫 tel que, pour tout i ∈ I, on dispose d’une suite exacte dans M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme :

( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫_{i}}^{(•)}(T ∩ P_{i}))^{r_{i}} → ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫_{i}}^{(•)}(T ∩ P_{i}))^{s_{i}} → ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → 0,

où r_{i},s_{i} ∈ ℕ.

• Si de plus, on peut prendre {𝒫} comme tel recouvrement ouvert de 𝒫, on dira que le module ℰ^{(•)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie.

Lemme 2.1.7. Les foncteurs λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}− et ℰ^{(•)} ↦ ℰ^{(0)} induisent

des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules cohé-

rents (resp. des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules globalement de présentation finie) et celle des

λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules localement de présentation finie (resp. des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules globalement de présentation finie).

Démonstration. Comme ces deux foncteurs sont exacts à droite, ils se factorisent comme voulu (on vérifie d’abord le cas respectif, le cas non respectif s’en déduisant par cohérence de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)). Or, le foncteur λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}− est adjoint

à gauche de ℰ^{(•)} ↦ ℰ^{(0)} pour les catégories de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules et de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- modules. Il suffit donc de vérifier que les morphismes d’adjonction sont des isomorphismes, ce qui est aisé : si ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation

finie, alors le morphisme canonique λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)} → ℰ^{(•)} est un isomor-

phisme car, par exactitude à droite, additivité de nos foncteurs et via 1.3.3, il suffit de le vérifier pour ℰ^{(•)} = λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) (le fait que le second morphisme d’adjonction soit un isomorphisme est immédiat).

La caractérisation du lemme qui suit est à rapprocher avec la notion de cohérence de Berthelot que l’on rappellera dans 2.3.1.

Lemme 2.1.8. Soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)} est localement de présentation finie si et seulement s’il satisfait les conditions suivantes :

1. Pour tout m ∈ ℕ, ℰ^{(m)} est un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-module cohérent ;

2. Pour tous entiers 0 ≤ m ≤ m′, le morphisme canonique

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m′))}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)}ℰ^{(m)}→ ℰ^{(m′)}  (2.1.8.1)

est un isomorphisme. Démonstration. Cela découle aussitôt de 2.1.7. Remarques 2.1.9. • Comme les extensions 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T) → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m+1))} (T) ne sont

pas plates, la catégorie des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules localement de présentation finie n’est pas stable par noyau.

• Si 𝒫 est affine, d’après le théorème de type A, les notions de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules cohérents et de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules globalement de présentation finie sont alors égales. D’après 2.1.7, il en résulte que les notions de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules localement de présentation finie et de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules globalement de présentation finie sont alors égales. De plus, le foncteur λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}−

de la catégorie des D̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules de type fini dans celle des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- modules localement de présentation finie est une équivalence de catégories dont un foncteur quasi-inverse est donné par 𝒢^{(•)} ↦ Γ(𝒫,𝒢^{(0)}).

Lemme 2.1.10. Soit f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On suppose que, pour tout m ∈ ℕ, les 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-modules ℰ^{(m)} et ℱ^{(m)} sont cohérents. Le morphisme f^{(•)} est alors une ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement si le morphisme f_{ℚ}^{(•)} : ℰ_{ℚ}^{(•)} → ℱ_{ℚ}^{(•)} induit après tensorisation par ℚ est un isomorphisme de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)_{ℚ}-modules.

Démonstration. 0) Comme les morphismes canoniques de la forme ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} avec χ ∈ M deviennent des isomorphismes après application du foncteur ℚ ⊗_{ℤ} −, la première implication est évidente. Réciproquement supposons que f_{ℚ}^{(•)} soit un isomorphisme.

1) D’après [Ber96b, 3.4.4], si on note ℰ_{t}^{(m)} le sous-faisceau des sections de ptorsion de ℰ^{(m)}, alors ℰ_{t}^{(m)} est un sous-𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-module cohérent de ℰ^{(m)}. Notons α: ℰ^{(•)} → ℰ^{(•)}/ℰ_{t}^{(•)}, la projection canonique. Vérifions que c’est une ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme ℰ_{t}^{(m)} est un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-module cohérent , il existe alors χ ∈ M tel que la multiplication p^{χ(m)}: ℰ^{(m)}→ ℰ^{(m)}se factorise (de manière unique) en β^{(m)}: ℰ^{(m)}/ℰ_{t}^{(m)}→ ℰ^{(m)}. On en déduit que le morphisme β^{(•)}: ℰ^{(•)}/ℰ_{t}^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est tel que β^{(•)}∘ α^{(•)} et χ^{∗}α^{(•)}∘ β^{(•)} sont les morphismes canoniques.

2) D’après l’étape 1) quitte à quotienter par les sous-modules de p-torsion, on peut supposer que, pour tout m ∈ ℕ, ℰ^{(m)} et ℱ^{(m)} sont sans p-torsion. Il existe alors χ ∈ M tel que pour tout m ∈ M, l’isomorphisme canonique h^{(m)} := p^{χ(m)}(f_{ℚ}^{(m)})^{−1} : ℱ_{ℚ}^{(m)} →

ℰ_{ℚ}^{(m)} se factorise (de manière unique) par un morphisme de la forme b^{(m)}: ℱ^{(m)} →

ℰ^{(m)}. Comme χ^{∗}ℰ^{(•)} ⊂ χ^{∗}ℰ_{ℚ}^{(•)} et χ^{∗}ℱ^{(•)} ⊂ χ^{∗}ℱ_{ℚ}^{(•)}, on calcule en fait que le morphisme

h_{ℚ}^{(•)} : ℱ_{ℚ}^{(•)} → χ^{∗}ℰ_{ℚ}^{(•)} se factorise en le morphisme b^{(•)}: ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℰ^{(•)} (i.e., les b^{(m)} commutent aux morphismes de transition) qui est tel que g^{(•)} ∘ f^{(•)} et χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} sont les morphismes canoniques.

Définition 2.1.11. Soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le module ℰ^{(•)} est un

« λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module de type fini à ind-isogénie près » s’il existe un recouvrement ouvert (𝒫_{i})_{i∈I} de 𝒫 tel que, pour tout i ∈ I, on dispose d’une suite exacte dans

\underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme : ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫_{i}^{♯}}^{(•)}(T ∩ P_{i}))^{r_{i}} → ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → 0, où r_{i} ∈ ℕ. De

même, on définie la notion de « λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement (resp. globalement) de présentation finie à ind-isogénie près ». Le module ℰ^{(•)} est un « λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module cohérent à ind-isogénie près » s’il est de type fini à ind-isogénie près et si pour tout ouvert 𝒫′de 𝒫, tout homomorphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T)) de la forme u^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T ∩ P′))^{r} → ℰ^{(•)}|𝒫′, le noyau de u^{(•)} est de type fini à ind-isogénie près.

Lemme 2.1.12. Soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)} est globalement de présentation finie à ind-isogénie près si et seulement s’il est isomorphe dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie.

Démonstration. La suffisance est triviale. Réciproquement, supposons que ℰ^{(•)} soit le conoyau dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) d’une flèche de la forme ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} →

( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s}. Soit ϕ^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → χ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} un représentant dans

M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de ce morphisme pour un certain χ ∈ M. Ainsi, on dispose du diagramme commutatif

\xymatrix{( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T))^{r} \ar[r]^{ϕ^{(0)}} \ar[d]^{p^{χ(m)−χ(0)} can} & ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T))^{s} \ar[r] \ar[d]^{p^{χ(m)−χ(0)} can} & cokerϕ^{(0)} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ _{( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T))_{r}} \ar[r]^{ϕ^{(m)}} & _{( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T))_{s}} \ar[r] & cokerϕ^{(m)} \ar[r] & 0}

dont les suites horizontales sont exactes. On en déduit le diagramme commutatif

\xymatrix{( 𝒟̃ _{𝒫♯}^{(λ(m))}(T))^{r} \ar[r]^{𝒟̃ {(λ(m)) \atop 𝒫♯}⊗ϕ(0)} \ar[d]^{pχ(m)−χ(0)} & ( 𝒟̃ _{𝒫♯}^{(λ(m))}(T))^{s} \ar[r] \ar[d]^{pχ(m)−χ(0)} & 𝒟̃ _{𝒫♯}^{(λ(m))}(T) ⊗_{𝒟̃ {(λ(0)) \atop 𝒫♯}(T)}cokerϕ^{(0)} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ _{( 𝒟̃ _{𝒫♯}^{(λ(m))}(T))_{r}} \ar[r]^{ϕ(m)} & _{( 𝒟̃ _{𝒫♯}^{(λ(m))}(T))_{s}} \ar[r] & cokerϕ^{(m)} \ar[r] & 0}

(2.1.12.1)

dont les suites horizontales sont exactes. La famille des morphismes verticaux de droite de 2.1.12.1 signifie que l’on dispose du morphisme canonique λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}coker ϕ^{(0)} → coker ϕ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Grâce au lemme 2.1.10, comme les deux morphismes verticaux de gauche de 2.1.12.1 sont des isomorphismes après tensorisation par ℚ, ce dernier est une ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}coker ϕ^{(0)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie, on en déduit le résultat demandé.

Lemme 2.1.13. Les notions de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie à ind-isogénie près et de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module cohérent à ind-isogénie près sont équivalentes. En particulier, le faisceau d’anneaux λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) est alors un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- module cohérent à ind-isogénie près.

Démonstration. La cohérence à ind-isogénie près entraîne clairement la locale présentation finie à ind-isogénie près. Réciproquement, soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- module localement de présentation finie à ind-isogénie près. Comme le lemme est locale et comme les propriétés équivalentes à établir sont stables par isomorphisme dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), via les lemmes 2.1.7 et 2.1.12, on peut supposer qu’il existe un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-module globalement de présentation finie ℱ^{(0)} tel que ℰ^{(•)} = λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℱ^{(0)}. Soit f^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → ℰ^{(•)} un morphisme de

\underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il s’agit de vérifier que kerf^{(•)} est de type fini à ind-isogénie près. Soient χ ∈ M, a^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → χ^{∗}ℰ^{(•)} un morphisme de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui soit un représentant de f^{(•)}. Comme 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T) est un anneau cohérent, comme les extensions 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)_{ℚ} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m+1))} (T)_{ℚ} sont plates, il découle alors du lemme 2.1.10 que le morphisme canonique λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}kera^{(0)} → kera^{(•)} est une ind-isogénie

de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’où le résultat.

Remarques 2.1.14. Avec les notations du lemme 2.1.13, comme les extensions 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T) → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m+1))} (T) ne sont pas plates, il semble faux que le faisceau d’anneaux λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) soit cohérent (comme objet de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).

Notations 2.1.15. Notons \underrightarrow{M}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules cohérents à ind-isogénie près. De même, lorsque 𝒫 est affine, en reprenant tout ce qui précède dans ce contexte, on définit de manière identique la sous-catégorie pleine \underrightarrow{M}_{ℚ,coh}(λ^{∗}D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules cohérents à ind-isogénie près.

Lemme 2.1.16. Si 𝒫^{(•)} est un objet projectif de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors 𝒫^{(•)} est un objet projectif de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Soit g^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un épimorphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et f^{(•)}: 𝒫^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soient χ ∈ M, ϕ^{(•)}: 𝒫^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} et ψ^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} des morphismes de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) représentant respectivement f^{(•)} et g^{(•)}. Notons 𝒢^{(•)} := χ^{∗}ℱ^{(•)}, ℋ^{(•)} := im ψ^{(•)} et α^{(•)}: ℋ^{(•)} → 𝒢^{(•)} l’inclusion canonique. Comme g^{(•)} est un épimorphisme, il existe χ_{1} ∈ M et un morphisme β^{(•)}: 𝒢^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℋ^{(•)} tels que β^{(•)}∘ α^{(•)} et χ_{1}^{∗}(α^{(•)}) ∘ β^{(•)} sont les morphismes canoniques. Comme 𝒫^{(•)} est projectif, il existe un unique morphisme θ^{(•)}: 𝒫^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℰ^{(•)} dont le composé avec la surjection χ_{1}^{∗}ℰ^{(•)} → χ_{1}^{∗}ℋ^{(•)} induite par χ_{1}^{∗}ψ^{(•)} donne β^{(•)} ∘ ϕ^{(•)}. On remarque de plus que χ_{1}^{∗}(ψ^{(•)}) ∘ θ^{(•)} est égal au composé de ϕ^{(•)} avec le morphisme canonique 𝒢^{(•)} → χ_{1}^{∗}𝒢^{(•)}. Si on note h^{(•)}: 𝒫^{(•)} → ℰ^{(•)} le morphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) dont θ^{(•)} est un représentant, on a donc g^{(•)}∘ h^{(•)} = f^{(•)}.

Remarques 2.1.17. Je ne sais pas s’il est vrai que si ℐ^{(•)} est un objet injectif de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors ℐ^{(•)} est un objet injectif de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Proposition 2.1.18. La sous catégorie pleine \underrightarrow{M}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est stable par isomorphisme, noyau, conoyau, extension. Démonstration. La stabilité par isomorphisme est triviale. Vérifions à présent la stabilité par noyau et conoyau. Soit f^{(•)}: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La cohérence à ind-isogénie étant une propriété locale et stable par isomorphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), grâce à 2.1.12, on peut supposer que ℰ^{(•)} et ℱ^{(•)} sont des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules globalement de présentation finie. Soient χ ∈ M et ϕ^{(•)}: ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)} un morphisme de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui représente f^{(•)}. Via le lemme 2.1.10, on vérifie alors que les morphismes canoniques λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)} kerϕ^{(0)} → kerϕ^{(•)} et λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}cokerϕ^{(0)} → cokerϕ^{(•)} sont des indisogénies de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Traitons maintenant la stabilité par extension. Soit 0 → ℰ^{(•)} −→_{f^{(•)}} ℱ^{(•)} −→_{g^{(•)}} 𝒢^{(•)} → 0 une

suite exacte dans la catégorie \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) avec ℰ^{(•)}, 𝒢^{(•)} ∈ \underrightarrow{M}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

Comme la cohérence de ℱ^{(•)} est locale, on peut supposer qu’il existe des épimorphismes de la forme a^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → ℰ^{(•)} et b^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} → 𝒢^{(•)}.

D’après 2.1.16, il existe h^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} → ℱ^{(•)} tel que g^{(•)} ∘ h^{(•)} = b^{(•)}. On en

déduit que ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} ⊕ ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} → ℱ^{(•)} défini par f^{(•)} ∘ a^{(•)} + h^{(•)} est un

épimorphisme. On a donc validé que ℱ^{(•)} est de type fini à ind-isogénie près. Soit

α^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{t} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il reste à vérifier que

kerα^{(•)} est de type fini à ind-isogénie près. Comme 𝒢^{(•)} est cohérent à ind-isogénie près, ker(g^{(•)}∘α^{(•)}) est de type fini à ind-isogénie près. Comme ce que l’on doit prouver est local, on peut supposer qu’il existe un épimorphisme de \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de

la forme β^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{u} → ker(g^{(•)}∘α^{(•)}). Comme \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est une ca-

tégorie abélienne, on dispose de l’isomorphisme canonique α^{(•)}(ker(g^{(•)}∘ α^{(•)})) −→^{∼} im(α^{(•)}) ∩ kerg^{(•)}. En particulier, si on note δ^{(•)}: ker(g^{(•)}∘ α^{(•)}) → ℱ^{(•)} le composé

de α^{(•)} avec le monomorphisme ker(g^{(•)}∘ α^{(•)}) ⊂ ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{t}, on obtient la facto-

risation canonique ϵ^{(•)}: ker(g^{(•)} ∘ α^{(•)}) → ℰ^{(•)} de δ^{(•)} par f^{(•)}. Comme ℰ^{(•)} est cohérent à ind-isogénie près, ker(ϵ^{(•)}∘ β^{(•)}) est de type fini à ind-isogénie près. Comme f^{(•)} est un monomorphisme, il en résulte que ker(f^{(•)} ∘ ϵ^{(•)} ∘ β^{(•)}) est de type fini à ind-isogénie près. Comme f^{(•)}∘ϵ^{(•)}∘β^{(•)} = δ^{(•)}∘β^{(•)}, alors ker(δ^{(•)}∘β^{(•)}) est de type fini à ind-isogénie près. Or, on dispose des isomorphismes β^{(•)}(ker(δ^{(•)} ∘ β^{(•)})) −→^{∼} im(β^{(•)}) ∩ ker(δ^{(•)}) −→^{∼} ker(α^{(•)}), qui est donc de type fini à ind-isogénie près.

Lemme 2.1.19. Soit ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le module ℰ^{(•)} est isomorphe dans

\underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie si et seule-

ment si ℰ^{(0)} est isogène à un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-module cohérent et le morphisme canonique

λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)} → ℰ^{(•)} est une ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

De plus, deux λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules localement de présentation finie sont isomorphes

dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement s’ils sont ind-isogènes dans M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Supposons qu’il existe ℱ^{(0)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-module cohérent,

f^{(0)}: ℰ^{(0)} → ℱ^{(0)} et g^{(0)}: ℱ^{(0)} → ℰ^{(0)} deux morphismes 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-linéaires tels que f^{(0)} ∘ g^{(0)} et g^{(0)} ∘ f^{(0)} sont les multiplications par p^{n}. On obtient par extension les morphismes f^{(•)}: λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℱ^{(0)} et

g^{(•)}: λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℱ^{(0)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)}. En prenant χ ∈ M la

fonction constante égale à n, en composant g^{(•)} avec le morphisme canonique id → χ^{∗}, on obtient la flèche h^{(•)}: λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℱ^{(0)} → χ^{∗}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)}).

Alors χ^{∗}(f^{(•)}) ∘ h^{(•)} et h^{(•)} ∘ f^{(•)} sont les morphismes canoniques (i.e. les multiplications par p^{n} à chaque niveau). D’où la suffisance de la première assertion à valider. Réciproquement, supposons que ℰ^{(•)} est isomorphe dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à

un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℱ^{(•)} localement de présentation finie. Dans ce cas, il existe

χ ∈ M et une ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)}. On en déduit que ℰ^{(0)} et ℱ^{(0)} sont isogènes. Avec 2.1.7, il en résulte la première ind-isogénie de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)} → ℱ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)}. Comme ce

composé est égal au composé λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)} → ℰ^{(•)} → χ^{∗}ℱ^{(•)}, on en

déduit la première assertion. La seconde assertion se traite de manière analogue.

2.2 Cohérence à lim-ind-isogénie près

Définition 2.2.1. Soit ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le module ℰ^{(•)} est un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- module de type fini à lim-ind-isogénie près s’il existe un recouvrement ouvert (𝒫_{i})_{i∈I} de 𝒫 tel que, pour tout i ∈ I, on dispose d’une suite exacte dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la

forme : ( 𝒟̃_{𝒫_{i}^{♯}}^{(•)}(T ∩ P_{i}))^{r_{i}} → ℰ^{(•)}|𝒫_{i} → 0, où r_{i} ∈ ℕ. De même, on définie la notion de

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie à lim-ind-isogénie près (resp. globalement de présentation finie à lim-ind-isogénie près, resp. cohérent à lim-ind-isogénie près).

Le lemme qui suit sera amélioré via 2.4.5 (mais ce dernier utilise 2.2.2 qui est une première étape).

Lemme 2.2.2. Soit ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module. Le 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)} est globalement de présentation finie à lim-ind-isogénie près si et seulement s’il existe λ ∈ L et un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℱ^{(•)} globalement de présentation finie tel que ℰ^{(•)} et ℱ^{(•)} soit

isomorphe dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. La suffisance est triviale. Réciproquement, supposons que ℰ^{(•)} soit le conoyau dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) d’une flèche de la forme ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s}.

Soient χ_{0} ∈ M, λ ∈ L et ϕ^{(•)}: ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → λ^{∗}χ_{0}^{∗}( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} = χ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} un représentant de ce morphisme avec χ:= χ_{0} ∘ λ ∈ M (l’égalité provient de λ^{∗}χ_{0}^{∗} =

χ^{∗}λ^{∗}). Comme χ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s} est muni d’une structure canonique de λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-

module qui prolonge celle de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module, on en déduit par adjonction (voir 2.1.4) que le morphisme ϕ^{(•)} se factorise de manière unique en un morphisme de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la forme ψ^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → χ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{s}. Comme

coker ψ^{(•)} (calculé dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de 1546 Daniel Caro

présentation finie à ind-isogénie près, d’après le lemme 2.1.12, le module cokerψ^{(•)} est isomorphe dans \underrightarrow{M}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (et donc dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) via le foncteur oubli de 2.1.5.1) à un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie. Comme cokerψ^{(•)} est isomorphe à ℰ^{(•)} dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on a donc terminé la preuve.

Lemme 2.2.3. Les notions de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie à limind-isogénie près et de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module cohérent à lim-ind-isogénie près sont équivalentes. En particulier, le faisceau d’anneaux 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) est alors un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module cohérent à lim-ind-isogénie près.

Démonstration. La cohérence à lim-ind-isogénie près entraîne clairement la locale présentation finie à lim-ind-isogénie près. Réciproquement, soit ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)- module localement de présentation finie à lim-ind-isogénie. Comme la cohérence à lim-ind-isogénie est locale, on peut supposer que ℰ^{(•)} un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie à lim-ind-isogénie. D’après 2.2.2, par stabilité par isomorphismes de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de la propriété de cohérence à lim-ind-isogénie, on se ramène au cas où ℰ^{(•)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module globalement de présentation finie. Soit f^{(•)}: ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → ℰ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il s’agit de vérifier que kerf^{(•)} est de type fini à lim-ind-isogénie près. Soient χ ∈ M, λ ∈ L, a^{(•)}: ( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → χ^{∗}λ^{∗}ℰ^{(•)} un morphisme de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui soit un représentant de f^{(•)}. Par adjonction (voir 2.1.4), le morphisme a^{(•)} se factorise de manière unique en un morphisme b^{(•)}: ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{r} → χ^{∗}λ^{∗}ℰ^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il résulte des propositions 2.1.13 et 2.1.18 que kerb^{(•)} est un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module de type fini à indisogénie près, et par conséquent un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module de type fini à lim-ind-isogénie près (en effet, on dispose du foncteur oubli de 2.1.5.1). Comme kerb^{(•)} et kerf^{(•)} sont isomorphes dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on conclut alors la preuve.

Notations 2.2.4. On note \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules cohérents à lim-ind-isogénie près. De même, lorsque 𝒫 est affine, on définit la sous-catégorie pleine \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules cohérents à lim-ind-isogénie près (en remplaçant partout « 𝒟 » par « D »). Remarques 2.2.5. Soit λ ∈ L. De manière analogue, quitte à remplacer « 𝒟̃ » par « λ^{∗}𝒟̃ », on peut définir la sous-catégorie pleine \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules cohérents à lim-ind-isogénie près. Avec le lemme 2.1.5 et avec la caractérisation de la globale présentation finie donnée dans

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

2.2.2, les foncteurs oub_{λ} et λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}− induisent des équivalences de caté-

gories quasi-inverses entre \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Proposition 2.2.6. Les foncteurs oublis et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}− sont des équiva-

lences de catégories quasi-inverses entre \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))

et \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).

Démonstration. On vérifie de manière analogue à 2.1.5 le cas non respectif. De même, on établit que les foncteurs oubli et λ_{0}^{∗}𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}

− induisent des équivalences quasi-inverses entre \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et

\underrightarrow{LM}_{ℚ}(λ_{0}^{∗}𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)). Traitons à présent le cas respectif. Les factorisations

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}−: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et λ_{0}^{∗}𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}

−: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(λ_{0}^{∗}𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)) sont aisées. Or, d’après 2.2.5, le

foncteur oubli se factorise par \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(λ_{0}^{∗}𝒟̂_{𝒫}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). D’où le résultat.

Lemme 2.2.7. Si 𝒫^{(•)} est un objet projectif de \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors 𝒫^{(•)} est un objet

projectif de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. La preuve est identique à celle de 2.1.16 (on remplace les χ par des λ).

Proposition 2.2.8. La sous catégorie pleine \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est stable par isomorphisme, noyau, conoyau, extension.

Démonstration. Il s’agit de reprendre la preuve de 2.1.18 (on utilise 2.2.2, 2.2.7 et le fait que la catégorie \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est abélienne).

2.3 Cohérence au sens de Berthelot

Rappelons d’abord la notion de cohérence au sens de Berthelot (voir [Ber02, 4.2.3]) :

Définition 2.3.1. Soit ♯ ∈ \{∅,+,−,b\}. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le complexe

ℰ^{(•)} est cohérent si et seulement s’il existe λ ∈ L et ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et un iso-

morphisme de ℰ^{(•)} −→^{∼} ℱ^{(•)} dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), tels que ℱ^{(•)} vérifie les conditions suivantes :

1. Pour tout m ∈ ℕ, ℱ^{(m)}∈ D_{coh}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)) ; 2. Pour tous entiers 0 ≤ m ≤ m′, le morphisme canonique

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m′))}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)}^{𝕃}ℱ^{(m)}→ ℱ^{(m′)}  (2.3.1.1)

est un isomorphisme.

Notations 2.3.2. Soit ♯ ∈ \{∅,+,−,b\}. On note \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-

catégorie strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{♯}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes cohérents. On note

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des com-

plexes ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

2.3.3. Berthelot a de plus vérifié que, pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{−}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et pour tout

ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{+}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), l’application

\underrightarrow{lim}: ℝℋom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) → ℝℋom_{D(𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ})}(\underrightarrow{lim}ℰ^{(•)},\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)})

(2.3.3.1)

est un isomorphisme.

Proposition 2.3.4. Les foncteurs oubli et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}^{𝕃}− (resp.

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}^{𝕃} −) induisent des équivalences de catégories quasi-inverses

entre \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) et \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp.

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).

Démonstration. On remarque que les foncteurs sont bien définis grâce au corollaire 3.2.3, ce dernier n’utilisant pas 2.3.4. On procède de manière identique à 2.2.6.

2.4 Sur une équivalence de catégories des complexes à cohomologie cohérente

Notations 2.4.1. Pour ♯ ∈ \{0,+,−,b,∅\}, on notera D_{coh}^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) la sous-

catégorie pleine de D^{♯}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) des complexes ℰ^{(•)} tels que, pour n ∈ ℤ,

ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (voir les notations de 2.2.4). On remarquera que cette notion de cohérence est locale en 𝒫. Le lemme qui suit peut se voir comme un cas particulier de 2.3.3.1. Par soucis d’exhaustivité pour le lecteur, nous donnons une vérification.

Lemme 2.4.2. Soit ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Le morphisme de faisceaux en groupes abéliens de 1.4.10.1

ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T), ℱ^{(•)}) → ℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ},\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)}) (2.4.2.1)

est un isomorphisme.

Démonstration. Pour tout ouvert 𝔘 de 𝒫, on dispose par définition des égalités

Γ(𝔘,ℋom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T), ℱ^{(•)}) = Hom_{\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U))}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U), ℱ^{(•)}|𝔘) (2.4.2.2)

= \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Hom_{𝒟̃ _{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩U)}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(T ∩ U), λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}|𝔘) = \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Γ(𝔘,λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}).

(2.4.2.3)

En appliquant le foncteur Γ(𝔘,−) au morphisme 2.4.2.1, on obtient le morphisme canonique \underrightarrow{lim}_{λ∈L} \underrightarrow{lim}_{χ∈M} Γ(𝔘,λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}) → Γ(𝔘,\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)}), qui est un isomorphisme.

Théorème 2.4.3. Pour tous ℰ^{(•)} ∈ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))), ℱ^{(•)} ∈

D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))), le morphisme de D(Ab_{𝒫} ) défini en 1.4.10.2 :

ℝℋom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}) → ℝℋom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}(\underrightarrow{lim}ℰ^{(•)},\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)}). (2.4.3.1)

est un isomorphisme.

Démonstration. Grâce au lemme [Har66, I.7.1.(ii)] (que l’on peut utiliser grâce à 2.2.8), comme pour ℱ^{(•)} fixé les foncteurs sont way-out à droite, on se ramène au cas où ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le théorème est local en 𝒫, d’après le lemme

2.2.2, on peut supposer que 𝒫 est affine et qu’il existe λ ∈ L et un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module 𝒢^{(•)} globalement de présentation finie tel que ℰ^{(•)} et 𝒢^{(•)} soient isomorphe dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On se ramène ainsi à vérifier le théorème pour 𝒢^{(•)} à la place de ℰ^{(•)}.

D’après la deuxième remarque de 2.1.9, G^{(0)} est un D̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-module cohérent et le

morphisme canonique λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}G^{(0)} → 𝒢^{(•)} est isomorphisme. On obtient

une résolution gauche de G^{(0)} par des D̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)-modules libres de type fini. Celle-ci

induit une résolution gauche de 𝒢^{(•)} par des λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules libres de type fini. En calquant la preuve de [Har66, I.7.1.(iv)] (on utilise les suites exactes de tronca-

tion), on se ramène à vérifier le théorème pour 𝒢^{(•)} de la forme ( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))^{N}. Par

additivité et comme 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) est une lim-ind-isogénie, on peut supposer

𝒢^{(•)} = 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T). On conclut par construction de notre morphisme et de 2.4.2 (pour

dériver le bifoncteur de gauche de 2.4.3.1 dans le cas particulier où ℰ^{(•)} = 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T),

on prend une résolution par des injectifs de K^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) de l’objet associé à ℱ^{(•)} via l’équivalence de catégories 1.2.11.1) ou alors en remarquant que l’on est dans la situation de 2.3.3.

Corollaire 2.4.4. 1. Pour tous ℰ^{(•)} ∈ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))), ℱ^{(•)} ∈

D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))), le morphisme canonique de D(Ab) de 1.4.10.3
ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)))}(ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}) → ℝHom_{𝒟 _{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}(\underrightarrow{lim}ℰ^{(•)},\underrightarrow{lim}ℱ^{(•)})

(2.4.4.1)

est un isomorphisme.

2. Le foncteur 1.4.9.1 se factorise en l’équivalence de catégories

\underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).  (2.4.4.2)

où Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) désigne la catégorie des 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-modules cohérents.

3. Le foncteur \underrightarrow{lim}induit l’équivalence de catégories

\underrightarrow{lim}: D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) ≅ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).  (2.4.4.3)

Démonstration. On vérifie la première assertion de manière analogue à 2.4.3 (on peut aussi remarquer qu’en appliquant le foncteur ℝΓ(𝒫,−) au morphisme de 2.4.3.1, on obtient grâce à 1.4.8.2 la flèche 2.4.4.1). Avec 1.4.8.1, on en déduit la pleine fidélité des foncteurs 2.4.4.3 et 2.4.4.2. Vérifions à présent que ces deux foncteurs sont essentiellement surjectifs. Soit ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Quitte à utiliser des triangles distingués de troncation et à procéder par récurrence sur le nombre d’espaces de cohomologie non nuls, avec [BGK^{+} 87, I.2.18], par pleine fidélité de 2.4.4.3, on se ramène au cas où ℰ est un 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-module cohérent. Or, grâce à [Ber96b,

3.4.5 et 3.6.2], il existe m_{0} ∈ ℕ, un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m_{0})}(T)-module cohérent ℰ^{(0)} et un isomorphisme 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-linéaire de la forme 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ} ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m_{0})}(T)}ℰ^{(0)} −→^{∼} ℰ. En posant

ℰ^{(•)} := 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m_{0})}(T)}ℰ^{(0)}, on obtient alors l’isomorphisme \underrightarrow{lim}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ.

La proposition qui suit améliore 2.2.2 :

Lemme 2.4.5. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il existe alors m_{0} ∈ ℕ tel que ℰ^{(•)} soit

isomorphe dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)-module localement de présentation finie.

Démonstration. Cela a été prouvé au cours de la preuve de 2.4.4.2.

2.5 Comparaison entre les notions de cohérence

Lemme 2.5.1. Pour tout entier n ∈ ℤ, on dispose de la factorisation ℋ^{n}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Soient n ∈ ℤ fixé et ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Quitte à remplacer ℱ^{(•)}

par un objet isomorphe dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on peut supposer qu’il existe λ ∈ L tel

que ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), pour tout entier m, ℱ^{(m)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)) et tel que, pour tous m ≤ m′, le morphisme canonique

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m′))}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)}^{𝕃}ℱ^{(m)}→ ℱ^{(m′)}  (2.5.1.1)

soit un isomorphisme. On pose 𝒢^{(•)} := ℋ^{n}(ℱ^{(•)}), ℰ^{(0)} := ℋ^{n}(ℱ^{(0)}) et ℰ^{(•)} := λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}ℰ^{(0)}. Ainsi, d’après le lemme 2.1.7, le λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)}

est localement de présentation finie. On dispose du morphisme canonique ℋ^{n}(ℱ^{(0)}) → ℋ^{n}(ℱ^{(•)}) qui induit par extension le morphisme ℰ^{(•)} → 𝒢^{(•)} de M(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Comme les homomorphismes 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)_{ℚ} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)_{ℚ} sont plats, on vérifie que cette flèche devient un isomorphisme après application du foncteur ℚ⊗_{ℤ} −. Pour tout entier m, ℰ^{(m)},𝒢^{(m)} sont des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-modules cohérents. Grâce au lemme 2.1.10, il en résulte que ℰ^{(•)} → 𝒢^{(•)} est une ind-isogénie. On en déduit le résultat.

Lemme 2.5.2. On dispose du diagramme canonique commutatif

[figure: D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)); \underrightarrow{lim}; ℋ^{n}; \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)); \underrightarrow{lim}; ℋ^{n}; D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))); \underrightarrow{lim}; ℋ^{n}; M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)); \underrightarrow{lim}; \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)); \underrightarrow{lim}; \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)); \underrightarrow{lim}; D(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}); ℋ^{n}; D(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}); ℋ^{n}; D(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}); ℋ^{n}; M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}); M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}); M(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}),]

(2.5.2.1)

dont la flèche horizontale du milieu du haut est la factorisation 1.2.6, dont les foncteurs verticaux du carré du milieu sont les factorisations canoniques (voir 1.4.9.1 pour le cas des modules).

Démonstration. Comme ℚ est plat sur ℤ et que le foncteur limite inductive sur le niveau est exact, les foncteurs verticaux des deux carrés de la face de devant sont exacts (pour celui de droite, cela découle de plus de [BP09, 2.3.4–5]). Cela implique que les trois carrés parallèles à la face de droite sont commutatifs. De plus, comme le foncteur canonique M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est exact (e.g. voir [BP09, 2.3.4]), le

contour du grand rectangle de la face du haut est commutatif. Comme \underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

est une catégorie localisée de D(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), la commutativité du carré de droite de la face du haut en résulte. De la même façon, on vérifie que le carré de droite de la face du fond est commutatif.

2.5.3. On déduit alors des lemmes 2.5.1 et 2.5.2 que l’équivalence de catégories \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) de 1.2.11.1 se factorise en le foncteur pleinement fidèle

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))).  (2.5.3.1)

La proposition qui suit est la version logarithmique de [Ber96b, 2.2.7]

Proposition 2.5.4. Pour tout m′> m, le noyau de l’homomorphisme canonique ρ^{(m,m′)}: 𝒟_{P^{♯}}^{(m)} → 𝒟_{P^{♯}}^{(m′)} est l’idéal bilatère de 𝒟_{P^{♯}}^{(m)} localement engendré par les opé-

rateurs ∂_{♯,i}^{<p^{m+1} >_{(m)}} . De plus, 𝒟_{P^{♯}}^{(m′)} est localement libre sur l’image de ρ^{(m,m′)}, de base

les opérateurs de la forme \underline{∂}_{♯}^{<p^{m+1} \underline{n}>_{(m′)}} , avec \underline{n}∈ ℕ^{d}.

Démonstration. Supposons que P^{♯} admette des coordonnées locales t_{1},...,t_{d} telles que Z = V (t_{1}··· t_{r}). On déduit des calculs de la preuve de [Ber96b, 2.2.7] (en particulier, les trois dernières lignes) que le noyau de ρ^{(m,m′)}est l’ensemble des sommes finies de la forme ∑_{\underline{k}≮p^{m+1}} a\underline{k}\underline{∂}_{♯}^{<\underline{k}>_{(m)}} , avec a\underline{k}∈ 𝒪_{P} et \underline{k}≮ p^{m+1} signifiant que k_{i} ≥ p^{m+1}

pour au moins un 1 ≤ i ≤ d. Grâce à [Ber96b, 2.2.4.(ii),(iv)], on vérifie que t_{i}^{p^{m+1}} est dans le centre de 𝒟_{P}^{(m)} et donc de 𝒟_{P^{♯}}^{(m)}. Avec la formule [Ber96b, 2.2.5.1], il en ré-

sulte que ∂_{♯,i}^{<p^{m+1} >_{(m)}} = t_{i}^{p^{m+1}} ∂_{i}^{<p^{m+1} >_{(m)}} engendre ∂_{♯,i}^{<k>_{(m)}} = t_{i}^{k}∂_{i}^{<k>_{(m)}} pour k ≥ p^{m+1}. D’où le résultat pour le noyau. On en déduit, que l’image de ρ^{(m,m′)}sont les sommes

finies de la forme ∑_{\underline{k}<p^{m+1}} a\underline{k}\underline{∂}_{♯}^{<\underline{k}>_{(m′)}} , où \underline{k} < p^{m+1} signifie k_{i} < p^{m+1} quelque soit

i = 1,...,d (on utilise que \underline{∂}_{♯}^{<\underline{k}>_{(m)}} = \underline{∂}_{♯}^{<\underline{k}>_{(m′)}} pour \underline{k}< p^{m+1}). Pour \underline{r} < p^{m+1}, \underline{q} ≥ 0 (i.e. q_{i} ≥ 0 quelque soit i = 1,...,d) et \underline{k}= p^{m+1} \underline{q}+ \underline{r}, grâce à [Ber96b, 2.2.4.(iii)],

on a \underline{∂}^{<\underline{k}>_{(m′)}} = \underline{∂}^{<\underline{r}>_{(m′)}} · \underline{∂}^{<p^{m+1} \underline{q}>_{(m′)}} . Comme t_{i}^{p^{m+1}} est dans le centre de 𝒟_{P}^{(m)}, alors

t_{i}^{p^{m+1}} est dans le centre de l’image de ρ^{(m,m′)}. Comme \underline{∂}^{<\underline{r}>_{(m′)}} est dans cette image, il

en résulte que \underline{∂}_{♯}^{<\underline{k}>_{(m′)}} = \underline{∂}_{♯}^{<\underline{r}>_{(m′)}} · \underline{∂}_{♯}^{<p^{m+1} \underline{q}>_{(m′)}} . D’où le résultat.

Corollaire 2.5.5. 1. Pour tout m′> m, 𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m′)} est de Tor-dimension au plus d +

1 à droite et à gauche sur 𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)}.

2. Pour tous entiers m′′≥ m′ ≥ m, le foncteur canonique de la forme (ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m′)})ˆ⊗ _{(ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)} (T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂ _{𝒫^{♯}}^{(m)})}^{𝕃}−: D^{−} (ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}) →

D^{−} (ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m′)}) est way-out avec une amplitude bornée indépendemment de m, m′et m′′.

3. Soit λ ∈ L. On dispose (avec les notations sur la quasi-cohérence du chapitre 3) de la factorisation :

λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}^{𝕃}−: D_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Comme pour la version non logarithmique (voir [Ber02, 1.2.6]), la propriété 1) se déduit de la proposition 2.5.4. Pour tout ℰ^{(m)} ∈ D^{−} (ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}), on vérifie que le morphisme canonique

𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m′)}ˆ⊗ _{𝒟̂ _{𝒫^{♯}}^{(m)}}^{𝕃}ℰ^{(m)}→ (ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m′)})ˆ⊗ _{(ℬ̃_{𝒫}^{(m′′)} (T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂ _{𝒫^{♯}}^{(m)})}^{𝕃}ℰ^{(m)}

est un isomorphisme, ce qui nous ramène au cas où T est vide. La propriété 2) résulte alors aussitôt de 1). La propriété 3) résulte de 2) et du corollaire 3.2.3 (ce corollaire a été prouvé sans rien utiliser de cette section).

Ce corollaire 2.5.5 nous permet d’obtenir le lemme suivant :

Lemme 2.5.6. Les équivalences du lemme 1.2.10 se factorisent en les équivalences de catégories quasi-inverses de la forme \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et

ℋ^{0}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Grâce au lemme 1.2.10, il suffit de vérifier que les foncteurs sont bien définis. Grâce au lemme 2.5.1, on le sait déjà pour le foncteur ℋ^{0}. Traitons à présent le cas du foncteur oubli. Soient λ ∈ L et ℰ^{(•)} un λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module localement de présentation finie (comme d’habitude, grâce au lemme 2.2.2, il suffit de traiter ce cas). On pose ℱ^{(•)} := λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)}^{𝕃}ℰ^{(0)}. D’après le corollaire 2.5.5.3, le com-

plexe ℱ^{(•)} est à cohomologie bornée. On obtient alors que ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Soit n ∈ ℤ \ {0}. Or, comme l’extension 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(0))}(T)_{ℚ} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)_{ℚ} est plate, on ob-

tient (ℋ^{n}(ℱ^{(•)}))_{ℚ} −→^{∼} ℋ^{n}(ℱ_{ℚ}^{(•)}) −→^{∼} 0. Comme ℋ^{n}(ℱ^{(m)}) est un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}(T)-module

cohérent pour tout m, on déduit de 2.1.10 que ℋ^{n}(ℱ^{(m)}) est ind-isogène à 0. En particulier, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Avec le lemme 1.2.10, cela entraîne l’isomorphisme

ℱ^{(•)} −→^{∼} ℋ^{0}(ℱ^{(•)}) dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme ℋ^{0}(ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}, on en déduit

ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Théorème 2.5.7. Le foncteur de 2.5.3.1 induit les équivalences de catégories :

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D_{coh}^{0}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))), \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). (2.5.7.1)

Démonstration. Comme D_{coh}^{0}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) ≅ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), le lemme 2.5.6 nous permet de conclure que tel est le cas du premier foncteur. Traitons à présent l’essentielle surjectivité du second foncteur. Soit ℰ ∈ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))). Quitte à utiliser des triangles distingués de troncation et à procéder par récurrence sur le nombre d’espaces de cohomologie non nuls, avec [BGK^{+} 87, I.2.18], par pleine fidélité de notre foncteur, on se ramène au cas où ℰ ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ce qui résulte encore du lemme 2.5.6.

Remarques 2.5.8. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il résulte du théorème 2.5.7, que le fait

que ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est local en P.

Lemme 2.5.9. Notons D_{coh}^{0}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) la sous-catégorie pleine de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) des complexes ℰ tels que, pour tout entier n ≠ 0, on ait ℋ^{n}(ℰ) = 0.

1. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La propriété ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) équivaut à

celle \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} ∈ D_{coh}^{0}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

2. On dispose du diagramme de foncteurs commutatif à équivalence canonique près

\xymatrix{\underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅} \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅}_{ℋ^{0}} \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} \\ Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) \ar[r]^{≅} & D_{coh}^{0}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) \ar[r]^{≅}_{ℋ^{0}} & Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}),}

(2.5.9.1)

dont tous les foncteurs sont des équivalences de catégories.

Démonstration. On déduit de 2.5.2.1 que l’on bénéficie pour tout n ∈ ℤ du diagramme de foncteur commutatif à équivalence canonique près

\xymatrix{\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]_{ℋ^{n}} \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} \\ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) \ar[r]_{ℋ^{n}} & Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}),}  (2.5.9.2)

dont les foncteurs verticaux sont des équivalences de catégories (voir 2.4.4.2 pour celle de droite). On en déduit la première assertion du lemme. La seconde assertion découle aussitôt de la première équivalence de catégories du théorème 2.5.7.

3 Foncteur de localisation en dehors d’un diviseur

3.1 Produits tensoriels, quasi-cohérence et foncteur oubli

3.1.1. Pour tous ℰ,ℱ ∈ D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)) et ℳ ∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)^{d}), on pose :

ℳ_{i} := ℳ ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)}^{𝕃}𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T), ℰ_{i} := 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℰ,

ℳˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℰ:= ℝlim_{⟵_{i}}(ℳ_{i}⊗_{ℬ̃_{P_{i}}^{(m)} (T)}^{𝕃}ℰ_{i}), ℰˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℱ:= ℝlim_{⟵_{i}}(ℰ_{i}⊗_{ℬ̃_{P_{i}}^{(m)} (T)}^{𝕃}ℱ_{i}),

ℳˆ⊗ _{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℰ:= ℝlim_{⟵_{i}}(ℳ_{i}⊗_{𝒟̃_{P{♯ \atop i}}^{(m)} (T)}^{𝕃}ℰ_{i}).  (3.1.1.1)

3.1.2. Pour tous ℰ^{(•)} ∈ D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ℳ^{(•)} ∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)^{d}), on pose

ℳ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}^{†} ℰ^{(•)} := (ℳ^{(m)}ˆ⊗ _{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} (T)}^{𝕃}ℰ^{(m)})_{m∈ℕ}.  (3.1.2.1)

Pour ? = d ou ? = g, on définit les bifoncteurs produits tensoriels

−⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}−: D^{−} (^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) × D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D^{−} (^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)),  (3.1.2.2)

en posant, pour tous ℰ^{(•)} ∈ D^{−} (^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ℱ^{(•)} ∈ D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)),

ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}ℱ^{(•)} := (ℰ^{(m)}ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(m)} (T)}^{𝕃}ℱ^{(m)})_{m∈ℕ}.

Notations 3.1.3 (Quasi-cohérence et foncteur oubli partiel du diviseur). Soit D ⊂ T un second diviseur.

• Soit ℰ^{(m)} ∈ D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)). Comme 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T) (resp. ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)) n’a pas de ptorsion, il résulte du théorème [Ber02, 3.2.2] de Berthelot que ℰ^{(m)} est quasicohérent au sens de Berthelot comme objet de D^{b}(^{g}𝒟_{𝒫}^{(m)}) (voir la définition [Ber02, 3.2.1]) si et seulement si ℰ_{0}^{(m)} ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{P}) et le morphisme canonique ℰ^{(m)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℰ^{(m)} (resp. ℰ^{(m)} → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(T)}^{𝕃}ℰ^{(m)}) est un isomorphisme. En particulier, cela ne dépend pas de T. En notant D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)), la sous-catégorie pleine de D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)) des complexes quasi-cohérents, on dispose alors du foncteur « oubli partiel du diviseur » oub_{D,T}: D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)) → D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(D)) qui est une factorisation du foncteur oubli canonique oub_{D,T}: D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)) → D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(D)).

• De manière analogue, on note D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes ℰ^{(•)} tels que, pour tout m ∈ ℤ, ℰ_{0}^{(m)} ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{P}) et le morphisme canonique ℰ^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}^{𝕃}ℰ^{(•)} soit un isomorphisme

de D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On bénéficie encore du foncteur « oubli partiel du diviseur » oub_{D,T}: D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).

• On note \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes isomorphes dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) à un complexe appartenant D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le foncteur oub_{D,T} (du second point) envoie une limind-isogénie sur une lim-ind-isogénie, on en déduit sa factorisation de la forme :

oub_{D,T}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).  (3.1.3.1)

• On note encore oub_{D,T}: D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) → D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) le foncteur oubli partiel du diviseur.

Remarques 3.1.4. Soit ℰ^{(•)} ∈ D^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La propriété ℰ^{(•)} ∈ D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) équi-

vaut à, pour tout m ∈ ℤ, ℰ^{(m)} ∈ D_{qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)). Ainsi, la catégorie \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ci-dessus correspond à celle donnée par Berthelot dans [Ber02, 4.2.3] sans pôle logarithmique ni singularités surconvergentes.

Lemme 3.1.5. Le bifoncteur 3.1.2.2 se factorise en

−⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}−: \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) × \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). (3.1.5.1)

Démonstration. Soient ℰ^{(•)} ∈ D^{−} (^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), ℱ^{(•)} ∈ D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Soient χ ∈ M, λ ∈

L. Il existe alors un morphisme ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} → λ^{∗}χ^{∗}( ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}ℱ^{(•)})

(on résout ℱ^{(•)} par des 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-modules plats, on utilise qu’un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module 𝒫^{(•)}

est plat si et seulement si les 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)-module 𝒫^{(m)}sont plats) induisant le diagramme canonique commutatif

\xymatrix{ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}ℱ^{(•)} \ar[r] \ar[d] & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)} \ar[d] \ar@{.>}[dl] \\ λ^{∗}χ^{∗}( ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}ℱ^{(•)}) \ar[r] & λ^{∗}χ^{∗}( ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}λ^{∗}χ^{∗}ℱ^{(•)}) .}

On en déduit la factorisation

−⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}−: D^{−} (^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) × \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{−}(^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

De même, on obtient la factorisation sur le premier facteur. D’où le résultat.

3.2 Définition et propriétés dans le cas des complexes

Soient m′ ≥ m ≥ 0 deux entiers, D′ ⊂ D ⊂ T trois diviseurs (réduits) de P. On dispose alors des morphismes canoniques ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D′) → ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D) → ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) (voir la construction dans [Ber96b, 4.2.3]). Conformément aux notations de [Ber02], notons D_{ℚ,qc}^{−}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)) (resp. D_{ℚ,qc}^{−}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)})) la localisation de la catégorie

D_{qc}^{−}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)) (D_{qc}^{−}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)})) par les isogénies.

Lemme 3.2.1. 1. Le noyau de l’épimorphisme ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) →

ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est un 𝒪_{P}-module quasi-cohérent.

2. Le morphisme canonique ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est un isomorphisme.

Démonstration. Il suffit d’établir le lemme pour λ_{0} = id. Comme le lemme est locale, on peut supposer 𝒫 affine, intègre et qu’il existe f ∈ 𝒪_{𝒫} (resp. g ∈ 𝒪_{𝒫} ) relevant une équation locale de T ⊂ P (resp D ⊂ P). Comme les diviseurs sont réduits, f est un multiple de g modulo π𝒪_{𝒫} . Comme ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) ne dépend que de f modulo π𝒪_{𝒫} (voir [Ber96b, 4.2.3]), une fois g fixé, on peut choisir f égal à un multiple de g. Posons ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) := 𝒪_{𝒫} [X]/(f^{p^{m′+1}} X −p) et ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) := 𝒪_{𝒫} [X]/(g^{p^{m+1}} X −p). On dispose du

morphisme canonique de la forme ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) → ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) (voir [Ber96b, 4.2.1.(ii)]).

1) Prouvons d’abord que, pour tout j ≤ −1, ℋ^{j}(ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)) = 0.

On dispose de la suite exacte courte 0 → 𝒪_{𝒫} [X] −→_{g^{p^{m+1}} X−p} 𝒪_{𝒫} [X] → ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) → 0.

Comme cette suite exacte donne une résolution canonique de ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) par des 𝒪_{𝒫} -

modules plats, en appliquant le foncteur − ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) à cette suite exacte, on

constate qu’il s’agit alors d’établir que g^{p^{m+1}} n’est pas un diviseur de zéro de B_{𝒫}^{(m′)}(f).

Comme B_{𝒫}^{(m′)}(f) est intègre (voir [Ber96b, 4.3.3]), on conclut.

2) En notant abusivement \frac{p}{g^{p^{m+1}}} la classe de X dans B_{𝒫}^{(m)}(g) et encore \frac{p}{g^{p^{m+1}}} son image

dans B_{𝒫}^{(m′)}(f), on obtient le diagramme canonique de morphismes B_{𝒫}^{(m′)}(f)-linéaires :

[figure: 𝒪_{𝒫} [X] ⊗_{𝒪𝒫} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); (gpm+1 X−p)⊗id; 𝒪_{𝒫} [X] ⊗_{𝒪𝒫} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪𝒫} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); 0; ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)[X]; X− \frac{p}{gpm+1}; ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)[X]; ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); 0,]

dont les suites horizontales forment des suites exactes et dont le carré, ayant pour flèches horizontales les morphismes de B_{𝒫}^{(m′)}(f)-algèbres induit par respectivement X ↦ \frac{p}{g^{p^{m+1}}} ⊗ 1 et X ↦ \frac{p}{g^{p^{m+1}}} , est commutatif. On en déduit que le noyau, noté

𝒩_{0}, de la surjection canonique ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) → ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) est annulé par

g^{p^{m+1}} ⊗ 1 et donc par p. Comme ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f) est sans p-torsion, comme ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}

ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) −→^{∼} 𝒱/π^{i+1} 𝒱 ⊗_{𝒱} ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f), on en déduit la suite exacte courte

0 → 𝒩_{0} → ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D) ⊗_{O_{P_{i}}}ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) → ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) → 0. Pour i = 0, cela entraîne que 𝒩_{0} est un 𝒪_{P}-module quasi-cohérent. D’après [Ber02, 3.2.1.b)], il en résulte que 𝒩_{0} ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{𝒫} ). En passant à la limite projectif, on obtient de plus la suite exacte :

0 → 𝒩_{0} → ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) → 0. Comme ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) est sans p-

torsion et séparé complet, alors ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{𝒫} ). Il en est donc de même de

ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T). D’après [Ber02, 3.2.2], ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T) ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{𝒫} ) et

𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ( ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T)) −→^{∼} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T). Il reste à établir l’iso-

morphisme canonique 𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ( ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T))−→^{∼} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D)⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T).

Or, en appliquant le foncteur 𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} − au diagramme

[figure: 0; 𝒩_{0}; ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f); 0; 0; 𝒩_{0}; ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T); ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T); 0,]

on obtient 𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ( ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)) −→^{∼} 𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ( ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m′)}(T)).

Enfin, d’après l’étape 1), on obtient 𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ( ℬ_{𝒫}^{(m)}(g) ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)) −→^{∼} (𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃}

ℬ_{𝒫}^{(m)}(g)) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} (𝒪_{P_{i}}⊗_{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ_{𝒫}^{(m′)}(f)) −→^{∼} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(D) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T).

Proposition 3.2.2. Les morphismes ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) sont des isogénies. Démonstration. D’après le lemme 3.2.1, le morphisme canonique ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D′)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est une isogénie. Comme le foncteur ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}− envoie une isogénie sur une isogénie, il en est donc de même du morphisme induit ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D′)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)) →

ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T). Comme la composition ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) −→^{∼}

ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D′)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est égal au morphisme canonique de la forme apparaissant dans le lemme 3.2.1, ce composé est donc une isogénie. Il en résulte que le morphisme canonique ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est une isogénie. De même (on enlève les 𝕃) on vérifie que le morphisme canonique ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est une isogénie. Comme le composé des deux morphismes canoniques

ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D′)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) −→^{∼} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T) est l’identité, il en résulte

que le premier morphisme est aussi une isogénie. Le corollaire qui suit n’utilise que les résultats élémentaires de cette section et a été utilisé pour valider le corollaire 2.5.5. Corollaire 3.2.3. 1. Les foncteurs de la forme ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} − sont de di-

mension cohomologique égale à 1. Le foncteur ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} − est way-out sur D^{−} (ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)) avec une amplitude bornée indépendemment de m′et m.

2. Le foncteur ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D)}^{𝕃}−: D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)) → D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)) est wayout avec une amplitude bornée indépendemment de m′et m. On dispose de la factorisation ℬ̃_{𝒫}^{(m+•)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D)}^{𝕃}−: D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m+•)}(T)).

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

3. Le foncteur canonique de la forme (ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)})ˆ⊗ _{(ℬ̃_{𝒫}^{(m)} (D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂ _{𝒫^{♯}}^{(m)})}^{𝕃}−:

D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}) → D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}) est way-out avec une amplitude bornée indépendemment de m′et m.

Démonstration. Vérifions 1). Comme le reste en découle, établissons seulement que ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} − est de dimension cohomologique égale à 1. Comme cela est locale, on peut supposer 𝒫 affine, intègre et qu’il existe f ∈ 𝒪_{𝒫} relevant une équation locale T ⊂ P. Il suffit alors de considérer la suite exacte courte 0 → 𝒪_{P_{i}}[X] −→_{\overline{f} ^{p^{m′+1}} X−p}

𝒪_{P_{i}}[X] → ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) → 0 où \overline{f} est la réduction de f modulo π^{i+1} , qui donne une réso-

lution canonique à la longueur souhaitée de ℬ_{P_{i}}^{(m′)}(T) par des 𝒪_{P_{i}}-modules plats. Trai-

tons à présent 2). Pour tout ℰ^{(m)} ∈ D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)), on dispose des isomorphismes

canoniques dans D_{ℚ}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)) (on utilise 1) pour garantir la bornitude) :

ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D)}^{𝕃} ℰ^{(m)} −→^{∼} ; 3.2.1 (ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D))ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D)}^{𝕃} ℰ^{(m)} −→^{∼} ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℰ^{(m)}.

(3.2.3.1)

Grâce au théorème de Berthelot [Ber02, 3.2.2] (on remarque qu’il n’est valable que pour les complexes à cohomologie bornée), les isomorphismes de 3.2.3.1 sont en fait dans D_{ℚ,qc}^{b}(ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)). On en déduit 2) grâce à 1). Traitons à présent 3). De manière

analogue à [Car06, 1.1.8], on vérifie que, pour tout ℰ^{(m)}∈ D^{−} (ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)}), le morphisme canonique

ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃ _{𝒫}^{(m)}(D)}^{𝕃}ℰ^{(m)}→ (ℬ̃_{𝒫}^{(m′)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(m)})ˆ⊗ _{(ℬ̃_{𝒫}^{(m)} (D)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} 𝒟̂ _{𝒫^{♯}}^{(m)})}^{𝕃}ℰ^{(m)}

est un isomorphisme. D’où le résultat.

3.2.4. Pour tout ℰ^{(•)} ∈ D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)), comme pour [Car06, 1.1.8], (i.e. il est inutile de localiser pour obtenir la commutativité du diagramme ci-dessous et cela reste valable avec des pôles logarithmiques), on bénéficie du diagramme commutatif dans D^{−} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) :

[figure: (ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(m)} (D)}^{𝕃}ℰ^{(m)})_{m∈ℕ}; def; ∼; 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}D)_{ℚ}}^{†} ℰ^{(•)}; ∼; (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} (D)}^{𝕃}ℰ^{(m)})_{m∈ℕ}; def; 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}⊗^{𝕃} _{𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}}^{†} ℰ^{(•)} =: (^{†}T,D)(ℰ^{(•)}).]

(3.2.4.1)

Comme pour le lemme 3.1.5, grâce au corollaire 3.2.3 qui entraîne la stabilité d’être à cohomologie bornée, on vérifie la factorisation de ce foncteur sous la forme :

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

(^{†}T, D) := 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}⊗^{𝕃} _{𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}}^{†} −: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). (3.2.4.2)

On écrit aussi ℰ^{(•)}(^{†}D, T) := (^{†}T, D)(ℰ^{(•)}). Ce foncteur (^{†}T, D) est « le foncteur extension (du diviseur de D à T) ». On dit aussi que (^{†}T, D) est le « foncteur de localisation en dehors de T ». Lorsque D = ∅ où plus généralement lorsqu’il n’y a aucune confusion à craindre sur D, on omet de l’indiquer. On note de manière analogue pour les complexes cohérents :

(^{†}T,D) := 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ} ⊗_{𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}} −: D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

(3.2.4.3)

Le foncteur 3.2.4.3 restreint aux modules cohérents est exact, ce qui justifie l’absence du symbole 𝕃.

3.2.5. Notons oub_{♯} les foncteurs oublis canoniques de la forme oub_{♯}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(D)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) ou de la forme oub_{♯}: D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}). On déduit de 3.2.4.1 que les foncteurs de localisation (^{†}T,D) de 3.2.4.2 ou de 3.2.4.3 ne dépendent pas de la log-structure, i.e., on dispose de l’isomorphisme canonique

(^{†}T,D) ∘ oub_{♯} −→^{∼} oub_{♯}∘ (^{†}T,D)  (3.2.5.1)

de foncteurs de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(D)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ou de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

Proposition 3.2.6. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

1. Le morphisme canonique fonctoriel en ℰ^{(•)} :

(^{†}T, D) ∘ oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)}  (3.2.6.1)

est un isomorphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

2. Le morphisme canonique fonctoriel en ℰ^{(•)} :

oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) → oub_{D,T}∘ (^{†}T,D) ∘ oub_{D,T}(ℰ^{(•)})  (3.2.6.2)

est un isomorphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).

3. Le foncteur oub_{D,T}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) est pleinement fidèle.

Démonstration. Avec les notations 3.2.4.1, on dispose des isomorphismes canoniques de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) :

ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(•)} (D)}^{𝕃}ℰ^{(•)} −→^{∼} ( ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(•)} (D)}^{𝕃}ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T))ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(•)} (T)}^{𝕃}ℰ^{(•)}
−→^{∼} ; 3.2.2ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)ˆ⊗ _{ℬ̃_{𝒫}^{(•)} (T)}^{𝕃}ℰ^{(•)} ⟵^{∼} ℰ^{(•)}.

Cette composition est le morphisme canonique (^{†}T, D) ∘ oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} qui est donc un isomorphisme. Il en résulte l’isomorphisme canonique oub_{D,T} ∘ (^{†}T,D) ∘ oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)). Comme le composé oub_{T,D}(ℰ^{(•)}) → oub_{D,T}∘(^{†}T,D)∘oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} oub_{D,T}(ℰ^{(•)}) est l’identité, on en déduit que le morphisme canonique 3.2.6.2 est un isomorphisme. La pleine fidélité de oub_{D,T} découle des deux premières assertions.

Corollaire 3.2.7. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)). Le morphisme canonique fonctoriel en ℰ^{(•)} :

(^{†}T, D′) ∘ oub_{D′,D}(ℰ^{(•)}) → (^{†}T, D)(ℰ^{(•)})  (3.2.7.1)

est un isomorphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. D’après 3.2.6.1, on bénéficie de l’isomorphisme canonique (^{†}D, D′) ∘ oub_{D′,D}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}. En lui appliquant le foncteur (^{†}T, D), l’isomorphisme (^{†}T, D′) −→^{∼} (^{†}T, D) ∘ (^{†}D, D′) nous permet alors de conclure.

Notations 3.2.8. On note D_{tdf}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de D^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

des complexes de Tor-dimension finie. On note \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc,tdf}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie

strictement pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des objets isomorphes dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

à un objet de D_{tdf}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Corollaire 3.2.9. 1. Avec les notations de 3.2.8, on bénéficie de l’égalité \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) = \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc,tdf}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

2. Le bifoncteur 3.1.5.1 se factorise en le bifoncteur

−⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ}}^{†}−: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) × \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(^{?}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). (3.2.9.1)

Démonstration. Comme la seconde propriété résulte de la première, établissons 1). Dans un premier temps, supposons T vide. Grâce au théorème [Ber02, 3.2.3] de Berthelot qui reste valable avec des structures logarithmiques, on se ramène à établir D_{qc}^{b}(𝒟_{P^{♯}}^{(m)}) = D_{qc,tdf}^{b}(𝒟_{P^{♯}}^{(m)}). Comme cela est local (P est supposé quasi-compact), on peut supposer P affine. Avec les théorèmes de type A pour les faisceaux quasicohérents, on se ramène alors à vérifier D^{b}(D_{P^{♯}}^{(m)}) = D_{tdf}^{b}(D_{P^{♯}}^{(m)}). Cette dernière éga-

lité résulte du fait que D_{P^{♯}}^{(m)} est un anneau de dimension cohomologique finie (voir [Mon02, Proposition 5.3.1]) et de [SGA6, I.5.9]. Revenons à présent au cas général. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Il découle de 3.2.6.1 utilisé pour D vide, que l’on dispose de l’isomorphisme (^{†}T) ∘ oub_{T}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}. D’après le premier cas traité, on obtient oub_{T}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc,tdf}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Comme le foncteur (^{†}T) préserve la Tordimension finie, on conclut la preuve.

Après avoir traiter le cas d’un diviseur inclus dans un autre, terminons cette section par considérer le cas de deux diviseurs dont les composantes irréductibles sont distinctes.

Lemme 3.2.10. Soient T, T′deux diviseurs de P dont les composantes irréductibles sont distinctes, 𝔘′′l’ouvert de 𝒫 complémentaire de T ∪ T′.

1. Pour tout i ∈ ℕ, le morphisme canonique ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T′) →

ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}} ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T′) est un isomorphisme.

2. Le morphisme canonique ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T′) → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T′) est

un isomorphisme et la 𝒪_{𝒫} -algèbre ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T′) est sans p-torsion.

3. Le morphisme canonique de 𝒪_{𝒫} -algèbres ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T′) → j_{∗}𝒪_{𝔘′′}, où j: 𝔘′′↪ 𝒫 est l’inclusion, est un monomorphisme.

4. Soient χ, λ: ℕ → ℕ définis respectivement pour tout entier m ∈ ℕ en posant χ(m) := p^{p−1} et λ(m) := m + 1. On dispose des monomorphismes canoniques de la forme α^{(•)}: ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′) → ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T ∪T′) et β^{(•)}: ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T ∪T′) → λ^{∗}χ^{∗}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′)) tels que λ^{∗}χ^{∗}(α^{(•)})∘β^{(•)} et β^{(•)}∘α^{(•)} sont les morphismes canoniques.

Démonstration. Il ne coûte pas cher de supposer λ_{0} = id. Comme les assertions sont locales, on peut supposer 𝒫 affine, intègre et qu’il existe f_{1},...,f_{r} ∈ 𝒪_{𝒫} (resp. f′_{1},...,f′_{r′}∈ 𝒪_{𝒫} ) relevant une équation locale des composantes irréductibles de T ⊂ P (resp T′⊂ P). Notons f := ∏ _{s=1}^{r} f_{s} et f′:= ∏ _{s=1}^{r′} f′_{s}. On dispose alors des égalités

ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) −→^{∼} 𝒪_{𝒫} {X}/(f^{p^{m+1}} X − p) et ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T′) −→^{∼} 𝒪_{𝒫} {X′}/((f′)^{p^{m+1}} X′− p), où

on a pris soin de distinguer les variables X et X′.

1) Il s’agit d’établir que, pour tout j ≤ −1, ℋ^{j}(ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T′)) = 0.

On dispose de la suite exacte courte 0 → 𝒪_{P_{i}}[X] −→_{\overline{f} ^{p^{m+1}} X−p} 𝒪_{P_{i}}[X] → ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) → 0

où \overline{f} est la réduction de f modulo π^{i+1} . Comme cette suite exacte donne une résolution canonique de ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) par des 𝒪_{P_{i}}-modules plats, en appliquant le fonc-

teur − ⊗_{𝒪_{P_{i}}} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T′) à cette suite exacte, on constate qu’il s’agit alors d’établir que

l’image de \overline{f} dans B_{P_{i}}^{(m)}(T′) est non nul et n’est pas un diviseur de zéro. Comme

B̂_{𝒫}^{(m)}(T′) est sans-p-torsion (voir [Ber96b, 4.3.3]), on se ramène au cas i = 0. On a

alors B_{P}^{(m)}(T′) −→^{∼} O_{P}[X′]/(\overline{f′}^{p^{m+1}} X′) où \overline{f′} est la réduction de f′modulo π. Soient P(X′),Q(X′) ∈ 𝒪_{P}[X′] tels que \overline{f} · P(X′) = (\overline{f′}^{p^{m+1}} X′) · Q(X′). Comme les compo-

santes irréductibles de T et T′sont distinctes, il en résulte que \overline{f′}^{p^{m+1}} X′divise P(X′). D’où le résultat.

2) En appliquant le foncteur ℝlim_{⟵_{i}} aux isomorphismes canoniques de 1), via

Mittag-Leffler, on obtient l’isomorphisme de 2) voulu. De plus, d’après [Ber02,

3.2.2], ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T′) ∈ D_{qc}^{b}(𝒪_{𝒫} ) et k ⊗_{𝒱}^{𝕃} ( ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗ _{𝒪_{𝒫}}^{𝕃} ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T′)) −→^{∼}

ℬ_{P}^{(m)}(T)⊗_{𝒪_{P}}^{𝕃} ℬ_{P}^{(m)}(T′). Il en résulte d’après 1) et l’isomorphisme de 2) que ℋ^{−1} (k⊗_{𝒱}^{𝕃}

(ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̂_{𝒫}^{(m)}(T′))) −→^{∼} 0.

3) Il suffit de reprendre le fil de la preuve de [Ber96b, 4.3.3.(ii)] : notons B̂:= B̂_{𝒫}^{(m)}(T)ˆ⊗_{O_{𝒫}} B̂_{𝒫}^{(m)}(T′). Comme B̂ est sans p-torsion, il est aussi sans f-torsion et s’injecte donc B̂_{f}. Notons 𝔘 l’ouvert de 𝒫 complémentaire de T. On obtient :

(B̂_{f}) −→^{∼} O_{𝔘} ˆ⊗_{O_{𝒫}} B̂_{𝒫}^{(m)}(T′) −→^{∼} B̂_{𝔘}^{(m)}(T′∩ U) ⊂ O_{𝔘′′} (cette dernière inclusion est

[Ber96b, 4.3.3.(ii)]). Il suffit donc de prouver que B̂_{f} est p-adiquement séparé. On note encore X, l’image de X dans B̂. Comme X est un diviseur de p, il suffit d’établir que B̂_{f} est X-adiquement séparé. Soient b,x ∈ B̂_{f} tels que (1 − bX)x = 0. Il s’agit de prouver que x = 0. Quitte à multiplier par une puissance de f assez grande, on peut supposer b,x ∈ B̂ et qu’il existe s ∈ ℕ assez grand tel

que (f^{s} − bX)x = 0. Or, B̂/XB̂ −→^{∼} O_{𝒫} /pO_{𝒫} ⊗_{O_{𝒫}} 𝒪_{𝒫} {X′}/((f′)^{p^{m+1}} X′− p) −→^{∼}

(O_{𝒫} /pO_{𝒫} )[X′]/(\overline{f′}^{p^{m+1}} X′) −→^{∼} B_{P}^{(m)}(T′). Comme l’image de f^{s} dans B_{P}^{(m)}(T′) est

non nul et n’est pas un diviseur de zéro (voir l’étape 1), on en déduit que l’égalité (f^{s} − bX)x = 0 implique que x ∈ XB̂. Par itération du raisonnement, on obtient x ∈ ∩_{n∈ℕ}X^{n}B̂. Il existe donc c ∈ B̂tel que (1 − cX)x = 0.

Or, B̂/pB̂ −→^{∼} B_{P}^{(m)}(T′)[X]/(\overline{f} ^{p^{m+1}} X). La relation (1 − cX)x = 0 dans B̂ induit dans B̂/pB̂ l’égalité (1 − \overline{c}X)\overline{x} = 0. Soient c̃(X), x̃(X) des éléments de B_{P}^{(m)}(T′)[X] in-

duisant modulo \overline{f} ^{p^{m+1}} X les éléments \overline{c}, \overline{x}. Ainsi, (1 − c̃(X)X)x̃(X) = \overline{f} ^{p^{m+1}} XQ(X), avec Q(X) ∈ B_{P}^{(m)}(T′)[X]. Il en résulte qu’il existe R(X) ∈ B_{P}^{(m)}(T′)[X] tel que x̃(X) =

XR(X). D’où (1 − c̃(X)X)R(X) = \overline{f} ^{p^{m+1}} Q(X), ce qui entraîne que \overline{f} ^{p^{m+1}} divise R(X). Ainsi, on a vérifié que \overline{x}= 0, i.e. x ∈ pB̂. Comme B̂est sans p-torsion, en réitérant le procédé on obtient x ∈ ∩_{n∈ℕ}p^{n}B̂= {0}, ce qu’il fallait démontrer.

4) La définition du morphisme α^{(m)} est triviale. Le fait que cela soit un monomorphisme résulte aussitôt de 3. De plus, on note γ^{(m)}: 𝒪_{𝒫} [X] → (ℬ̃_{𝒫}^{(m+1)}(T)ˆ⊗_{𝒪_{𝒫}} ℬ̃_{𝒫}^{(m+1)}(T′))_{ℚ} le morphisme de 𝒪_{𝒫} -algèbres défini en posant γ^{(m)}(X) := \frac{1}{p}(\frac{p}{f^{p^{m+1}}} ˆ⊗ \frac{p}{(f′)^{p^{m+1}}} ). Soient n ∈ ℕ, q ∈ ℕ, r ∈ ℕ tels que 0 ≤ r < p et

n = pq + r. On calcule γ^{(m)}(X^{n}) = \frac{1}{p^{r}}(\frac{p}{f^{p^{m+1}}} ˆ⊗ \frac{p}{(f′)^{p^{m+1}}} )^{r}( p^{p−2} (\frac{p}{f^{p^{m+2}}} ˆ⊗ \frac{p}{(f′)^{p^{m+2}}} )) ^{q}.

Le morphisme p^{p−1} γ^{(m)} se factorise alors canoniquement en le morphisme de la forme β^{(m)} voulu.

Proposition 3.2.11. Soient T′,T deux diviseurs de P. Pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), on dispose de l’isomorphisme (^{†}T′) ∘ (^{†}T)(ℰ^{(•)}) → (T′∪ T)(ℰ^{(•)}) fonctoriel en T, T′, ℰ^{(•)}.

Démonstration. Soient T_{1},T_{2},T′′des diviseurs dont les composantes irréductibles sont distinctes deux à deux et tels que T = T_{1}∪T′′et T′= T_{2}∪T′′. Par associativité du produit tensoriel, il résulte de 3.2.10 que (^{†}T′)∘(^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T_{2})∘(^{†}T′′)∘(^{†}T′′)∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)}). Grâce à 3.2.6, on obtient (^{†}T′′) ∘ (^{†}T′′) −→^{∼} (^{†}T′′). Avec encore 3.2.10, comme T ∪ T′= T_{1}∪ T′′∪ T_{2}, on en déduit le résultat.

3.3 Définition et propriétés dans le cas des modules

Soit T′⊃ T un second diviseur de P.

3.3.1. Soit ℰ^{(•)} ∈ M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On définit le foncteur extension du divi-

seur (^{†}T′,T)^{0}: M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) en posant (^{†}T′,T)^{0}(ℰ^{(•)}) :=

𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)ˆ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)}. On dit que ℰ^{(•)} est « pseudo quasi-cohérent » si le morphisme

canonique ℰ^{(•)} → (^{†}T,T)^{0}(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme. Si ℰ^{(•)} est sans p-torsion, il est clair que ℰ^{(•)} ∈ D_{qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), si et seulement si ℰ^{(•)} est pseudo quasi-cohérent.

On note M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), la sous-catégorie pleine de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des modules pseudo quasi-cohérents.

3.3.2. Comme la pseudo quasi-cohérence est une notion indépendante du choix des diviseurs, le foncteur oubli se factorise en un foncteur de la forme oub_{T,T′}: M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) → M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La factorisation

(^{†}T′,T)^{0}: M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) est encore plus évidente. Comme pour 3.2.6 (i.e., il suffit d’enlever les « 𝕃 » dans la preuve) , on déduit de 3.2.2 que, pour tout ℰ^{′(•)}∈ M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)), les morphismes canoniques fonctoriels en ℰ^{′(•)}:

oub_{T,T′}(ℰ^{′(•)}) → oub_{T,T′}∘ (^{†}T′,T)^{0}∘ oub_{T,T′}(ℰ^{′(•)}),
(^{†}T′,T)^{0}∘ oub_{T,T′}(ℰ^{′(•)}) → ℰ^{′(•)}  (3.3.2.1)

sont des isomorphismes. Le foncteur oub_{T,T′}: M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) → M_{pqc}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est donc pleinement fidèle.

3.3.3. Comme pour 3.1.5.1, on vérifie que le foncteur (^{†}T′,T)^{0} se factorise en

(^{†}T′,T)^{0}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)).  (3.3.3.1)

Le foncteur oubli canonique M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) se factorise en le foncteur noté

oub_{T,T′}: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).  (3.3.3.2)

Il semble faux que le foncteur 3.3.3.2 soit pleinement fidèle sans hypothèse de finitude. Néanmoins, nous verrons que tel est le cas pour les modules cohérents à lim-ind-isogénie près (voir 3.4.5.1).

Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules … 1565

3.4 Théorème de type A 3.4.1. Supposons 𝒫 affine.

• On dispose du foncteur section globale Γ(𝒫,−): M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) défini en posant Γ(𝒫,ℰ^{(•)}) := E^{(•)}, où E^{(m)} → E^{(m+1)} est l’image par le foncteur Γ(𝒫,−) de la flèche ℰ^{(m)} → ℰ^{(m+1)}. Comme le foncteur Γ(𝒫,−) commute canoniquement au foncteur χ^{∗}, le foncteur Γ(𝒫,−) transforme les indisogénies en ind-isogénies. Il induit donc le foncteur Γ(𝒫,−): \underrightarrow{M}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{M}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De même, comme Γ(𝒫,−) envoie une lim-ind-isogénie sur une lim-ind-isogénie, on obtient la factorisation Γ(𝒫,−): \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

• On dispose du foncteur 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}−: M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On vérifie de même que l’on obtient la factorisation 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)} −: \underrightarrow{LM}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Lemme 3.4.2. Donnons-nous λ ∈ L, T′⊃ T un second diviseur.

• Pour tout λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module ℰ^{(•)}, les morphismes canoniques 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)⊗_{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)ˆ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)ˆ⊗_{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} sont des isomorphismes de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)).

• Pour tout λ^{∗}D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)-module F^{(•)}, les morphismes canoniques 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{λ^{∗}D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} → λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗_{λ^{∗}D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} sont des isomorphismes de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. On dispose de la factorisation λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)} ℰ^{(•)} → λ^{∗}( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)}) s’inscrivant dans le diagramme canonique commutatif

\xymatrix{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[d] & λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)} \ar[d] \ar@{.>}[dl] \\ λ^{∗}( 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)}) \ar[r] & λ^{∗}( λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′) ⊗_{λ^{∗}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)} (T)}ℰ^{(•)}) ,} (3.4.2.1)

et de même en remplaçant « ⊗ » par « ˆ⊗ ». On en déduit la première assertion. On procède de manière analogue pour la seconde.

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

Lemme 3.4.3. Soit T′⊃ T un second diviseur.

1. Le foncteur (^{†}T′,T)^{0} se factorise en

(^{†}T′,T)^{0}: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)).  (3.4.3.1)

2. Pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), le morphisme canonique 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}

ℰ^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)ˆ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}ℰ^{(•)} est un isomorphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)).

3. Supposons que 𝒫 soit affine. Pour tout F^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), le morphisme

canonique 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}F^{(•)} est alors un isomor-

phisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. D’après le lemme 2.4.5, pour vérifier la préservation de la cohérence, on peut supposer qu’il existe m_{0},n_{0} ∈ ℕ tels que ℰ^{(•)} (resp. F^{(•)}) soit un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)-module localement de présentation finie (resp. un D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+n_{0})} (T)-module de présentation finie). On obtient ainsi les égalités (à isomorphisme canonique près) : ℰ^{(•)} = 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T) ⊗_{𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m_{0})}(T)}ℰ^{(m_{0})} et F^{(•)} = D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+n_{0})} (T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(n_{0})}(T)}F^{(n_{0})}. Le lemme

3.4.2 nous permet de conclure.

Proposition 3.4.4. Supposons 𝒫 affine. On dispose alors des factorisations canoniques Γ(𝒫,−): \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}

−: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) qui induisent des équivalences quasiinverses de catégories.

Démonstration. On procède de manière analogue à la preuve du lemme 3.4.3 en utilisant en plus les théorèmes de type A du deuxième point de la remarque 2.1.9.

3.4.5. On dispose du diagramme canonique

\xymatrix{\underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅} \ar[d]^{(^{†}T′,T)^{0}} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅}_{ℋ^{0}} \ar[d]^{(^{†}T′,T)} & \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[d]^{(^{†}T′,T)^{0}} \\ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) \ar[r]^{≅} \ar[d]^{oub_{T,T′}} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) \ar[r]^{≅}_{ℋ^{0}} \ar[d]^{oub_{T,T′}} & \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) \ar[d]^{oub_{T,T′}} \\ \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅} & \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[r]^{≅}_{ℋ^{0}} & \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))} (3.4.5.1)

commutatif à isomorphisme canoniques près. En effet, il suffit de reprendre les arguments de la preuve du lemme 2.5.6. Comme le foncteur oubli oub_{T,T′}du milieu est pleinement fidèle (voir 3.2.6), on en déduit qu’il en est de même oub_{T,T′}: \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) → \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

3.5 Un critère de stabilité de la cohérence par localisation en dehors d’un diviseur

Théorème 3.5.1. Soient T′ ⊃ T un diviseur, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et

ℰ := \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). On suppose de plus que le morphisme

ℰ → (^{†}T′,T)(ℰ) est un isomorphisme dans D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Le morphisme cano-

nique ℰ^{(•)} → (^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}) est alors un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. 0) On se ramène au cas où ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Pour tout entier n ∈ ℤ, d’après le lemme 2.5.1, on a ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De plus, d’après le corollaire 1.2.12, le morphisme canonique ϕ: ℰ^{(•)} → (^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), si et seulement si, pour tout entier n ∈ ℤ, le morphisme ℋ^{n}(ϕ): ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) → ℋ^{n}((^{†}T′,T)(ℰ^{(•)})) est un isomorphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Notons ψ_{n}: (^{†}T′,T)^{0}(ℋ^{n}(ℰ^{(•)})) → ℋ^{n}((^{†}T′,T)(ℰ^{(•)})) l’unique

morphisme de \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) factorisant canoniquement ℋ^{n}(ϕ).

a) Vérifions que ψ_{n} est un isomorphisme. Comme le foncteur \underrightarrow{lim} est pleinement fi-

dèle sur \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)), il suffit de prouver que \underrightarrow{lim} (ψ_{n}) est un isomorphisme. Or, comme le foncteur \underrightarrow{lim} commute canoniquement à ℋ^{n} à isomorphisme canonique près (voir le diagramme 2.5.9.2), on obtient que \underrightarrow{lim} (ψ_{n}) est canoniquement isomorphe au morphisme canonique (^{†}T′,T)(ℋ^{n}ℰ) → ℋ^{n}((^{†}T′,T)(ℰ)). Comme le foncteur (^{†}T′,T): D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}) est exact, le morphisme (^{†}T′,T)(ℋ^{n}ℰ) → ℋ^{n}((^{†}T′,T)(ℰ)) est donc un isomorphisme. D’où le résultat.

b) Si le théorème est vérifié pour \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), alors le morphisme canonique ℋ^{n}(ℰ^{(•)}) → (^{†}T′,T)^{0}(ℋ^{n}(ℰ^{(•)})) est un isomorphisme. Comme en le composant avec ψ_{n} on obtient ℋ^{n}(ϕ), il en résulte la réduction demandée.

1) Grâce au lemme 2.4.5, on peut supposer qu’il existe m_{0} ≥ 0 assez grand tel que ℰ^{(•)} soit un 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)-module localement de présentation finie. Comme le théorème est local (voir 1.3.2), on peut alors supposer 𝒫 affine. Posons E^{(•)} = Γ(𝒫,ℰ^{(•)}), ℱ^{(•)} := (^{†}T′,T)^{0}(ℰ^{(•)}), F^{(•)} = Γ(𝒫,ℱ^{(•)}). Vérifions dans cette étape 1) que le morphisme canonique E^{(•)} → F^{(•)} est un isomorphisme dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), i.e., est une lim-

ind-isogénie (de M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T))).

a) Soient E := \underrightarrow{lim}_{m}E^{(m)}et N^{(m)}le noyau du morphisme canonique E^{(m)}→ E. On déduit des théorèmes de type A (voir par exemple le deuxième point de la remarque 2.1.9) que, pour tout entier m ∈ ℕ, E^{(m)} est un D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T)-module de type fini.

Par noethérianité de D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T), le D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T)-module N^{(m)} est alors aussi de type fini. On en déduit qu’il existe λ(m) ≥ m tel que E^{(m)} → E^{(λ(m))} se factorise par E^{(m)}/N^{(m)} → E^{(λ(m))}. On peut choisir λ: ℕ → ℕ tel que λ ∈ L. On en déduit que E^{(•)} → E^{(•)}/N^{(•)} est en particulier une lim-ind-isogénie. Quitte à remplacer E^{(•)} par E^{(•)}/N^{(•)}, on peut donc supposer que les morphismes de transition E^{(m)} → E^{(m+1)} sont injectifs. De même, en utilisant [Ber96b, 3.4.4], on se ramène au cas où les E^{(m)} sont de plus sans p-torsion. De même, posons F := \underrightarrow{lim}_{m}F^{(m)}et, pour tout entier m ≥ 0, soient G^{(m)}le quotient de F^{(m)}par le noyau du morphisme canonique F^{(m)}→ F_{ℚ}. Ainsi, les morphismes de transition G^{(m)}→ G^{(m+1)} sont injectifs et les G^{(m)} sont des D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T′)-modules de type fini sans p-torsion. Comme, pour les raisons analogues à ci-dessus, la flèche canonique F^{(•)} → G^{(•)} est une lim-ind-isogénie (de M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T′)) et donc de M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T))), on se ramène à établir que le morphisme canonique E^{(•)} → G^{(•)} est une lim-ind-isogénie de M(D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)).

b) Comme le foncteur Γ(𝒫,−) commute aux limites inductives filtrantes et au foncteur −⊗_{ℤ} ℚ, le fait que le morphisme canonique \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} → \underrightarrow{lim}ℱ^{(•)} soit un isomorphisme entraîne que le morphisme canonique E_{ℚ} → F_{ℚ} est un isomorphisme.

c) Les K-espaces E_{ℚ}^{(m)} et G_{ℚ}^{(m)} sont munis d’une structure canoniques de K-espaces

de Banach induites respectivement par leur structure de D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T)_{ℚ}-module de type

fini et de D̃_{𝒫^{♯}}^{(m+m_{0})}(T′)_{ℚ}-module de type fini. Pour ces topologies, les morphismes

canoniques E_{ℚ}^{(m)} → G_{ℚ}^{(m)} sont des morphismes continus de K-espaces de Banach.

Notons W := \underrightarrow{lim}_{m}G_{ℚ}^{(m)} muni de la topologie limite inductive de K-espace locale-

ment convexe. Notons i_{m}: E_{ℚ}^{(m)} → W le composé E_{ℚ}^{(m)} → G_{ℚ}^{(m)} → W. Alors i_{m} est continu pour les topologies décrites ci-dessus. De plus, comme d’après la partie b) on a E_{ℚ} −→^{∼} F_{ℚ}, on en déduit que le morphisme E_{ℚ} → W est bijectif. Comme E_{ℚ}^{(m)} → E_{ℚ} est injectif, il en est alors de même de i_{m}. De plus, on a l’égalité d’en-

sembles W = ∪_{m∈ℕ}i_{m}(E_{ℚ}^{(m)}). D’après [Sch02, 8.9], pour tout entier m, il en résulte

qu’il existe λ(m) ≥ m et un morphisme continu β^{(m)}: G_{ℚ}^{(m)} → E_{ℚ}^{(λ(m))} tel que en le

composant avec i_{λ(m)} on obtienne le morphisme canonique continue G_{ℚ}^{(m)} → W. On choisit un tel λ(m) ≥ m le plus petit possible. Comme i_{λ(m)} est injective, une telle fac-

torisation β^{(m)} du morphisme canonique G_{ℚ}^{(m)} → W est unique. On vérifie de même que les morphismes β^{(m)} sont compatibles aux morphismes de transition, i.e. que l’on obtient en fait le morphisme de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)_{ℚ}-modules β^{(•)}: G_{ℚ}^{(•)} → λ^{∗}E_{ℚ}^{(•)}.

Comme la famille (p^{n}G^{(m)})_{n∈ℕ} forme une base de voisinage de 0, comme E^{(λ(m))} est un ouvert de E_{ℚ}^{(λ(m))}, (on se rappelle que E^{(λ(m))} et G^{(m)} sont sans p-torsion), le fait que β^{(m)} soit continue implique alors qu’il existe χ(m) ∈ ℕ assez grand tel que β^{(m)}(p^{χ(m)}G^{(m)}) ⊂ E^{(λ(m))}. On peut choisir les χ(m) tels que l’application χ: ℕ → ℕ induite soit croissante. Notons γ^{(•)} le composé de β^{(•)}: G_{ℚ}^{(•)} → λ^{∗}E_{ℚ}^{(•)} avec le mor-

phisme canonique λ^{∗}E_{ℚ}^{(•)} → χ^{∗}λ^{∗}E_{ℚ}^{(•)}. D’après ce que l’on vient de voir, γ^{(•)} se factorise alors (de manière unique) en le morphisme de la forme g^{(•)}: G^{(•)} → χ^{∗}λ^{∗}E^{(•)}. Notons f^{(•)}: E^{(•)} → G^{(•)} le morphisme canonique. Comme pour tout m ∈ ℕ, les morphismes canoniques E^{(m)} → W et G^{(m)} → W sont injectifs, on calcule que g^{(•)} ∘ f^{(•)} et χ^{∗}λ^{∗}(f^{(•)}) ∘ g^{(•)} sont les morphismes canoniques.

Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules … 1569

2) On déduit de l’étape 1 que le morphisme canonique 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T)}E^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T)}F^{(•)} est une lim-ind-isogénie de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)).

3) Vérifions à présent que le morphisme canonique 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T)}F^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T′)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T′)}F^{(•)} est un isomorphisme de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)). Par quasi-cohérence des faisceaux 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) et 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T′), le morphisme canonique 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) ⊗_{D̃_{P_{i}}^{(m)}(T)}D̃_{P_{i}}^{(m)}(T′) → 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T′) est un isomorphisme. On en déduit que le morphisme canonique 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) ⊗_{D̃_{P_{i}}^{(m)}(T)}F_{i}^{(m)} → 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T′) ⊗_{D̃_{P_{i}}^{(m)}(T′)}F_{i}^{(m)} est un isomorphisme. En passant à la limite projective, on en déduit le résultat.

4) Il résulte des étapes 2) et 3) que le morphisme 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T)}E^{(•)} → 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T′)ˆ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T′)}F^{(•)} est une lim-ind-isogénie de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)). Il découle alors de la deuxième partie du lemme 3.4.3 (et aussi du lemme 3.4.2) que le morphisme du haut du diagramme canonique commutatif :

\xymatrix{𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T)}E^{(•)} \ar[r] \ar[d] & 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T′) ⊗_{D̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})} (T′)}F^{(•)} \ar[d] \\ ℰ^{(•)} \ar[r] & ℱ^{(•)}}

est une lim-ind-isogénie de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)). Or, on déduit des théorèmes de type A du deuxième point de la remarque 2.1.9 que les morphismes verticaux sont des isomorphismes de M(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•+m_{0})}(T)). D’où le théorème. Corollaire 3.5.2. Soient T′ ⊃ T un diviseur, ℰ^{′(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) et ℰ′ := \underrightarrow{lim}ℰ^{′(•)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}). Si ℰ′ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), alors ℰ^{′(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Démonstration. Comme ℰ′∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), il existe ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et un isomorphisme 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-linéaire de la forme ℰ′ −→^{∼} \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)}. Or, comme le morphisme canonique (^{†}T′,T)(ℰ′) → ℰ′est un morphisme de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}) qui est un isomorphisme en dehors de T′, il en résulte d’après [Car09, 4.8] que celui-ci est un isomorphisme. On en déduit que le morphisme canonique ℰ′→ (^{†}T′,T)(ℰ′) de D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) est un isomorphisme. En appliquant le théorème 3.5.1 à ℰ^{(•)}, on en déduit que le morphisme canonique ℰ^{(•)} → (^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}) est alors un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme (^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}), ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) et comme

\underrightarrow{lim}(^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T′,T)(\underrightarrow{lim}ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T′,T)(ℰ′) −→^{∼} ℰ′ −→^{∼} \underrightarrow{lim}ℰ^{′(•)},

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

par pleine fidélité du foncteur \underrightarrow{lim} sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) on obtient que

(^{†}T′,T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{′(•)}.

Corollaire 3.5.3. On a ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) ∩ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. On sait déjà que ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ∩ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)).

Or, Berthelot a vérifié dans [Ber96a] que 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} = \underrightarrow{lim}ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) est un 𝒟_{𝒫,ℚ}^{†} -module cohérent. On conclut grâce au lemme 3.5.2 (utilisé sans structure logarithmique).

Corollaire 3.5.4. Soient T′ ⊃ T un diviseur, ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) ∩

D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}). Soient ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et ℰ^{′(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′))

tels que l’on ait les isomorphismes 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-linéaires de la forme \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} −→^{∼} ℰ et

\underrightarrow{lim}ℰ^{′(•)} −→^{∼} ℰ. Alors ℰ^{(•)} −→^{∼} ℰ^{′(•)}dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Cela découle de 3.5.2 et de la pleine fidélité du foncteur \underrightarrow{lim} sur

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Notations 3.5.5. Soient 𝒬 un 𝒱-schéma formel lisse, 𝒵′ un diviseur à croisements normaux stricts de 𝒬, 𝒬^{♯} := (𝒬,𝒵′), U un diviseur de Q et ϕ^{(•)}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒬^{♯}}^{(•)}(U)) un foncteur. On en déduit un foncteur Coh_{T}(ϕ^{(•)}): D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) → D^{b}(𝒟_{𝒬^{♯}}^{†} (^{†}U)_{ℚ}) en posant Coh_{T}(ϕ^{(•)}) := \underrightarrow{lim}∘ ϕ^{(•)}∘ (\underrightarrow{lim}_{T})^{−1} , où (\underrightarrow{lim}_{T})^{−1} désigne un foncteur quasi-inverse de l’équivalence de catégories de

\underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) 2.5.7.1 ; ≅ D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) 2.4.4.3 ; ≅ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

(3.5.5.1)

Remarques 3.5.6. Soit T ⊂ T′un second diviseur. Lorsque ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}) ∩

D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), grâce au corollaire 3.5.4, les objets de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) correspondant via les équivalences de catégories respectives de 2.5.7.1 soient isomorphes. Avec les notations de 3.5.5, les foncteurs Coh_{T}(ϕ^{(•)}) et Coh_{T′}(ϕ^{(•)}) sont donc isomorphes sur D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}) ∩ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

Terminons la section par d’autres applications du théorème.

Proposition 3.5.7. Soient T ⊂ D ⊂ T′des diviseurs de P.

1. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ∩ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)). Alors ℰ^{(•)} ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).

2. Soit ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) ∩ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}). Alors ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}).

Démonstration. Il découle de 3.2.6.1 que le morphisme canonique (^{†}D, T) ∘ oub_{T,D}(oub_{D,T′}(ℰ^{(•)})) → oub_{D,T′}(ℰ^{(•)}) de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) est un isomorphisme. D’où la première assertion. Grâce à 3.5.2, la seconde assertion découle de la première.

Notations 3.5.8. • Soient D ⊂ T ⊂ T′des diviseurs de P. D’après 3.2.7, en omettant d’indiquer les foncteurs oublis respectifs, les foncteur (^{†}T′, D) et (^{†}T′, T) sont canoniquement isomorphes sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On pourra donc les noter sans risque (^{†}T′).

• Pour tous diviseurs D ⊂ T, on dispose de l’isomorphisme de foncteurs Coh_{D}((^{†}T′, D)) −→^{∼} (^{†}T′, D), le dernier foncteur étant celui défini en 3.2.4.3. Les notations respectives sont donc compatibles.

• Soient T et D ⊂ D′des diviseurs de P. Grâce à 3.2.11 et 3.2.6, les foncteurs (^{†}T) et (^{†}T ∪ D) sont canoniquement isomorphes sur \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)). On dispose

alors du foncteur (^{†}T′) := Coh_{D}((^{†}T)): D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T ∪ D)_{ℚ}). Avec la remarque 3.5.6, comme les foncteurs Coh_{D}((^{†}T)) et Coh_{D′}((^{†}T)) sont isomorphes sur D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}) ∩ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), il n’est donc pas nécessaire de préciser D.

4 Foncteur cohomologique local à support strict dans un fermé, foncteur de localisation en dehors d’un fermé

4.1 Triangle distingué de localisation relativement à un diviseur

4.1.1 (Triangle distingué de localisation). Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Berthelot (dans le cas non logarithmique, mais on peut reprendre sa définition avec des pôles logarithmiques) a défini le foncteur cohomologique local à support strict dans T noté ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). De plus, il a vérifié le triangle distingué de localisation

ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} → (^{†}T)(ℰ^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})[1].  (4.1.1.1)

On pourra désigner par la suite le triangle distingué 4.1.1.1 par Δ_{T}(ℰ^{(•)}). On peut étendre ce triangle au cas où T = P de la manière suivante : ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) = ℰ^{(•)} et (^{†}T)(ℰ^{(•)}) = 0. Ce dernier est fonctoriel en T et ℰ^{(•)}, i.e. si T ⊂ T′avec T′un diviseur ou T′= P et si ℰ^{(•)} → ℰ^{′(•)}est un morphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) on bénéficie du morphisme canonique de triangles distingués de la forme Δ_{T}(ℰ^{(•)}) → Δ_{T′}(ℰ^{′(•)}) En fait, d’après ce qui suit, le foncteur ℝ\underline{Γ}_{T}^{†} est canoniquement déterminé à partir du foncteur (^{†}T) et du triangle distingué 4.1.1.1. On pourrait donc le prendre comme définition.

Lemme 4.1.2. Soient ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) et ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On suppose de

plus que l’on dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de l’isomorphisme (^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0. Alors Hom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)})}(ℰ^{(•)},ℱ^{(•)}) = 0.

Démonstration. Soit ϕ: ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le morphisme canonique ℱ^{(•)} → (^{†}T)(ℱ^{(•)}) est un isomorphisme, le morphisme ϕ se factorise canoniquement par (^{†}T)(ϕ). Or, comme (^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0, alors (^{†}T)(ϕ) = 0. On en déduit que ϕ = 0. D’où le résultat.

Lemme 4.1.3. Soit un triangle distingué dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme

ℱ^{(•)} → ℰ^{(•)} → (^{†}T)(ℰ^{(•)}) → ℱ^{(•)}[1],  (4.1.3.1)

où le second morphisme est le morphisme canonique. Pour tout diviseur T ⊂ T′, on dispose alors de l’isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme (^{†}T′)(ℱ^{(•)}) −→^{∼} 0.

Démonstration. Comme d’après 3.2.11 le morphisme canonique (^{†}T′)(ℰ^{(•)}) → (^{†}T′)((^{†}T)(ℰ^{(•)})) est un isomorphisme, en appliquant le foncteur (^{†}T′) au triangle distingué 4.1.3.1, l’un des axiomes sur les catégories triangulées nous permet de conclure.

4.1.4 (Une définition alternative équivalente du foncteur cohomologique local à support strict dans un diviseur). Soit T ⊂ T′ un second diviseur. Supposons donné le diagramme commutatif dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme

\xymatrix{ℱ^{(•)} \ar[r] & ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[d]^{ϕ} & (^{†}T)(ℰ^{(•)}) \ar[d]^{(^{†}T)(ϕ)} \ar[r] & ℱ^{(•)}[1] \\ ℱ^{′(•)} \ar[r] & ℰ^{′(•)} \ar[r] & (^{†}T)(ℰ^{′(•)}) \ar[r] & ℱ^{′(•)}[1]}  (4.1.4.1)

dont les flèches horizontales du milieu sont les morphismes canoniques et dont les deux triangles horizontaux sont distingués. D’après les lemmes 4.1.2 et 4.1.3, on obtient alors

H^{−1} (ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫♯}^{(•)} (T)))}(ℱ^{(•)},(^{†}T)(ℰ^{′(•)}))) −→^{∼} ; 1.4.8.1 Hom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫♯}^{(•)} (T)))}(ℱ^{(•)},(^{†}T)(ℰ^{′(•)})[−1]) = 0.

On en déduit, grâce à [BBD82, 1.1.9], qu’il existe donc un unique morphisme ℱ^{(•)} → ℱ^{′(•)}induisant dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) le diagramme commutatif :

\xymatrix{ℱ^{(•)} \ar[r] \ar@{.>}[d]^{∃!} & ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[d]^{ϕ} & (^{†}T)(ℰ^{(•)}) \ar[d]^{(^{†}T)(ϕ)} \ar[r] & ℱ^{(•)}[1] \ar@{.>}[d]^{∃!} \\ ℱ^{′(•)} \ar[r] & ℰ^{′(•)} \ar[r] & (^{†}T)(ℰ^{′(•)}) \ar[r] & ℱ^{′(•)}[1].}  (4.1.4.2)

Comme pour [BBD82, 1.1.10], cela implique que le cône de ℰ^{(•)} → (^{†}T)(ℰ^{(•)}) est unique à isomorphisme canonique près. Un tel complexe ℱ^{(•)} est donc unique à isomorphisme unique près et se notera alors ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}). En considérant le diagramme 4.1.4.2, la formation du complexe ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) est fonctoriel en ℰ^{(•)}.

On dispose aussi du morphisme fonctoriel en ℰ^{(•)} de forme ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)}. De la même manière, en utilisant les lemmes 4.1.2 et 4.1.3 et la proposition [BBD82, 1.1.9], on vérifie qu’il existe une unique flèche ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{T′}^{†}(ℰ^{(•)}) induisant le diagramme canonique

[figure: ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}); ∃!; ℰ^{(•)}; (^{†}T)(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})[1]; ∃!; ℝ\underline{Γ}_{T′}^{†}(ℰ^{(•)}); ℰ^{(•)}; (^{†}T′)(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{T′}^{†}(ℰ^{(•)})[1]]  (4.1.4.3)

commutatif. Ces propriétés sont synthétisées en disant que le complexe ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) est fonctoriel en T.

Remarques 4.1.5. Si T est vide et si ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), alors le morphisme canonique ℰ^{(•)} → (^{†}∅)(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme. Cela n’est plus forcément le cas sans l’hypothèse de quasi-cohérence de ℰ^{(•)}. On pourrait sûrement construire le foncteur cohomologique local ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) comme ci-dessus, cependant on se restreindra exclusivement aux complexes au moins quasi-cohérents pour éviter cette pathologie.

4.1.6. On déduit de 3.2.5 que le foncteur ℝ\underline{Γ}_{T}^{†} ne dépend pas de la log-structure, i.e., on dispose de l’isomorphisme canonique

ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}∘ oub_{♯} −→^{∼} oub_{♯}∘ ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}

de foncteurs de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}).

4.2 Commutations et compatibilités des foncteurs locaux et de localisation dans le cas d’un diviseur

4.2.1 (Commutation des foncteurs locaux et de localisation au produit tensoriel). Soient ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Comme le foncteur (^{†}T) commute canoniquement au produit tensoriel, il existe alors un unique isomorphisme de la forme

ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} (resp. ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℱ^{(•)}))

et s’inscrivant dans le diagramme commutatif

[figure: ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T)(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}[1]; ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}); ∃!; ∃!; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T)(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}); ∼; ∼; ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)})[1]; ∃!; ∃!; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T)(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℱ^{(•)})[1].]

(4.2.1.1)

Ces isomorphismes sont fonctoriel en ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}, T (pour la signification de la fonctorialité en T, on pourra par exemple regarder 4.1.4.3). Pour vérifier la fonctorialité en ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}, T, il s’agit d’écrire les diagramme correspondants en trois dimensions, ce qui est laissé au lecteur.

4.2.2 (Commutation des foncteurs locaux et de localisation entre eux). Soient T_{1},T_{2} des diviseurs de P, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}).

• Par commutativité du produit tensoriel, on dispose alors de l’isomorphisme canonique

(^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})  (4.2.2.1)

fonctoriel en T_{1}, T_{2} et ℰ^{(•)}.

• Il existe alors un unique isomorphisme (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}) induisant le morphisme canonique de triangles distingués (^{†}T_{2})(Δ_{T_{1}}(ℰ^{(•)})) → Δ_{T_{1}}((^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})), i.e. de la forme :

[figure: (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}); ∃!; (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}); (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)}); ∼; (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})[1]; ∃!; ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}); (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}); (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})[1],]

(4.2.2.2)

dont le carré du milieu est bien commutatif par fonctorialité en T_{1} de l’isomorphisme 4.2.2.1. En écrivant les diagrammes en trois dimensions (i.e., on écrit le parallélépipède dont la face de devant est 4.2.2.2, la face de derrière est 4.2.2.2 avec T′_{1}remplaçant T_{1}, les morphismes de l’avant vers l’arrière sont les morphismes de fonctorialité induit par T_{1} ⊂ T′_{1}; idem pour valider la fonctorialité en T_{2} ou ℰ^{(•)}), on vérifie que l’isomorphisme (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}) est fonctoriel en T_{1}, T_{2}, ℰ^{(•)}.

• De même, il existe alors un unique isomorphisme ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℰ^{(•)}) fonctoriel en T_{1}, T_{2}, ℰ^{(•)} induisant le morphisme canonique de triangles distingués Δ_{T_{2}}(ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})) → ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(Δ_{T_{2}}(ℰ^{(•)})), i.e. de la forme :

[figure: ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}); ∃!; ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}); (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}); ∼; ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})[1]; ∃!; ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}); (^{†}T_{1}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℰ^{(•)})[1],]

(4.2.2.3)

dont le carré du milieu est bien commutatif par fonctorialité en T_{2} de l’isomorphisme

(^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)}).

4.2.3 (Compatibilité des isomorphismes de commutation au produit tensoriel). Soient T,T_{1},T_{2} des diviseurs de P, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). En composant les isomorphismes verticaux du diagramme 4.2.1.1, on obtient les isomorphismes cano-

niques (^{†}T)(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} −→^{∼} ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T)(ℱ^{(•)}) et ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} −→^{∼}

ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℱ^{(•)}) fonctoriels en T, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}. Nous vérifions dans ce paragraphe que ces isomorphismes sont compatibles avec les trois isomorphismes de commutation des foncteurs locaux et de localisation de 4.2.2.

• La compatibilité avec les isomorphismes 4.2.2.1 signifie que le diagramme

[figure: (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ∼; ∼; 4.2.2.1; (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); ∼; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ∼; (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{1})(ℱ^{(•)}); ∼; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℱ^{(•)}),; ∼; 4.2.2.1]

(4.2.3.1)

est commutatif, ce qui est aisé.

• Vérifions à présent que le diagramme

\xymatrix{(^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r]^{∼} \ar[d]^{∼} & ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}) \ar[r]^{∼} & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}) \\ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r]^{∼} & (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℱ^{(•)}) \ar[r]^{∼} & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℱ^{(•)}), \ar[u]^{∼}}

(4.2.3.2)

est commutatif. Pour cela considérons le diagramme :

\xymatrix{(^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r] \ar[d] & (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r] \ar[d] & (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[d]^{∼} \ar[r] & +1 \\ ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}) \ar[r] & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}) \ar[r] & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}) \ar[r] & +1,}

(4.2.3.3)

dont la flèche verticale de droite (resp. de gauche) est le composé du haut de 4.2.3.1 (resp. 4.2.3.2). Comme ces morphismes sont fonctoriels en T_{1}, le carré de gauche (resp de droite) du diagramme 4.2.3.3 est commutatif. Ce diagramme 4.2.3.3 correspond donc à un morphisme de triangles distingués de la forme

(^{†}T_{2})(Δ_{T_{1}}(ℰ^{(•)}))⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} → ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} Δ_{T_{1}}((^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})). De la même manière, on

vérifie la commutativité des carrés du milieu du diagramme

[figure: (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ∼; +1; ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; +1; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2}) ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2}) ∘ (^{†}T_{1})(ℱ^{(•)}); +1; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T_{1}) ∘ (^{†}T_{2})(ℱ^{(•)}); +1,]

(4.2.3.4)

dont le morphisme de triangle du haut (resp. du bas) est l’image par le foncteur −⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} (resp. ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} −) du morphisme de triangles distingués 4.2.2.2. La commutativité du diagramme 4.2.3.1 signifie que la flèche composée verticale de droite (resp. du milieu) du diagramme 4.2.3.4 est la flèche verticale de droite (resp. du milieu) de 4.2.3.3. Par unicité (grâce à [BBD82, 1.1.9]), il en est de même des flèches verticales de gauche. D’où le résultat.

• En calquant la preuve de la commutativité de 4.2.3.2 à partir de 4.2.3.1, on vérifie à partir de la commutativité de 4.2.3.2 celle du diagramme ci-dessous :

\xymatrix{ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r]^{∼} \ar[d]^{∼} & ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℱ^{(•)}) \ar[r]^{∼} & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℱ^{(•)}) \\ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)} \ar[r]^{∼} & ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℱ^{(•)}) \ar[r]^{∼} & ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℱ^{(•)}). \ar[u]^{∼}}

(4.2.3.5)

4.2.4. Soient T un diviseur P, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). On dis-

pose des isomorphismes (^{†}T)(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}T)(ℱ^{(•)}), et

ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℱ^{(•)}) fonctoriels en T, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}. De

manière identique à 4.2.3 (il s’agit de changer la position des parenthèses) on vérifie que ces isomorphismes sont compatibles avec les trois isomorphismes de commutation des foncteurs locaux et de localisation de 4.2.2. Il en résulte par composition qu’il

en est de même des isomorphismes (^{†}T)(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T)(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}

et ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}.

4.2.5. Soient T_{1},...,T_{r} et T′_{1},...,T′_{s}des diviseurs de P, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). En utilisant s-fois le diagramme 4.2.1.1, on vérifie que l’on dispose des isomorphismes canoniques fonctoriels en T_{1},...,T_{r}, T′_{1},...,T′_{s}, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} de la forme

ℝ\underline{Γ}_{T′_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T′_{s}}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)})

−→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T′_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T′_{s}}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}(ℱ^{(•)}))

−→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{T′_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T′_{s}}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}(ℱ^{(•)}),  (4.2.5.1)

ceux-ci ne dépendant pas, à isomorphisme canonique près, de l’ordre des T_{1},...,T_{r} ou des T′_{1},...,T′_{s}. En particulier, en prenant ℱ^{(•)} = 𝒪_{𝒫}^{(•)} et les T′_{1},...,T′_{s}vides, on obtient l’isomorphisme canonique fonctoriel en T_{1},...,T_{r}, ℰ^{(•)} de la forme :

ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)})  (4.2.5.2)

et qui ne dépend pas, à isomorphisme canonique près, de l’ordre des T_{1},...,T_{r}.

4.3 Foncteur cohomologique local à support strict dans un sousschéma fermé

Remarques 4.3.1. Soient X une sous-variété fermée de P, 𝔘 est l’ouvert de 𝒫 complémentaire de X, D un diviseur de X, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)). Alors ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0 dans

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(D ∩ U)) si et seulement si les espaces de cohomologie de \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} sont

des 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}D)_{ℚ}-cohérents à support dans X au sens classique.

Lemme 4.3.2. Soient D, T deux diviseurs de P, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)), 𝔘 l’ouvert de 𝒫 complémentaire du support de T. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. On dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(D ∩ U)) de l’isomorphisme ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0.

2. Le morphisme canonique ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).

3. On dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) de l’isomorphisme (^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0.

Démonstration. L’équivalence entre 2 et 3 est tautologique (i.e., on dispose du triangle distingué 4.1.1.1). L’assertion 3 ⇒ 1 est triviale. Réciproquement, établissons 1 ⇒ 3.

Comme (^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T) ∘ (^{†}D)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T ∪ D)(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D ∪

T)), comme le foncteur \underrightarrow{lim} est pleinement fidèle sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D ∪ T)), il est alors équivalent de prouver que \underrightarrow{lim}(^{†}T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0. Comme \underrightarrow{lim}(^{†}T)(ℰ^{(•)}) est un

𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T ∪D)_{ℚ}-cohérent à support dans T (et donc dans T ∪D), ce dernier est bien nul grâce à [Car09, 4.8].

Lemme 4.3.3. Soient T_{1},...,T_{r} des diviseurs de P. Alors ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}∘··· ∘ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}).

Démonstration. Comme d’après 3.2.11 on dispose de l’isomorphisme canonique (^{†}T_{1})(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T_{1}∪ T), on obtient le triangle distingué :

ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) → ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) → ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T_{1}∪ T) → ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T))[1].  (4.3.3.1)

D’après 3.5.3, il en résulte que le triangle distingué 4.3.3.1 est un triangle dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}). On en déduit par récurrence sur r (on applique le foncteur ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}∘ ··· ∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{2}}^{†}au triangle distingué 4.3.3.1) le résultat.

4.3.4. Soit X un sous-schéma fermé réduit de P. Comme pour [Car04, 2.2], on définit le foncteur cohomologique local ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} à support strict dans X. Puisque P est somme de ses composantes irréductibles, il suffit de le définir dans le cas où P est intègre.

1. Si X = P, alors le foncteur ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} est par définition l’identité.

2. Supposons à présent X ≠ P. D’après [Car04, 2.2.5] (il y a une coquille : il faut rajouter l’hypothèse « P est intègre ») X est une intersection finie de diviseur de P. Précisons que l’on s’était ramené au cas où X est irréductible en utilisant la formule de commutation des réunions et intersections de la forme ∪_{i=1}^{r} ∩_{j=1}^{s} D_{i,j} = ∩_{1≤j_{1},...,j_{r}≤s} ∪_{i=1}^{r} D_{i,j_{i}}, pour une famille de sous-ensembles (e.g. des supports de diviseurs) D_{i,j} de P. Si T_{1},...,T_{r} sont des diviseurs de P tels que X = ∩_{i=1}^{r} T_{i}, alors, pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), le complexe ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) := ℝ\underline{Γ}_{T_{r}}^{†}∘ ···∘ ℝ\underline{Γ}_{T_{1}}^{†}(ℰ^{(•)}) ne dépend canoniquement pas du choix de tels diviseurs T_{1},...,T_{r}. En effet, grâce à 4.2.5.2, on se ramène au cas où ℰ^{(•)} = 𝒪_{𝒫}^{(•)} et par conséquent au cas où 𝒵 est vide ; on vérifie ensuite que cela ne dépend pas de l’ordre des diviseurs T_{1},...,T_{r}; puis, grâce aux lemmes 4.3.2 et 4.3.3, il est superflu de rajouter d’autres diviseurs contenant X. Pour toutes sous-variétés fermées X, X′de P, on dispose alors par construction (de même que [Car04, 2.2.8]) de l’isomorphisme canonique :

ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X∩X′}^{†}(ℰ^{(•)}).  (4.3.4.1)

4.3.5. Soit X un sous-schéma fermé réduit de P. On déduit de 4.1.6 que le foncteur ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} ne dépend pas de la log-structure, i.e., on dispose de l’isomorphisme canonique

ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ oub_{♯} −→^{∼} oub_{♯}∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}  (4.3.5.1)

de foncteurs de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Proposition 4.3.6. Soient X, X′ deux sous-schémas fermés de P, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). On dispose de l’isomorphisme canonique fonctoriel en ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}, X, X′:

ℝ\underline{Γ}_{X∩X′}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℱ^{(•)}).  (4.3.6.1)

Démonstration. Cela résulte des isomorphismes canoniques 4.2.5.1.

4.4 Foncteur de localisation en dehors d’un sous-schéma fermé Lemme 4.4.1. Soient X ⊂ X′ deux sous-variétés fermées de P, ℰ^{(•)},ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). On suppose de plus que l’on dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de l’isomor-

phisme ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℱ^{(•)}) −→^{∼} 0. Alors Hom_{\underrightarrow{LD}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)})}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}),ℱ^{(•)}) = 0.

Démonstration. Soit ϕ: ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℱ^{(•)} un morphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Comme le morphisme canonique ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})) → ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)})(voir 4.3.4.1), le morphisme ϕ se factorise canoniquement par ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ).

Or, comme ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℱ^{(•)}) ⟵^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} ∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℱ^{(•)}) −→^{∼} 0, alors ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ) −→^{∼} 0 dans

\underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). On en déduit que ϕ = 0. D’où le résultat. Lemme 4.4.2. Soient X une sous-variété fermée de P et un triangle distingué dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme

ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} → ℱ^{(•)} → ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})[1],  (4.4.2.1)

où le premier morphisme est le morphisme canonique. On dispose alors de l’isomor-

phisme ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℱ^{(•)}) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}).

Démonstration. Comme le morphisme canonique ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})) → ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme (voir 4.3.4.1), en appliquant le foncteur ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} au triangle distingué 4.4.2.1, l’un des axiomes sur les catégories triangulées nous permet de conclure.

4.4.3 (Foncteur localisation en dehors d’une sous-variété fermée X). Soient X ⊂ X′ deux sous-variétés de P. Supposons donné le diagramme commutatif dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme

\xymatrix{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) \ar[r] \ar[d]^{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ)} & ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[d]^{ϕ} & ℱ^{(•)} \ar[r] & ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})[1] \ar[d]^{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ)} \\ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{′(•)}) \ar[r] & ℰ^{′(•)} \ar[r] & ℱ^{′(•)} \ar[r] & ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{′(•)})[1]}  (4.4.3.1)

dont les flèches horizontales de gauche sont les morphismes canoniques et dont les deux triangles horizontaux sont distingués. D’après les lemmes 4.4.1 et 4.4.2, on obtient alors

H^{−1} (ℝHom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} ))}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}),ℱ^{′(•)})) = Hom_{D(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)} ))}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}),ℱ^{′(•)}[−1]) = 0.

On en déduit, grâce à [BBD82, 1.1.9], qu’il existe donc un unique morphisme ℱ^{(•)} → ℱ^{′(•)}induisant dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) le diagramme commutatif :

\xymatrix{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) \ar[r] \ar[d]^{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ)} & ℰ^{(•)} \ar[r] \ar[d]^{ϕ} & ℱ^{(•)} \ar[r] \ar@{.>}[d]^{∃!} & ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})[1] \ar[d]^{ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ϕ)} \\ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{′(•)}) \ar[r] & ℰ^{′(•)} \ar[r] & ℱ^{′(•)} \ar[r] & ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{′(•)})[1].}  (4.4.3.2)

Comme pour [BBD82, 1.1.10], cela implique que le cône de ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} est unique à isomorphisme canonique près. On le notera (^{†}X)(ℰ^{(•)}). On vérifie de plus que (^{†}X)(ℰ^{(•)}) est fonctoriel en X et ℰ^{(•)}, e.g. on dispose du morphisme fonctoriel en ℰ^{(•)} de forme ℰ^{(•)} → (^{†}X)(ℰ^{(•)}). On déduit de 4.3.5 que le foncteur (^{†}X) ne dépend pas de la log-structure, i.e., on dispose de l’isomorphisme canonique (^{†}X) ∘ oub_{♯} −→^{∼} oub_{♯}∘ (^{†}X) de foncteurs de \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}).

4.4.4. Pour toute sous-variété fermée X de P, pour tous ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), il existe un unique isomorphisme de la forme (^{†}X)(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}) −→^{∼}

ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}X)(ℱ^{(•)}) s’inscrivant dans le diagramme commutatif

[figure: ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}); ∼; 4.3.6.1; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; (^{†}X)(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}); ∃!; ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)})[1]; ∼; 4.3.6.1; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℱ^{(•)}; ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} (^{†}X)(ℱ^{(•)}); ℰ^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℱ^{(•)})[1].]

Comme d’habitude (en écrivant des parallélépipèdes), on vérifie qu’il est fonctoriel en X, ℰ^{(•)}, ℱ^{(•)}.

4.4.5. Soient X,X′ deux sous-variétés fermées de P, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Il existe alors un unique isomorphisme (^{†}X′) ∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ (^{†}X′)(ℰ^{(•)}) fonctoriel en X, X′, ℰ^{(•)} s’incrivant dans le diagramme commutatif de la forme

[figure: ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}); ∼; ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}); (^{†}X′) ∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}); ∃!; ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)})[1]; ∼; ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ (^{†}X′)(ℰ^{(•)}); ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)})[1],]

De manière identique à [Car04, 2.2.14] (cette fois-ci, il n’y a aucune précision à apporter), on vérifie que l’on dispose de l’isomorphisme canonique

(^{†}X) ∘ (^{†}X′)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}X ∪ X′)(ℰ^{(•)}),  (4.4.5.1)

fonctoriel en X, X′, ℰ^{(•)}. On établit comme pour [Car04, 2.2.16], que l’on bénéficie des triangles distingués de localisation de Mayer-Vietoris

ℝ\underline{Γ}_{X∩X′}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) ⊕ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{X∪X′}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{X∩X′}^{†}(ℰ^{(•)})[1], (4.4.5.2)

(^{†}X ∩ X′)(ℰ) → (^{†}X)(ℰ^{(•)}) ⊕ (^{†}X′)(ℰ^{(•)}) → (^{†}X ∪ X′)(ℰ^{(•)}) → (^{†}X ∩ X′)(ℰ^{(•)})[1]. (4.4.5.3)

Nous ajouterons dans le prochain chapitre (voir 5.2.8) un détail sur la vérification de la commutativité des foncteurs locaux et de localisation par rapport aux images inverses extraordinaires de [Car04, 2.2.18]. Finissons enfin le chapitre par une extension du lemme 4.3.2 :

Proposition 4.4.6. Soient D un diviseur de P, X une sous-variété fermée de P, 𝔘 l’ouvert de 𝒫 complémentaire du support de X, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. On dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔘^{♯}}^{(•)}(D ∩ U)) de l’isomorphisme ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0.

2. Le morphisme canonique ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)).

3. On dispose dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(D)) de l’isomorphisme (^{†}X)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} 0.

Démonstration. L’équivalence entre 2 et 3 est tautologique (voir la définition du foncteur (^{†}X) donnée dans 4.4.3). L’assertion 3 ⇒ 1 est triviale. Il reste à établir l’implication 1 ⇒ 2. Soit T un diviseur contenant X. Par construction du foncteur ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}, il suffit de vérifier que le morphisme ℝ\underline{Γ}_{T}^{†}(ℰ^{(•)}) → ℰ^{(•)} est un isomorphisme, ce qui résulte du lemme 4.3.2.

5 Surcohérence

5.1 Image inverse extraordinaire, image directe

Soient f: 𝒫′→ 𝒫 un morphisme de 𝒱-schémas formels lisses, T et T′des diviseurs respectifs de P et P′tels que f(P′\ T′) ⊂ P \ T, 𝒵 et 𝒵′des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝒫′tels que f^{−1} (𝒵) ⊂ 𝒵′. On pose 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,𝒵′) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par f. Nous rappelons dans cette section les constructions des images inverses extraordinaires et des images directes par f^{♯} à singularités surconvergentes le long de T et T′. Nous donnons de plus quelques premières propriétés. Notations 5.1.1. Nous aurons besoin de quelques notations préliminaires afin de définir l’image inverse extraordinaire par f^{♯} à singularités surconvergentes le long de T et T′.

• Comme f^{−1} (T) ⊂ T′, on dispose alors du morphisme canonique f^{−1} ℬ̃_{P_{i}}^{(m)}(T) → ℬ̃_{P′_{i}}^{(m)}(T′). Il en résulte que le faisceau ℬ̃_{P′_{i}}^{(m)}(T′) ⊗_{𝒪_{P′_{i}}}

f_{i}^{∗}𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)} −→^{∼} ℬ̃_{P′_{i}}^{(m)}(T′) ⊗_{f^{−1} ℬ̃_{P_{i}}^{(m)} (T)} f^{−1} 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) est muni d’une structure

canonique de (𝒟̃_{P_{i}^{′♯}}^{(m)}(T′), f^{−1} 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T))-bimodule. Ce bimodule sera noté

𝒟̃_{P_{i}^{′♯}→P_{i}^{♯}}^{(m)}(T′,T).

• Il en dérive par complétion p-adique le (𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(m)}(T′),f^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T))-bimodule :

𝒟̃_{𝒫^{′♯}→𝒫^{♯}}^{(m)} (T′,T) := lim_{⟵_{i}}𝒟̃_{P_{i}^{′♯}→P_{i}^{♯}}^{(m)}(T′,T).

• On obtient un (𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ},f^{−1} 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ})-bimodule en posant

𝒟_{𝒫^{′♯}→𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′,T)_{ℚ} := lim_{−→_{m}}𝒟̃_{𝒫^{′♯}→𝒫^{♯}}^{(m)} (T′,T)_{ℚ}.

5.1.2. • On bénéficie du foncteur image inverse extraordinaire par f à singularités surconvergentes le long de T et T′ de la forme f_{T′,T}^{♯(•)!}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) →

\underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)) en posant, pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) :

f_{T′,T}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) := 𝒟̃_{𝒫^{′♯}→𝒫^{♯}}^{(•)} (T′,T)ˆ⊗ _{f^{−1} 𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)}^{𝕃}f^{−1} ℰ^{(•)}[d_{𝒫′/𝒫} ].

Par abus de notation (ce n’est pas un foncteur exact à droite), on pose 𝕃f_{T′,T}^{♯(•)∗}(ℰ^{(•)}) :=

f_{T′,T}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)})[−d_{𝒫′/𝒫} ].

• On dispose du foncteur image inverse extraordinaire par f à singularités surconvergentes le long de T et T′de la forme f_{T′,T}^{♯!}: D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) → D^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}) en

posant (comme pour [Ber02, 4.3.2]), pour tout ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) :

f_{T′,T}^{♯!}(ℰ) := 𝒟_{𝒫^{′♯}→𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′,T)_{ℚ} ⊗_{f^{−1} 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}}^{𝕃} f^{−1} ℰ[d_{𝒫′/𝒫} ].  (5.1.2.1)

5.1.3. Avec les notations de 3.2.5, pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)) on vérifie que le morphisme canonique

f_{T′,T}^{♯(•)!}∘ oub_{♯}(ℰ^{(•)}) → oub_{♯}∘ f_{T′,T}^{(•)!}(ℰ^{(•)})

est un isomorphisme (en effet, au niveau des schémas, ces foncteurs sont tous les deux au décalage près le foncteur dérivé gauche de l’image inverse en tant que 𝒪-modules composé avec le foncteur de localisation).

Notations 5.1.4. Nous aurons besoin pour définir l’image directe par f à singularités surconvergentes le long de T et T′de considérer les bimodules ci-dessous.

• Le (f^{−1} 𝒟̃_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T), 𝒟̃_{P_{i}^{′♯}}^{(m)}(T′))-bimodule ℬ̃_{P′_{i}}^{(m)}(T′) ⊗_{𝒪_{P′_{i}}} (ω_{P_{i}^{′♯}} ⊗_{𝒪_{P′_{i}}}

f_{g}^{∗}(𝒟_{P_{i}^{♯}}^{(m)}(T) ⊗_{𝒪_{P_{i}}} ω_{P_{i}^{♯}}^{−1})), où l’indice g signifie que l’on choisit la structure

gauche de 𝒟_{P_{i}}^{(m)}-module à gauche, sera noté 𝒟̃_{P_{i}^{♯}←P_{i}^{′♯}}^{(m)}(T,T′).

• On dispose alors du (f^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}(T), 𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(m)}(T′))-bimodule : 𝒟̃_{𝒫^{♯}←𝒫^{′♯}}^{(m)} (T,T′) :=

lim_{⟵_{i}}𝒟̃_{P_{i}^{♯}←P_{i}^{′♯}}^{(m)}(T,T′).

• D’où le (f^{−1} 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}, 𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ})-bimodule 𝒟_{𝒫^{♯}←𝒫^{′♯}}^{†} (^{†}T,T′)_{ℚ} :=

lim_{−→_{m}}𝒟̃_{𝒫^{♯}←𝒫^{′♯}}^{(m)} (T,T′)_{ℚ}.

5.1.5. • On dispose du foncteur image directe par f à singularités surconvergentes le long de T et T′de la forme f_{T,T′,+}^{♯(•)}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) en posant,

pour tout ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)) :

f_{T,T′,+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) := ℝf_{∗}(𝒟̃_{𝒫^{♯}←𝒫^{′♯}}^{(•)} (T,T′)ˆ⊗ _{𝒟̃ _{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)}^{𝕃}ℰ^{′(•)}).

• Avec [Ber02, 4.3.7], on construit le foncteur image directe par f à singularités surconvergentes le long de T et T′ de la forme f_{T,T′,+}^{♯}: D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}) →

D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) en posant, pour tout ℰ′∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}) :

f_{T,T′,+}^{♯}(ℰ′) := ℝf_{∗}(𝒟_{𝒫^{♯}←𝒫^{′♯}}^{†} (^{†}T,T′)_{ℚ} ⊗_{𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}}^{𝕃} ℰ′).  (5.1.5.1)

5.1.6. Dans ce paragraphe, supposons que f^{−1} (𝒵) = 𝒵′ et f^{♯} est exact. Pour tout ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫′}^{(•)}(T′)), le morphisme canonique

f_{T,T′,+}^{♯(•)}∘ oub_{♯}(ℰ^{′(•)}) → oub_{♯}∘ f_{T,T′,+}^{(•)}(ℰ^{′(•)})  (5.1.6.1)

est alors un isomorphisme. En effet, quitte à décomposer f en son graphe suivant de la projection canonique 𝒫′×𝒫 → 𝒫, on se ramène au cas où f est une immersion fermée ou un morphisme lisse. Dans chacun de ces deux cas, cela se vérifie par un calcul aisé en coordonnées locales. Sans l’hypothèse que f^{♯} soit exact, on prendra garde au fait que le morphisme 5.1.6.1 n’est plus un isomorphisme (il suffit de considérer f = id).

5.1.7. Avec les notations du paragraphe 3.5.5, on dispose de l’isomorphisme de fonc-

teurs Coh_{T′}(f_{T,T′,+}^{♯(•)}) −→^{∼} f_{T,T′,+}^{♯}et Coh_{T}(f_{T′,T}^{♯(•)!}) −→^{∼} f_{T′,T}^{♯!}(cela se vérifie de manière

analogue à [Ber02, 4.3.2.2 et 4.3.7.1]).

5.1.8. • Soit ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Si f est lisse et si f^{♯} est exact, alors f_{T′,T}^{♯!}(ℰ) ∈

D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}).

• Soit ℰ′∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}). Si f est propre et T′= f^{−1} (T), alors f_{T,T′,+}^{♯}(ℰ′) ∈

D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) (cela se vérifie de manière analogue à [Ber02, 4.3.7-8], i.e. cela résulte des isomorphismes de la forme 5.4.6.3).

5.1.9. Supposons dans ce paragraphe que T′= f^{−1} (T). On écrit alors f_{T}^{♯(•)!}, f_{T}^{♯!}, f_{T,+}^{♯(•)}

et f_{T,+}^{♯} à la place respectivement de f_{T′,T}^{♯(•)!}, f_{T′,T}^{♯!}, f_{T,T′,+}^{♯(•)}et f_{T,T′,+}^{♯}. Si T est l’ensemble vide, nous omettrons de l’indiquer dans toutes les expressions faisant intervenir T.

Proposition 5.1.10. Soient ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̂_{𝒫^{♯}}^{(•)}) et ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̂_{𝒫^{′♯}}^{(•)}). On dispose de l’isomorphisme :

f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫}}^{†} ℰ^{(•)} ⟵^{∼} f_{+}^{♯(•)}( ℰ^{′(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫′}}^{†} 𝕃f^{♯(•)∗}(ℰ^{(•)})) .  (5.1.10.1)

Démonstration. Il s’agit de reprendre la preuve de la proposition analogue non logarithmique, i.e. la preuve de [Car04, 2.1.4]. Plus précisément, l’isomorphisme 5.1.10.1 se déduit « par complétion et passage à la limite » de l’isomorphisme analogue au niveau des log schémas. La vérification de cet isomorphisme au niveau des log schémas est identique à celle non logarithmique, i.e. à celle de [Car04, 1.2.27]. En d’autres termes, on se ramène à vérifier que les analogues logarithmiques de [Car04, 1.2.21] et [Car04, 1.2.25] sont encore valables (pour valider l’analogue logarithmique de [Car04, 1.2.25], on aura besoin d’utiliser l’isomorphisme de transposition logarithmique de [Car09, 1.18]).

Remarques 5.1.11. • Grâce à 5.2.9 dont la preuve utilise 5.1.10, on dispose d’une version avec singularités surconvergentes de 5.1.10.1.

• Lorsque f = id et 𝒵 est vide, l’isomorphisme 5.1.10.1 est un avatar du théorème [Car09, 3.6] dont la preuve reprenait celle fournie pour les variétés complexes.

5.2 Stabilité par image inverse du coefficient constant avec singularités surconvergentes

Soient u: 𝔛 ↪ 𝒫 une immersion fermée de 𝒱-schémas formels lisses, 𝒵 et 𝔇 des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝔛 tels que u^{−1} (𝒵) ⊂ 𝔇. On pose 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), 𝔛^{♯}:= (𝔛,𝔇) et u^{♯}: 𝔛^{♯} → 𝒫^{♯} le morphisme de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par u.

Lemme 5.2.1. Soient f: 𝒫′→ 𝒫 un morphisme de 𝒱-schémas formels lisses, T un diviseur de P tel que T′:= f^{−1} (T) soit un diviseur de P′. On dispose alors de l’isomorphisme canonique

𝒪_{P′_{i}}⊗_{f^{−1} 𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} f^{−1} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) −→^{∼} ℬ_{P′_{i}}^{(m)}(T′).

On bénéficie de plus de l’isomorphisme canonique 𝕃f^{(•)∗}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼} ℬ̃_{𝒫′}^{(•)}(T′) dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫′}^{(•)}).

Démonstration. 1) Pour vérifier le premier isomorphisme, comme 𝒪_{P′_{i}}⊗_{f^{−1} 𝒪_{P_{i}}}

f^{−1} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) −→^{∼} ℬ_{P′_{i}}^{(m)}(T′), il s’agit de prouver que le morphisme canonique

𝒪_{P′_{i}}⊗_{f^{−1} 𝒪_{P_{i}}}^{𝕃} f^{−1} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) → 𝒪_{P′_{i}}⊗_{f^{−1} 𝒪_{P_{i}}} f^{−1} ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) est un isomorphisme. Comme

f est le composé de son graphe suivi de la projection 𝒫′× 𝒫 → 𝒫, comme le cas où f est lisse est trivial, on se ramène au cas où f est une immersion fermée. Comme cela est local, on peut supposer 𝒫 affine et intègre. Comme ℬ_{P_{i}}^{(m)}(T) est quasi-cohérent, on

se ramène à établir que le morphisme canonique O_{P′_{i}}⊗_{O_{P_{i}}}^{𝕃}B_{P_{i}}^{(m)}(T) → O_{P′_{i}}⊗_{O_{P_{i}}}B_{P_{i}}^{(m)}(T) est un isomorphisme.

Comme B̂_{𝒫}^{(m)}(T) est sans p-torsion, on a : O_{P′_{i}}⊗_{O_{P_{i}}}^{𝕃}B_{P_{i}}^{(m)}(T) −→^{∼} O_{P′_{i}}⊗_{O_{𝒫′}}^{𝕃} (O_{𝒫′} ⊗_{O_{𝒫}}^{𝕃}

B̂_{𝒫}^{(m)}(T)). Or, comme f est fini, on dispose de l’isomorphisme canonique O_{𝒫′} ⊗_{O_{𝒫}} B̂_{𝒫}^{(m)}(T) −→^{∼} B̂_{𝒫′}^{(m)}(T′). Comme B̂_{𝒫}^{(m)}(T) est intègre, le morphisme canonique O_{𝒫′} ⊗_{O_{𝒫}}^{𝕃}

B̂_{𝒫}^{(m)}(T) → O_{𝒫′} ⊗_{O_{𝒫}} B̂_{𝒫}^{(m)}(T) est un isomorphisme (pour le voir, on utilise la résolution de Koszul de O_{𝒫′}). Comme B̂_{𝒫′}^{(m)}(T′) est sans p-torsion, on conclut.

2) Comme, pour tout entier positif m, les 𝒱-modules ℬ̃_{𝒫′}^{(m)}(T′) et ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) sont sans p-torsion, le deuxième isomorphisme à prouver résulte aussitôt du premier.

5.2.2. Grâce à [Ber96b, 3.2.4], on vérifie que la flèche de droite du carré ci-dessous :

\xymatrix{𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} \ar[r]^{∼} \ar[d] & 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} \ar[d]^{∼} \\ 𝒪_{𝔛} ˆ⊗ _{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} \ar[r]^{∼} & 𝒪_{𝔛} ˆ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}= 𝒟̃_{𝔛^{♯}↪𝒫^{♯}}^{(m)}}  (5.2.2.1)

est un isomorphisme. De plus, par platitude de 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)} sur 𝒪_{𝒫} , on vérifie que la flèche horizontale du haut est un isomorphisme. Comme la flèche du bas est un morphisme de D_{qc}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(m)}) (cela résulte du théorème [Ber02, 3.2.3] de Berthelot), on vérifie de même que celle-ci est un isomorphisme. Il en est donc de même de la flèche de gauche. Pour tout ℰ^{(m)} ∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}) on en déduit que le morphisme ca-

nonique 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} ℰ^{(m)}→ 𝒟̃_{𝔛^{♯}↪𝒫^{♯}}^{(m)} ⊗_{u^{−1} 𝒟̃ _{𝒫^{♯}}^{(m)}}^{𝕃}u^{−1} ℰ^{(m)} est un isomorphisme. On

dispose alors du foncteur u_{alg}^{♯(m)!}: D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}) → D^{−} (𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(m)}) défini en posant, pour tout ℰ^{(m)}∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}),

u_{alg}^{♯(m)!}(ℰ^{(m)}) := 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} ℰ^{(m)}[d_{X/P}].  (5.2.2.2)

Lemme 5.2.3. Pour tout ℰ^{(m)} ∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}), on dispose du morphisme canonique u_{alg}^{♯(m)!}(ℰ^{(m)}) → u^{♯(m)!}(ℰ^{(m)}). Si ℰ^{(m)}∈ D_{coh}^{−}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}), alors celui-ci est un isomorphisme. Démonstration. La construction se construit par adjonction via le morphisme d’espaces annelés (X_{•},𝒪_{X_{•}}) → (𝔛,𝒪_{𝔛}). Vérifions à présent que celui-ci est un isomorphisme pour les complexes à cohomologie cohérente. Comme cela est local, on peut supposer 𝒫 affine. D’après le lemme sur les foncteurs way-out (et le théorème de type A pour les 𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)}-modules cohérents), on se ramène au cas où ℰ^{(m)} est de la forme ℰ^{(m)} = (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(m)})^{r}. Dans ce cas, cela résulte de l’isomorphisme vertical de gauche du carré 5.2.2.1. 5.2.4. On déduit de 5.2.2.2 que l’on dispose du foncteur u_{alg}^{♯(•)!}: D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) → D^{−} (𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}) défini en posant, pour tout ℰ^{(•)} ∈ D^{−} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}),

u_{alg}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) := 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} ℰ^{(•)}[d_{X/P}].  (5.2.4.1)

Ce foncteur envoie les ind-isogénies sur les ind-isogénies et les lim-ind-isogénies sur les lim-ind-isogénies (voir les définitions de 1.1.1). Ce foncteur se factorise donc en u_{alg}^{♯(•)!}: \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) → \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}). On prendra garde de constater que ce foncteur ne préserve pas la quasi-cohérence. On bénéficie, pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), du morphisme canonique u_{alg}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) → u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) (ce morphisme se construit même dans D(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}), i.e. avant de localiser). Lemme 5.2.5. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}). Le morphisme canonique u_{alg}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) → u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) est un isomorphisme dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}). Démonstration. Par définition, il existe λ ∈ L un isomorphisme \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) de la forme ℰ^{(•)} −→^{∼} ℱ^{(•)} tel que ℱ^{(m)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}) (plus une autre condition que l’on n’utilisera pas). On se ramène donc à établir le lemme pour ℱ^{(•)} à la place de ℰ^{(•)}. Notons u_{alg}^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) := (u_{alg}^{♯(λ(m))!}(ℱ^{(m)}))_{m∈ℕ} ∈ D^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(λ(•))}) et u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) := (u^{♯(λ(m))!}(ℱ^{(m)}))_{m∈ℕ} ∈ D^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(λ(•))}). En omettant d’indiquer les foncteurs oublis, on dispose par définition de l’égalité u_{alg}^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) = u_{alg}^{♯(•)!}(ℱ^{(•)}). De plus, on dispose du morphisme canonique u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) → λ^{∗}( u^{♯(•)!}(ℱ^{(•)})) induisant le diagramme canonique commutatif :

\xymatrix{u^{♯(•)!}(ℱ^{(•)}) \ar[r] \ar[d] & u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) \ar[d] \ar@{.>}[dl] \\ λ^{∗}( u^{♯(•)!}(ℱ^{(•)})) \ar[r] & λ^{∗}( u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)})) .}

Il en résulte que u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) est canoniquement isomorphisme à u^{♯(•)!}(ℱ^{(•)}) dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}). On se ramène à vérifier que le morphisme canonique

u_{alg}^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)}) → u^{♯(λ(•))!}(ℱ^{(•)})  (5.2.5.1)

est un isomorphisme de D^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(λ(•))}), ce qui résulte du fait que ℱ^{(m)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(λ(m))}) et du lemme 5.2.3.

Lemme 5.2.6. Soit T un diviseur de P tel que u(X) ⊂ T. On dispose de l’isomorphisme canonique : u^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}).

Démonstration. 0) D’après la proposition 1.3.3, ce que l’on doit vérifier est local en 𝒫. On peut supposer 𝒫 affine et muni de coordonnées locales t_{1},...,t_{d} telles que 𝔛 = V (t_{1},...,t_{r}) et qu’il existe un élément f de O_{𝒫} tel que T = V (\overline{f} ), où \overline{f} est la réduction de f modulo πO_{𝒫} . Vérifions par récurrence sur r ≥ 1 le lemme.

1) Traitons d’abord le cas r = 1. Grâce à 5.2.5, il s’agit d’établir l’isomorphisme u_{alg}^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼} 0 dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}). Comme ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) est un faisceau d’anneaux in-

tègres, en utilisant la suite exacte 0 → u^{−1} 𝒪_{𝒫} −→^{t_{1}} u^{−1} 𝒪_{𝒫} → 𝒪_{𝔛} → 0 qui permet de résoudre 𝒪_{𝔛} par des u^{−1} 𝒪_{𝒫} -modules plats, on vérifie que le morphisme canonique de la forme 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}}^{𝕃} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) → 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) est alors un isomorphisme

dans D(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}). Ainsi, on dispose de l’isomorphisme canonique u_{alg}^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼}

𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)[d_{X/P}] dans D(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}) et donc dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}). Soit χ: ℕ → ℕ l’élément de M (voir la définition dans le paragraphe 1.2.1) défini par χ(m) = 1. Il suffit alors de vérifier que le morphisme canonique de 𝒟̃_{𝔛}^{(•)}-modules

𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) → χ^{∗}(𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T))

est le morphisme nul (en d’autres termes, 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) est annulé par la

multiplication par p). Comme ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) ne dépend pas, à isomorphisme canonique près, du choix du relèvement f d’une équation locale de T (voir [Ber96b, 4.2.3]), on peut supposer que t divise f, i.e. l’image de f sur 𝒪_{𝔛} est nulle. Dans ce cas, on calcule que 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) = 𝒪_{𝔛} ⊗_{u^{−1} 𝒪_{𝒫}} u^{−1} 𝒪_{𝒫} {X}/(f^{p^{m+1}} X − p) = 𝒪_{𝔛}{X}/(p) = 𝒪_{X}[X], qui est annulé par p. D’où le résultat.

2) Supposons maintenant la propriété vraie pour r − 1 et prouvons-la pour r. Notons 𝔛:= V (t_{1}). Si T ∩X est un diviseur de X (resp. si T ⊃ X), le lemme 5.2.1 (resp. le cas r = 1) nous permet de conclure.

Proposition 5.2.7. Soit X′⊂ X un sous-schéma fermé de X. On a alors ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘ u^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔛}^{(•)}).

Démonstration. Comme P et X sont lisses, il ne coûte pas cher de les supposer intègres. Dans ce cas, soit T ∩X est un diviseur de X, soit T ⊃ X. Le premier cas résulte alors des lemmes 4.3.3 et 5.2.1, tandis que le second cas découle du lemme 5.2.6.

Théorème 5.2.8. Soient f: 𝒫′→ 𝒫 un morphisme de 𝒱-schémas formels lisses, 𝒵 et 𝒵′des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝒫′tels que f^{−1} (𝒵) ⊂ 𝒵′. On pose 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,𝒵′) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par f. Soient X un sous-schéma fermé de P, X′:= f^{−1} (X), ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}) et ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}). On a des isomorphismes fonctoriels en X et compatibles à Frobenius :

f^{♯(•)!}∘ ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘ f^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}), f^{♯(•)!}∘ (^{†}X)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}X′) ∘ f^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) (5.2.8.1)

ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{♯(•)}∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{′(•)}), (^{†}X) ∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{♯(•)}∘ (^{†}X′)(ℰ^{′(•)}). (5.2.8.2)

Démonstration. Ce théorème se vérifie de manière identique à sa version nonlogarithmique de [Car04, 2.2.18]. Pour la commodité du lecteur, nous allons rappeler sa preuve en ajoutant aussi quelques détails lorsque cela est nécessaire. On établit d’abord les isomorphismes 5.2.8.1. Via les triangles de localisation, il suffit de valider celui de droite ou celui de gauche. Avec 4.3.4.1, on peut en outre supposer que X et X′ sont des diviseurs. Comme f se décompose en son graphe suivi de la projection canonique 𝒫′× 𝒫 → 𝒫, comme l’isomorphisme de droite est immédiat lorsque f est plat, on se ramène au cas où f est une immersion fermée. Comme le foncteur cohomologique local commute au produit tensoriel (voir 4.3.6) et de même pour l’image inverse extraordinaire, on se ramène au cas où ℰ^{(•)} = 𝒪_{𝒫}^{(•)}. Avec 4.3.5.1 et 5.1.3, on peut oublier les structures logarithmiques. Grâce à 5.2.7, les morphismes canoniques ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘f^{(•)!}∘ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) → ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘f^{!}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) et ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘f^{!}∘ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) → f^{!}∘ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) sont dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}). Via l’équivalence de catégories de 3.5.5.1 de la forme

\underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)) ≅ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), pour vérifier que ce sont des isomorphismes, il suffit de le valider après application de ce foncteur \underrightarrow{lim}pleinement fidèle, ce qui sont les lemmes [Car04, 2.2.19 et 2.2.20]. D’où 5.2.8.1. L’isomorphisme 5.1.10.1 permet de déduire 5.2.8.2 à partir de 5.2.8.1.

5.2.9 (On peut oublier les diviseurs). Soient f: 𝒫′→ 𝒫 un morphisme de 𝒱-schémas formels lisses, 𝒵 et 𝒵′des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝒫′tels que f^{−1} (𝒵) ⊂ 𝒵′. On pose 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,𝒵′) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par f. Soient T et T′des diviseurs respectifs de P et P′tels que f(P′\ T′) ⊂ P \ T.

1. Soit ℰ^{′(•)} ∈ LD_{−→}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)). Comme pour [Car06, 1.1.9 ], on vérifie de manière élémentaire que l’on dispose de l’isomorphisme canonique oub_{T} ∘

f_{T,T′,+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{♯(•)}∘ oub_{T′}(ℰ^{′(•)}). On notera alors simplement f_{+}^{♯(•)} à la

place de f_{T,T′,+}^{♯(•)}.

D’après la remarque 3.5.6, les foncteurs Coh_{T′}(f_{T,T′,+}^{♯(•)}) et Coh(f_{+}^{♯(•)}) (on n’indique pas dans les notations l’ensemble vide par convention) sont isomorphes sur D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯},ℚ}^{†} ) ∩ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}T′)_{ℚ}). Or, on a vu dans le paragraphe 5.1.7 que l’on dispose de l’isomorphisme de foncteurs Coh_{T′}(f_{T,T′,+}^{♯(•)}) −→^{∼} f_{T,T′,+}^{♯}et

Coh(f_{+}^{♯(•)}) −→^{∼} f_{+}^{♯}. On pourra alors noter sans risque de confusion f_{+}^{♯} à la place de f_{T,T′,+}^{♯}.

2. Supposons T′= f^{−1} (T) et soit ℰ^{(•)} ∈ LD_{−→}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). De manière analogue à [Car06, 1.1.10], on déduit du théorème 5.2.8 ci-dessus, que l’on bénéficie

de l’isomorphisme canonique oub_{T′}∘ f_{T}^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} f^{♯(•)!}∘ oub_{T}(ℰ^{(•)}). On

notera alors simplement f^{♯(•)!} à la place de f_{T}^{♯(•)!}. Pour des raisons identiques au cas de l’image directe, on pourra aussi noter simplement f^{♯!} à la place de f_{T}^{♯!}.

5.3 Surcohérence dans un 𝒱-schéma formel lisse, stabilité par image inverse extraordinaire par une immersion fermée

Définition 5.3.1. • Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On dit que ℰ^{(•)} est surcohérent dans 𝒫^{♯} (ou dans 𝒫 s’il n’y a pas d’ambiguïté avec la log structure) si, pour tout diviseur T′ de P, on a alors (^{†}T′)(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). On note

\underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes surcohérents dans 𝒫.

• De même, on note D_{surcoh,𝒫}^{b} (𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) la sous-catégorie pleine de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) des complexes ℰ tels que pour tout diviseur T′ de P, on ait (^{†}T′)(ℰ) ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

Proposition 5.3.2. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La propriété ℰ^{(•)} ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est équivalente à la propriété \underrightarrow{lim}ℰ^{(•)} ∈ D_{surcoh,𝒫}^{b} (𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Ces deux propriétés sont locales en 𝒫 et le foncteur \underrightarrow{lim} se factorise en l’équivalence

de catégories de la forme \underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D_{surcoh,𝒫}^{b} (𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

Démonstration. Soit T′un diviseur de P. Comme \underrightarrow{lim}∘(^{†}T′)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ; 3.2.11 \underrightarrow{lim}∘(^{†}T′∪

T)(ℰ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T′∪ T,T) ∘ \underrightarrow{lim}(ℰ^{(•)}), il suffit d’appliquer le corollaire 3.5.2 au complexe ℰ^{′(•)}:= (^{†}T′)(ℰ^{(•)}).

Lemme 5.3.3. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Avec les notations et définitions de

4.3.4 et 4.4.3, l’objet ℰ^{(•)} appartient à \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) si et seulement si, pour tout sous-schéma fermé Z de P, les objets de (^{†}Z)(ℰ^{(•)}) et ℝ\underline{Γ}_{Z}^{†}(ℰ^{(•)}) sont dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. On procède par dévissage de manière identique à 4.3.3.

Notations 5.3.4. Soient u: 𝔛 ↪ 𝒫 une immersion fermée de 𝒱-schémas formels lisses, 𝒵 et 𝔇 des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝔛 tels que u^{−1} (𝒵) ⊂ 𝔇. On pose 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), 𝔛^{♯}:= (𝔛,𝔇) et u^{♯}: 𝔛^{♯}→ 𝒫^{♯} l’immersion fermée de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par u. Soient 𝔘 l’ouvert de 𝒫 complémentaire de u(X), T un diviseur de P tel que T ∩ X soit un diviseur de X. Lemme 5.3.5. Avec les notations de 5.3.4, on dispose des carrés commutatifs à isomorphisme canonique :

\xymatrix{\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) \ar[r]_{u_{+}^{(•)}} \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) \ar[r]_{u_{+}^{(•)}} \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} & \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) \ar[d]^{\underrightarrow{lim}}_{≅} \\ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩ X)_{ℚ}) \ar[r]_{u_{T +}} & D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), & D_{coh}^{0}(𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩ X)_{ℚ}) \ar[r]_{u_{T +}} & D_{coh}^{0}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).}

(5.3.5.1)

Démonstration. Comme u est en particulier propre, on obtient alors la commutativité à isomorphisme canonique du carré de gauche. Comme le foncteur u_{T +}: Coh(𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩ X)_{ℚ}) → Coh(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) est exact, on obtient la factorisation D_{coh}^{0}(𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩X)_{ℚ}) → D_{coh}^{0}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). On obtient alors le diagramme commutatif à isomorphisme canonique près identique à celui de droite de 5.3.5.1 où le symbole « 0 » du terme en haut à droite est remplacé par « b ». Grâce à 2.5.9.1, on en déduit la factorisation u_{+}^{(•)}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) → \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) voulue.

Théorème 5.3.6 (Version logarithmique du théorème de Berthelot-Kashiwara). Avec les notations de 5.3.4, on suppose que u^{♯} est exacte. Les foncteurs u^{♯!} et u_{+}^{♯} induisent des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des 𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}-modules cohérents à support dans X et celle des 𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩ X)_{ℚ}-modules cohérents. Ces foncteurs u^{♯!} et u_{+}^{♯} sont acycliques sur ces catégories.

Démonstration. C’est un cas particulier de A.8.

Théorème 5.3.7 (Version système inductif et logarithmique du théorème de Berthelot-Kashiwara). Avec les notations de 5.3.4, on suppose que u^{♯} est exacte. Soient

ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)), ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) tel que ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0 dans

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

1. On dispose de l’isomorphisme canonique dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) :

u^{♯(•)!}∘ u_{+}^{♯(•)}(ℱ^{(•)}) −→^{∼} ℱ^{(•)}.  (5.3.7.1)

2. On a u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) et l’on bénéficie de l’isomorphisme

canonique

u_{+}^{♯(•)}∘ u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}.  (5.3.7.2)

3. Les foncteurs u_{+}^{♯(•)} et u^{♯(•)!} induisent des équivalences quasi-inverses entre la catégorie \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) (resp. \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X))) et la sous-

catégorie pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) (resp. \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))) des complexes ℰ^{(•)} tels que ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0.

Démonstration. Vérifions dans un premier temps l’isomorphisme 5.3.7.1. On dispose du morphisme canonique d’adjonction u^{♯(•)!}∘ u_{+}^{♯(•)}(ℱ^{(•)}) → ℱ^{(•)}. Il s’agit de vérifier que cette flèche est un isomorphisme. D’après la proposition 1.3.3, cela est local. Par transitivité des morphismes d’adjonction, on se ramène alors au cas où P est muni de coordonnées locales t_{1},...,t_{d} telles que X = V (t_{1}). Dans ce cas, on déduit de 5.2.5 que, pour tout entier l ∉ \{0,1\}, on a ℋ^{l}u^{♯(•)!} = 0 sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme le fonc-

teur u_{+}^{♯(•)} préserve la cohérence et est exact, le foncteur u^{♯(•)!}∘ u_{+}^{♯(•)} est donc way-out à gauche (cela a un sens grâce à l’équivalence de catégories \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) ≅

D_{coh}^{b}(\underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X))) de 2.5.7.1). En recopiant le début de la preuve de 2.4.3, on

se ramène alors au cas où ℱ^{(•)} = λ^{∗}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩X), pour un certain λ ∈ L. On dispose de

l’isomorphisme canonique ℋ^{0}u^{♯(m)!}∘u_{+}^{♯(m)}(ℱ^{(m)}) −→^{∼} ℱ^{(m)} (calcul classique, voir par exemple [Car16]). De plus, via la formule [Car09, 1.7.1], on calcule que la flèche canonique ℋ^{1}u^{♯(m)!}∘ u_{+}^{♯(m)}(ℱ^{(m)}) → ℋ^{1}u^{♯(m+1)!} ∘ u_{+}^{♯(m+1)}(ℱ^{(m+1)}) est le morphisme nul (grâce à 5.2.3, ℋ^{1}u^{♯(m)!}= ℋ^{1}u^{♯(m+1)!} = u^{∗} car le module est cohérent). On en déduit le résultat. Vérifions maintenant 5.3.7.2. Posons ℰ:= \underrightarrow{lim} ℰ^{(•)}. D’après la version logarithmique

du théorème de Berthelot-Kashiwara de 5.3.6, comme ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) et est à

support dans X, alors u^{♯!}(ℰ) ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝔛^{♯}}^{†}(^{†}T ∩ X)_{ℚ}). Soit ℋ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩

X)) tel que u^{♯!}(ℰ) −→^{∼} \underrightarrow{lim}ℋ^{(•)}. Via 5.3.5, on en déduit u_{+}^{♯} (u^{♯!}(ℰ)) −→^{∼} \underrightarrow{lim}u_{+}^{♯(•)}ℋ^{(•)}.

Comme d’après le théorème de Berthelot-Kashiwara ℰ −→^{∼} u_{+}^{♯} (u^{♯!}(ℰ)), comme ℰ^{(•)}, u_{+}^{♯(•)}ℋ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et comme le foncteur \underrightarrow{lim} est pleinement fidèle

sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on en déduit ℰ^{(•)} −→^{∼} u_{+}^{♯(•)}ℋ^{(•)}. Cela entraîne u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) −→^{∼}

u^{♯(•)!}∘u_{+}^{♯(•)}ℋ^{(•)} −→^{∼} ; 5.3.7.1ℋ^{(•)}. En appliquant le foncteur u_{+}^{♯(•)}à ce composé, on obtient

l’isomorphisme 5.3.7.2 voulu. Le troisième point est évident une fois validés les deux premiers.

Corollaire 5.3.8. Avec les notations de 5.3.4, on suppose que u^{♯} est exacte. Pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}), on dispose de l’isomorphisme

ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} u_{+}^{♯(•)}∘ u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}).  (5.3.8.1)

Démonstration. En utilisant les isomorphismes

u_{+}^{♯(•)}(𝒪_{𝔛}^{(•)})⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝒫,ℚ}}^{†} ℰ^{(•)}[d_{X/P}] −→^{∼} ; 5.1.10.1 u_{+}^{♯(•)}(𝒪_{𝔛}^{(•)}⊗^{𝕃} _{𝒪_{𝔛,ℚ}}^{†} u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)})) −→^{∼} u_{+}^{♯(•)}∘ u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}),

on se ramène au cas où ℰ^{(•)} = 𝒪_{𝒫}^{(•)}. Comme l’immersion u^{♯} est exacte, par 4.3.5.1, 5.1.3 et 5.1.6.1, on peut oublier les structures logarithmiques. Dans ce cas, comme ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)) (voir 5.2.7) et est à support dans X, le théorème de Kashiwara sous la forme 5.3.7 implique que l’on dispose de l’isomorphisme canonique u_{+}^{(•)} ∘ u^{(•)!}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)})) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)}). Comme d’après 5.2.8.1 le morphisme canonique u^{(•)!}(ℝ\underline{Γ}_{X}^{†}(𝒪_{𝒫}^{(•)})) → u^{(•)!}(𝒪_{𝒫}^{(•)}) est un isomorphisme, on obtient le résultat voulu.

Corollaire 5.3.9. Avec les notations de 5.3.4, on suppose que u^{♯} est exacte.

1. Pour tout complexe ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on a alors u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝔛}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)).

2. Les foncteurs u_{+}^{♯(•)} et u^{♯(•)!} induisent des équivalences quasi-inverses entre la catégorie \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝔛}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) et la sous-catégorie pleine de

\underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes ℰ^{(•)} tels que ℰ^{(•)}|𝔘 −→^{∼} 0.

Démonstration. Vérifions d’abord la première assertion. Soient ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) et X′ une sous-variété fermée de X. Il résulte de 5.3.3

que ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫}^{b} (^{g}𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Comme ce dernier est en particulier cohérent et nul en dehors de X, on déduit du théorème 5.3.7 que u^{♯(•)!}(ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)})) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)). Or, il découle de 5.2.8.1, que l’on dispose de l’isomorphisme canonique u^{♯(•)!} ∘ ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}(ℰ^{(•)}) −→^{∼} ℝ\underline{Γ}_{X′}^{†}∘ u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}). Cela implique u^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝔛}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{♯}}^{(•)}(T ∩ X)) (il ne faut pas oublier de d’abord vérifier la cohérence, ce qui résulte du cas particulier X′= X car dans ce cas ℝ\underline{Γ}_{X}^{†} ∘ u^{♯(•)!} = u^{♯(•)!}). Traitons à présent l’assertion 2). On vérifie la stabilité de la surcohérence par u_{+}^{♯(•)} grâce à 5.2.8.2 (et à la stabilité de la cohérence par u_{+}^{♯(•)}). On en déduit alors les équivalences quasi-inverses voulues via celles de 5.3.7.3.

5.4 Surcohérence

Définition 5.4.1. 1. De manière analogue à [Car04, 3], on définit la souscatégorie pleine D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) de D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) des complexes surcohérents ℰ, i.e., tels que, pour tout morphisme lisse de la forme f: 𝒫′→ 𝒫, en notant 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,f^{−1} (𝒵)) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme induit par f, on ait f^{♯!}(ℰ) ∈ D_{surcoh,𝒫^{′♯}}^{b}(𝒟_{𝒫^{′♯}}^{†}(^{†}f^{−1} (T))_{ℚ}).

2. De manière analogue, on dit que ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est surcohérent si, pour tout morphisme lisse de la forme f: 𝒫′ → 𝒫, en notant 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,f^{−1} (𝒵)) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme induit par f, on ait f^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh,𝒫^{′♯}}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(f^{−1} (T))). On note \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) la sous-catégorie

pleine de \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) des complexes surcohérents.

Remarques 5.4.2. 1. Dans la définition 5.4.1 lorsque T est vide, pour garantir que 𝒪_{𝒫,ℚ} soit bien surcohérent, il est important que le morphisme lisse f^{♯}soit exact. En effet, si 𝒵 est un diviseur lisse de 𝒫 et si 𝒫^{♯}:= (𝒫,𝒵), alors 𝒪_{𝒫} (^{†}Z)_{ℚ} n’est pas a priori 𝒟_{𝒫^{♯},ℚ}^{†} -cohérent.

2. Avec la remarque précédente, la notion de surcohérence est seulement intéressante sans structure logarithmique. Par commodité de rédaction nous resterons cependant dans cette sous-section dans le cas général logarithmique.

Proposition 5.4.3. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). La propriété ℰ^{(•)} ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) est équivalente à la propriété \underrightarrow{lim} ℰ^{(•)} ∈ D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Ces deux propriétés sont locales en 𝒫. On dispose de l’équivalence de catégories \underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ≅ D_{surcoh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}).

Démonstration. Cela résulte de la proposition 5.3.2 et du fait que, pour tout morphisme exact et lisse f^{♯} de 𝒱-schémas formels logarithmiques lisses, le foncteur f^{♯(•)!} préservent la cohérence.

Notations 5.4.4. Soient f: 𝒫′→ 𝒫 un morphisme de 𝒱-schémas formels lisses, T et T′ des diviseurs respectifs de P et P′ tels que T′= f^{−1} (T), 𝒵 et 𝒵′ des diviseurs à croisements normaux stricts de respectivement 𝒫 et 𝒫′tels que f^{−1} (𝒵) ⊂ 𝒵′. On pose 𝒫^{♯} := (𝒫,𝒵), 𝒫^{′♯}:= (𝒫′,𝒵′) et f^{♯}: 𝒫^{′♯}→ 𝒫^{♯} le morphisme de 𝒱-schémas formels logarithmiques induits par f.

Théorème 5.4.5. Avec les notations 5.4.4, on suppose que f est strict. Pour tout ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)), on a alors f^{♯(•)!}(ℰ^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)).

Démonstration. Il s’agit de calquer la preuve du théorème analogue de [Car04, 3.1.7].

Théorème 5.4.6. Soient f: 𝔛′→ 𝔛, g: 𝒴 → 𝔛 deux morphismes de 𝒱-schémas formels lisses tels que g soit lisse et f soit propre. On se donne 𝒵 (resp. 𝒵′) des diviseurs à croisements normaux stricts de 𝔛 (resp. 𝔛′) tels que f^{−1} (𝒵) ⊂ 𝒵′. On pose 𝒴′:= 𝔛′×_{𝔛} 𝒴, f′: 𝒴′→ 𝒴, g′: 𝒴′→ 𝔛′ les deux projections canoniques. On note 𝒯 := g^{−1} (𝒵), 𝒯′:= g^{′−1}(𝒵′), 𝔛^{♯} = (𝔛,𝒵) (resp. 𝔛^{′♯}:= (𝔛′,𝒵′), 𝒴^{♯} := (𝒴,𝒯), 𝒴^{′♯}:= (𝒴′,𝒯′)) les 𝒱-schémas formels logarithmiques lisses induits et f^{♯}: 𝔛^{′♯}→ 𝔛^{♯}, g^{♯}: 𝒴^{♯} → 𝔛^{♯}, f^{′♯}: 𝒴^{′♯}→ 𝒴^{♯} et g^{′♯}: 𝒴^{′♯}→ 𝔛^{′♯}les deux morphismes de log-𝒱-schémas formels lisses induits. Soit ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{′♯}}^{(•)}). Il existe alors un isomorphisme

canonique dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(^{g}𝒟̃_{𝔛^{′♯}}^{(•)}) :

g^{♯(•)!}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{′♯(•)}∘ g^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}).  (5.4.6.1)

Démonstration. Avec les hypothèses sur f et g, il résulte de 5.1.8 que les complexes de 5.4.6.1 sont bien cohérents. Le morphisme g (resp. g′) se décompose en son graphe γ (resp. γ′) suivi de la projection canonique π: 𝔛 × 𝒴 → 𝔛 (resp. π′: 𝔛′× 𝒴 → 𝔛′). Posons 𝔘:= 𝔛 × 𝒴, 𝔘′:= 𝔛′× 𝒴. On note π^{♯}: 𝔘^{♯}→ 𝔛^{♯}, γ^{♯}: 𝒴^{♯}→ 𝔘^{♯} les morphismes stricts de log-schémas formels dont les morphismes de schémas formels sont π et γ; de même avec des primes. On note f^{′′♯}= f^{♯}× id_{𝒴} : 𝔘^{′♯}→ 𝔘^{♯} le morphisme canoniquement induit. Grâce au théorème 5.3.7, on se ramène à vérifier que l’on dispose

d’un isomorphisme canonique de la forme γ_{+}^{♯(•)}∘ g^{♯(•)!}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} γ_{+}^{♯(•)}∘ f_{+}^{′♯(•)}∘

g^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}). Concernant le terme de gauche, par transitivité des images inverses

Systèmes inductifs cohérents de 𝒟-modules … 1593

extraordinaires, on obtient l’isomorphisme canonique γ_{+}^{♯(•)}∘ g^{♯(•)!}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} γ_{+}^{♯(•)}∘ γ^{♯(•)!}∘ π^{♯(•)!}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}). Pour celui de droite, par transitivité des images directes ou images inverses extraordinaires et en utilisant 5.2.8.2 et 5.3.8.1 on obtient

les isomorphismes canoniques γ_{+}^{♯(•)}∘ f_{+}^{′♯(•)}∘ g^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{′′♯(•)}∘ γ_{+}^{′♯(•)}∘ γ^{′♯(•)!}∘

π^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} γ_{+}^{′♯(•)}∘γ^{′♯(•)!}∘f_{+}^{′′♯(•)}∘π^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}). On se ramène ainsi à vérifier l’iso-

morphisme π^{♯(•)!}∘ f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) −→^{∼} f_{+}^{′′♯(•)}∘ π^{′♯(•)!}(ℰ^{′(•)}).

De manière analogue à [Ber02, 2.4.2], pour tout entier i ∈ ℕ, on vérifie que l’on dispose dans D_{qc}^{b}(𝒟_{U_{i}^{♯}}^{(m)}) de l’isomorphisme canonique

π_{i}^{♯(m)!}∘ f_{i+}^{♯(m)}(ℰ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} f_{i+}^{′′♯(m)}∘ π_{i}^{′♯(m)!}(ℰ_{i}^{′(m)}).  (5.4.6.2)

Par soucis pour le lecteur, donnons les arguments principaux de Berthelot (pour prouver [Ber02, 2.4.2], mais il n’y a rien à changer) dans son cours de 1997 sur les 𝒟modules arithmétiques. Comme les foncteurs sont way-out à gauche, comme tout 𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}-module est un quotient d’un module de la forme 𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{X′_{i}}} ℳ avec ℳ un 𝒪_{X′_{i}}- module, on se ramène à supposer que ℰ_{i}^{′(m)}= 𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{X′_{i}}} ℱ_{i}^{′(m)}pour un certain 𝒪_{X′_{i}}- module ℱ_{i}^{′(m)}. On vérifie alors les isomorphismes canoniques

f_{i+}^{♯(m)}(ℰ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} 𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{X_{i}}} ℝf_{∗}(ω_{X_{i}^{′♯}/X_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{X′_{i}}} ℱ_{i}^{′(m)}),  (5.4.6.3)
π_{i}^{′♯(m)!}(ℰ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} π_{i}^{′∗}𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} π_{i}^{′∗}(ℱ_{i}^{′(m)})[d_{U′/X′}].  (5.4.6.4)

Comme pour [Ber02, 2.3.1], on dispose de l’isomorphisme de 𝒟_{U_{i}^{′♯}}^{(m)}-modules à

gauche 𝒟_{U_{i}^{′♯}}^{(m)} −→^{∼} π_{i}^{′∗}𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{U_{i}}} f_{i}^{′∗}ϖ_{i}^{∗}𝒟_{Y_{i}^{′♯}}^{(m)}. Le morphisme π_{i}^{′∗}𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}→ 𝒟_{U_{i}^{′♯}}^{(m)}induit est

𝒟_{U_{i}^{′♯}}^{(m)}-linéaire et fait de π_{i}^{′∗}𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)} une sous-algèbre de 𝒟_{U_{i}^{′♯}}^{(m)}. De même, f^{′′∗}𝒟_{U_{i}^{♯}}^{(m)} −→^{∼}

π_{i}^{′∗}f_{i}^{∗}𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{U_{i}}} f_{i}^{′∗}ϖ_{i}^{∗}𝒟_{Y_{i}^{′♯}}^{(m)}. Le morphisme canonique 𝒟_{U_{i}^{♯}}^{(m)}→ π_{i}^{∗}𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)} induit alors

(ω_{U_{i}^{′♯}/U_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} f^{′′∗}𝒟_{U_{i}^{♯}}^{(m)}) ⊗_{𝒟 _{U{′♯ \atop i}}^{(m)}}^{𝕃}π_{i}^{′∗}𝒟_{X_{i}^{′♯}}^{(m)}→ ω_{U_{i}^{′♯}/U_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} f^{′′∗}π_{i}^{∗}𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}.

Par un calcul en coordonnées locales, on vérifie que ce morphisme est un isomorphisme. Via 5.4.6.4, on en déduit l’isomorphisme

f_{i+}^{′′♯(m)}∘ π_{i}^{′♯(m)!}(ℰ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} ℝf′_{∗}(ω_{U_{i}^{′♯}/U_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} f^{′′∗}π_{i}^{∗}𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} π_{i}^{′∗}(ℱ_{i}^{′(m)}))[d_{U′/X′}]

−→^{∼} π_{i}^{∗}𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}⊗_{𝒪_{U_{i}}} ℝf′_{∗}(ω_{U_{i}^{′♯}/U_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} π_{i}^{′∗}(ℱ_{i}^{′(m)}))[d_{U′/X′}].

On déduit de 5.4.6.3 l’isomorphisme π_{i}^{♯(m)!}f_{i+}^{♯(m)}(ℰ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} π_{i}^{∗}(𝒟_{X_{i}^{♯}}^{(m)}) ⊗_{𝒪_{U_{i}}}

π_{i}^{∗}ℝf_{∗}(ω_{X_{i}^{′♯}/X_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{X′_{i}}} ℱ_{i}^{′(m)}))[d_{U′/X′}]. Comme π_{i} est plat, alors π_{i}^{∗} ∘ ℝf_{∗}(ω_{X_{i}^{′♯}/X_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{X′_{i}}}

Documenta Mathematica 21 (2016) 1515–1606

ℱ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} ℝf′_{∗}∘ π_{i}^{′∗}(ω_{X_{i}^{′♯}/X_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{X′_{i}}} ℱ_{i}^{′(m)}) −→^{∼} ℝf′_{∗}(ω_{U_{i}^{′♯}/U_{i}^{♯}}⊗_{𝒪_{U′_{i}}} π_{i}^{′∗}(ℱ_{i}^{′(m)})). D’où le

résultat. Par passage à la limite projective et compatibilité au changement de niveaux de ces isomorphes 5.4.6.2, on obtient le théorème.

Remarques 5.4.7. Lorsque l’on ne dispose pas de structure logarithmique, T. Abe a prouvé que l’isomorphisme de changement de base 5.4.6.1 est compatible à Frobenius (voir [Abe14, 5.7]).

Théorème 5.4.8. Avec les notations 5.4.4, on suppose f propre. Pour tout ℰ^{′(•)}∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{′♯}}^{(•)}(T′)), on a alors f_{+}^{♯(•)}(ℰ^{′(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,surcoh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Il s’agit de calquer la preuve du théorème analogue de [Car04, 3.1.9], i.e. cela découle du théorème 5.2.8.2 et du théorème de changement de base 5.4.6.

Remarques 5.4.9. Soit ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Si \underrightarrow{lim} ℰ^{(•)} ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), il

semble faux que cela implique que ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)). Même sans structure logarithmique, la stabilité de la surcohérence par images directes ou images inverses extraordinaires pour les systèmes inductifs est donc un outil plus puissant (et manipulable) que celle de la surcohérence définie dans [Car04]. La notion de surcohérence pour les systèmes inductifs apparaît avec du recul comme la bonne notion.

A Théorème de Berthelot-Kashiwara avec log-structures et coefficients

Le but de cette section est le théorème de Berthelot-Kashiwara sous la forme A.8. Comme ce théorème est donné dans un contexte log-géométrique un peu plus général, nous nous permettons de nous écarter dans cette section des notations générales.

A.1 (Notations). Soient n ≥ r deux entiers naturels. On désigne par A^{n,r} le log-schéma dont l’espace sous-jacent est 𝔸_{ℤ}^{n} = Specℤ[t_{1},...,t_{n}] et tel qu’une pré-log-structure soit donné par ℕ^{r} → ℤ[t_{1},...,t_{n}] définie par e_{i} ↦ t_{i} pour i = 1,...,r. Soit 𝔄^{n,r} le ℤ_{p}-schéma formel égale à la complétion p-adique de A^{n,r}. Soient T un log-schéma fin et 𝒯 un log-𝒱-schéma formel. On pose A_{T}^{n,r}:= A^{n,r}×_{Specℤ} T et 𝔄_{𝒯}^{n,r} := 𝔄^{n,r}×_{Spfℤ_{p}} 𝒯. On dispose des immersions fermées exactes canoniques : A_{T}^{r,r} ↪ A_{T}^{n,r} et 𝔄_{𝒯}^{r,r} ↪ 𝔄_{𝒯}^{n,r} données par t_{r+1} = 0,...,t_{n} = 0. Soit m ∈ ℕ ∪ {∞}. On dispose des inclusions 𝒟_{A_{T}^{n,0}/T}^{(m)}⊂ 𝒟_{A_{T}^{n,r}/T}^{(m)}⊂ 𝒟_{A_{T}^{n,n}/T}^{(m)} (lorsque

m = ∞, la convention de Berthelot donnée dans [Ber00] signifie les opérateurs différentiels usuels). On note ∂_{1},...,∂_{n} (resp. ∂_{♯,1},...,∂_{♯,n}) les dérivations (resp. les dérivations logarithmiques) correspondant aux coordonnées locales t_{1},...,t_{n} de A_{T}^{n,0}/T (resp. coordonnées locales logarithmiques t_{1},...,t_{n} de A_{T}^{n,n}/T). Le 𝒪_{𝔸_{T}^{n}}-

module (pour les structures droite ou gauche) 𝒟_{A_{T}^{n,0}/T}^{(m)} (resp. 𝒟_{A_{T}^{n,n}/T}^{(m)}) est libre de

base \underline{∂}^{<\underline{i}>_{(m)}} (resp. \underline{∂}_{♯}^{<\underline{i}>_{(m)}} ) avec \underline{i} ∈ ℕ^{n}. On a la relation \underline{∂}_{♯}^{<\underline{i}>_{(m)}} = \underline{t}\underline{i}\underline{∂}^{<\underline{i}>_{(m)}} , où

\underline{t}\underline{i} := t_{1}^{i_{1}} ··· t_{n}^{i_{n}} pour (i_{1},...,i_{n}) = \underline{i}. Pour tout (i_{1},...,i_{n}) = \underline{i} ∈ ℕ^{n}, on pose \underline{∂}_{(r)}^{<\underline{i}>_{(m)}} := \underline{∂}_{♯}^{<(i_{1},...,i_{r},0,...,0)>_{(m)}} \underline{∂}^{<(0,...,0,i_{r+1} ,...,i_{n})>_{(m)}} . Le 𝒪_{𝔸_{T}^{n}}-module (pour les structures droite ou

gauche) 𝒟_{A_{T}^{n,r}/T}^{(m)}est libre de base \underline{∂}_{(r)}^{<\underline{i}>_{(m)}} avec \underline{i} ∈ ℕ^{n}.

On remarque alors qu’un T -morphisme f: X → A_{T}^{n,r} équivaut à la donnée de sections globales e_{1},...,e_{r} de M_{X} (le faisceau de la log-structure de X) et a_{r+1} ,...,a_{n} de 𝒪_{X}. Si f est log-étale alors 𝒟_{X/T}^{(m)}= f^{∗}𝒟_{A_{T}^{n,n}/T}^{(m)} et l’on dispose du morphisme d’anneaux

f^{−1} 𝒟_{A_{T}^{n,n}/T}^{(m)}→ 𝒟_{X/T}^{(m)}. On notera encore \underline{∂}_{(r)}^{<\underline{i}>_{(m)}} les sections globales de 𝒟_{X/T}^{(m)}égales

à l’image de \underline{∂}_{(r)}^{<\underline{i}>_{(m)}} via le morphisme f^{−1} 𝒟_{A_{T}^{n,n}/T}^{(m)}→ 𝒟_{X/T}^{(m)}. Lorsque m = ∞, on note

plutôt \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}]} := \underline{∂}_{(r)}^{<\underline{i}>_{(∞)}} .

Lemme A.2. Soit f: X → Y un morphisme de T -log-schémas lisses. Le morphisms f est log-étale si et seulement si le morphisme canonique f^{∗}Ω_{Y /T}^{1}→ Ω_{X/T}^{1} est un isomorphisme.

Démonstration. D’après [Ogu, IV.3.2.3.2 et IV.3.1.3], si le morphisme canonique f^{∗}Ω_{Y /T}^{1}→ Ω_{X/T}^{1}est un isomorphisme alors f est log-étale. Réciproquement, si f est log-étale alors f est log-lisse et alors (en utilisant [Ogu, IV.3.2.3.1]) f^{∗}Ω_{Y /T}^{1}→ Ω_{X/T}^{1} est injective. Puisque f est non ramifié alors Ω_{X/Y}^{1}= 0 (voir [Ogu, IV.3.1.3]). Il en résulte que f^{∗}Ω_{Y /T}^{1}→ Ω_{X/T}^{1}est surjective.

Lemme A.3. Soit f: X → A_{T}^{n,r} un morphisme de T -log-schémas lisses donné par les sections globales e_{1},...,e_{r} de M_{X} et a_{r+1} ,...,a_{n} de 𝒪_{X}. Le morphisme f est log-étale si et seulement si le 𝒪_{X}-module Ω_{X/T}^{1} est libre et si (dloge_{1},...,dloge_{r},da_{r+1} ,...,da_{n}) en forme une base.

Démonstration. D’après A.2, f est log-étale si et seulement si le morphisme canonique f^{∗}Ω_{A_{T}^{n,r}/T}^{1}→ Ω_{X/T}^{1} est un isomorphisme. Cette dernière propriété équivaut au

fait que le 𝒪_{X}-module Ω_{X/T}^{1} est libre et que (dloge_{1},...,dloge_{r},da_{r+1} ,...,da_{n}) en soit une base (pour calculer explicitement Ω_{A_{T}^{n,r}/T}^{1}, il vaut mieux utiliser la remarque [Ogu, IV.1.1.8]).

Lemme A.4. Soit u: Z ↪ X une immersion fermée de log-schémas lisses sur T. Soit x un point de |Z|. Alors, en remplaçant X par un ouvert contenant x si nécessaire, il existe des entiers n ≥ r et un diagramme cartésien de morphismes de T -log-schémas de la forme :

[figure: X; □; A_{T}^{n,r}; Z; u; A_{T}^{r,r}]

tel que les morphismes horizontaux sont log-étale et le morphisme de droite est l’immersion fermée stricte canonique. De même, en remplaçant « log-schémas » par « logschémas formels », on obtient une version analogue.

Démonstration. La preuve est analogue à celle du théorème [SGA1, II.4.10] : Puisque u est une immersion fermée stricte, en notant ℐ l’idéal définissant u, d’après [Ogu, IV.3.2.2] on obtient la suite exacte

0 → ℐ/ℐ^{2} → u^{∗}Ω_{X/T}^{1}→ Ω_{Z/T}^{1} → 0.  (A.4.1)

Puisque Z et X sont log-lisse sur T, d’après [Ogu, IV.3.2.1], Ω_{X/T}^{1} et Ω_{Z/T}^{1} sont localement libre. En regardant la description de Ω_{Z/T}^{1} de [Ogu, IV,1.1.6], en remplaçant X par un ouvert contenant x si nécessaire (et Z par la trace de cet ouvert sur Z), on vérifie que Ω_{Z/T}^{1} est engendré comme 𝒪_{Z}-module on vérifie que les éléments de la forme dloga avec a une section globale de M_{Z}. Ainsi, (en remplaçant X par un ouvert contenant x si nécessaire) on trouve des sections globales a_{1},...,a_{r} de M_{X} telles que dlog\overline{a}_{1},...,dlog\overline{a}_{r} forment une base de Ω_{Z/T}^{1}, \overline{a} signifiant l’image de a via la surjection u^{−1} M_{X} → M_{Z}. Via la suite exacte A.4.1, on obtient des sections globales a_{r+1} ,...,a_{n} de ℐ telles que 1 ⊗ dloga_{1},...,1 ⊗ dloga_{r},1 ⊗ da_{r+1} ,...,1 ⊗ da_{n} forment une base de u^{∗}Ω_{X/T}^{1}. Comme Ω_{X/T}^{1} est un 𝒪_{X}-module localement libre, quitte à remplacer X par un ouvert contenant x, on peut alors supposer que dloga_{1},...,1 ⊗ dloga_{r},da_{r+1} ,...,da_{n} forment une base de Ω_{X/T}^{1}. Les sections a_{1},...,a_{n} (resp. \overline{a}_{1},...,\overline{a}_{r}) induisent un morphisme de T -log-schémas lisses de la forme f: X → A_{T}^{n,r} (resp. f′: Z → A_{T}^{r,r}). D’après A.3, f et f′sont log-étales. Soit le diagramme

[figure: X; f; □; A_{T}^{n,r}; Z; u; f′; Z′; A_{T}^{r,r}]

dont les trois immersions fermées sont strictes et dont le carré est cartésien. Puisque f′ et f sont log-étales, il en est alors de même de Z → Z′. Puisque les immersions fermées sont exactes, le morphisme Z → Z′est en outre strict. Le morphisme sous-jacents de schémas \underline{Z}→ \underline{Z′}est alors une immersion fermée étale, et donc une immersion ouverte. Quitte à rétrécir X si nécessaire, on peut alors conclure.

A.5. Sot 𝔛 un 𝒯-log-schéma formel log lisse. Soit ℬ une 𝒪_{𝔛}-algèbre commutative. On dira que ℬ est complètement cohérente s’il satisfait les conditions suivantes :

(i) Pour n’importe quel entier i ≥ 0, ℬ_{i} := ℬ/π^{i+1} ℬ est un 𝒪_{X_{i}}-module quasicohérent et l’homomorphisme canonique ℬ → \underleftarrow{lim}_{i}ℬ_{i} est un isomorphisme ;

(ii) pour n’importe quel ouvert affine 𝔘 ⊂ 𝔛, l’anneau Γ(𝔘,ℬ) est noetherian.

Soit ℬ une 𝒪_{𝔛}-algèbre commutative complètement cohérente munie d’une structure compatible de 𝒟_{𝔛/𝒯}^{(m)} -module. Alors, d’après [Ber96b, 3.3], l’anneau ℬˆ⊗_{𝒪_{𝔛}} 𝒟_{𝔛/𝒯}^{(m)} est

cohérent et satisfait les théorèmes de type A et B. Soit ℰ un ℬˆ⊗_{𝒪_{𝔛}} 𝒟_{𝔛/𝒯}^{(m)} -module coherent (à gauche). En utilisant le théorème de type A, on vérifie que l’ensemble 𝔘 de 𝔛 des éléments x tels que ℰ_{x} = 0 est ouvert. Le support de ℰ est par définition le complémentaire de 𝔘 dans 𝔛. Ainsi ℰ|𝔘 = 0.

Théorème A.6 (Berthelot). Soit u: 𝒵 ↪ 𝔛 une immersion fermée exacte de 𝒯-log-schémas formels log lisses. Soit 𝒴 l’ouvert de 𝔛 complémentaire à l’espace topologique sous-jacent de 𝒵. Soit (ℬ^{(m)})_{m∈ℕ} un système inductif de 𝒪_{𝔛}-algèbres commutatives complètement cohérentes. On suppose que ℬ^{(m)} est muni d’une structure compatible de 𝒟_{𝔛/𝒯}^{(m)} -module telle que l’homomorphisme de 𝒪_{𝔛}-algèbres ℬ^{(m)}→ ℬ^{(m+1)}

soit aussi un monomorphisme de 𝒟_{𝔛/𝒯}^{(m)} -modules. On pose 𝒟̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} := ℬ^{(m)}ˆ⊗_{𝒪_{𝔛}} 𝒟̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} .

On suppose que la famille (u^{∗}ℬ^{(m)})_{m∈ℕ} vérifie les mêmes propriétés et on pose 𝒟̃_{𝒵/𝒯}^{(m)} := (u^{∗}ℬ^{(m)})ˆ⊗_{𝒪_{𝒵}} 𝒟̂_{𝒵/𝒯}^{(m)} . Soit ℰ un 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m)} -module cohérent à support dans 𝒵 (i.e. tel que ℰ|𝒴 = 0). Il existe alors un entier assez grand m′≥ m, un 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} -module cohérent ℱ et un

isomorphisme de 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)} -modules de la forme

u_{+}^{(m′)}(ℱ) −→^{∼} 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)} ⊗𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m)} ℰ.

Démonstration. La preuve suivante reprend très fidèlement celle donnée par Berthelot dans son cours à Paris de 1997 dans le cas logarithmiques et sans coefficients (i.e. pour ℬ_{𝔛}^{(m)} = 𝒪_{𝔛}). Pour la commodité du lecteur, en voici une écriture. Pour n’importe quel 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} -module cohérent 𝒢, on dispose de l’isomorphisme canonique

ℋ^{0}u^{!}u_{+}^{(m′)}(𝒢) −→^{∼} 𝒢. Cela implique que le foncteur u_{+}^{(m′)} est pleinement fidèle. Le théorème est donc local et avec A.4 l’on peut supposer que \underline{𝔛} est affine et qu’il existe des entiers n ≥ r et un diagramme cartésien de 𝒯-log-schémas formels de la forme :

[figure: 𝔛; □; 𝔄_{𝒯}^{n,r}; 𝒵; u; 𝔄_{𝒯}^{r,r}]

tel que les morphismes horizontaux sont log-étales et le morphisme de droite est l’immersion fermée exacte canonique. Quitte à faire une récurrence sur n, on peut supposer que n = r + 1, i.e. 𝒵 = V (t) où t est la section de 𝒪_{𝔛} image de t_{n} via 𝔛 → 𝔄_{𝒯}^{n,n−1}. On reprend alors librement les notations de la fin de A.1 concernant notamment les dérivations ∂_{♯,1},...,∂_{♯,r},∂_{n}. On notera simplement ∂ pour ∂_{n}. Pour terminer la preuve du théorème, nous aurons besoin du lemme clé suivant.

Lemme A.7 (Lemme clé de Berthelot). Soient s ≥ 1 un entier, D̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} := Γ(𝔛,𝒟̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} ),

R ∈ M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} ) une matrice. Il existe alors un entier assez grand m′≥ m et une matrice

P ∈ M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}) satisfaisant les propriétés suivantes :

1. P ≡ I_{s} modπM_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}), où I_{s} est la matrice identité ;

2. t^{p^{m}}P = P(t^{p^{m}}I_{s}− πR), où R est considéré comme un élément de M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}) via

l’inclusion M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} ) ⊂ M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}).

Démonstration. Puisque la preuve pour un s quelconque est identique, on peut supposer s = 1.

0) Notations. Soit S ∈ D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} (on prendra garde au fait que D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} est seulement un B^{(m)}-module, on prend la structure droite de O_{𝔛}-module de D̂_{𝔛/𝒯} pour calculer le produit tensoriel car celui-ci est placé à gauche du produit tensoriel). L’élément S s’écrit de manière unique sous la formel S = ∑_{\underline{i}∈ℕ^{n}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}]}a\underline{i}, avec a\underline{i} ∈ B^{(m)}

tendant π-adiquement vers 0 lorsque |\underline{i}| tend vers l’infini et où la notation \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}]} est

définie à la fin de A.1. Posons c\underline{i}(S) := a\underline{i}. Lorsque S ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}, la somme est finie et on peut alors définir ord(S) comme étant le maximal des éléments |\underline{i}| tels que c\underline{i}(S) ≠ 0. Posons [S]_{l} := π^{−l} ∑_{\underline{i}∈E_{l}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}]}c\underline{i}(S), où E_{l} est le sous-ensemble (fini) de ℕ^{n}

des éléments \underline{i} tels que v_{π}(c\underline{i}(S)) = l, où v_{π} signifie la valuation π-adique sur B^{(m)}. Posons σ_{l}(S) := ∑_{l′≤l} π^{l′}[S]_{l′}. Comme pour [Ber96b, 2.4.4.2], on vérifie que les propriétés suivantes :

(i) il existe un entier m′≥ m tel que S ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m′)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)};

(ii) il existe un nombre réel a > 0 tel que ord(σ_{l}(S)) ≤ a(l + 1) pour n’importe quel entier l;

(iii) il existe un nombre réel a > 0 tel que ord([S]_{l}) ≤ a(l + 1) pour n’importe quel entier l

sont équivalentes. Si a > 0 est un réel, on dira alors que S est a-borné si, pour n’importe quel \underline{i} ∈ ℕ^{n}, l’inégalité suivante est satisfaite : v_{π}(c\underline{i}(S)) ≥ \frac{|\underline{i}|}{a} − 1. On remarque que S est a-borné si et seulement si on a ord([S]_{l}) ≤ a(l + 1) pour n’importe quel entier l.

1) En utilisant l’inégalité de gauche de [Ber96b, 2.4.3.1] (et la formule [Ber96b, 2.2.3.2] encore valable dans le cas logarithmique), on calcule que pour tout a > p^{m}(p − 1), il existe b ≥ a assez grand tel que pour tout P ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} on ait

v_{π}(c\underline{i}(P)) ≥ \frac{|\underline{i}|}{a} − \frac{b}{a} pour n’importe quel entier \underline{i} (il s’agit d’étudier une fonction et vérifier qu’elle est minorée). On en déduit qu’il existe α assez grand (e.g. a + b) tel que pour tout P ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}, P soit α-borné. On fixe à présent un tel α et on pose β:= α + p^{m}.

2) On remarque que si P ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}} B^{(m)} alors PR ∈ D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} (en effet R ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}, comme ce dernier est un anneau, ses éléments sont en particulier stables par multiplication à gauche par un élément de B^{(m)}). Supposons de plus que P soit β-borné. L’opérateur P est alors une somme finie d’éléments de la forme π^{l_{2}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{2}]}b, avec b ∈ B^{(m)} et |\underline{i}_{2}| ≤ β(l_{2} + 1). Comme bR ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} (car D̂_{𝔛/𝒯}^{(m)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} est un anneau), d’après 1), bR est α-borné. On peut donc l’écrire comme une somme d’éléments de la forme π^{l_{1}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{1}]}a avec a ∈ B^{(m)} et |\underline{i}_{1}| ≤ α(l_{1}+ 1). Ainsi, PR est égale à une somme d’éléments de la forme π^{l_{1}+l_{2}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{1}]}\underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{2}]}a avec a ∈ B^{(m)}, |\underline{i}_{1}| ≤ α(l_{1}+ 1) et |\underline{i}_{2}| ≤ β(l_{2}+ 1). Comme α ≤ β, on a donc |\underline{i}_{1}| + |\underline{i}_{2}| ≤ α + β(l_{1}+ l_{2}+ 1). Ainsi PR est quasiment β-borné modulo l’ajout de α.

3) On vérifie pour n’importe quel entier naturel N la formule

t^{p^{m}}∂^{[N+p^{m}]}− ∂^{[N+p^{m}]}t^{p^{m}} ≡ −∂^{[N]} modπD_{𝔛/𝒯} .

Cela implique que pour n’importe quel opérateur U ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}} B^{(m)} il existe un opérateur Q ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} tel que

t^{p^{m}}Q − Qt^{p^{m}} ≡ U modπD̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}

et ord(Q) ≤ ord(U) + p^{m}.

4) Dans cette étape, nous construisons par récurrence sur l ≥ 0, des opérateurs P_{l} ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} vérifiant pour n’importe quel l ≥ 0 les conditions suivantes :

(i) P_{0} = 1 et pour l ≥ 1 on a P_{l} ≡ P_{l−1} modπ^{l}D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} ,

(ii) P_{l} est β-borné,

(iii) t^{p^{m}}P_{l} ≡ P_{l}(t^{p^{m}}− πR) modπ^{l+1} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}.

Remarquons que d’après l’étape 2), les éléments de la congruence de la propriété (iii) appartiennent bien à D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}. On a forcément P_{0} = 1. Soit l ∈ ℕ et supposons construit P_{0},...,P_{l} vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii). Posons U := −[t^{p^{m}}P_{l} − P_{l}(t^{p^{m}} − πR)]_{l+1} ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}} B^{(m)}. D’après la propriété (iii) satisfaite par P_{l}, on a t^{p^{m}}P_{l} − P_{l}(t^{p^{m}}− πR) ≡ 0 modπ^{l+1} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}. On en déduit la congruence :

− π^{l+1} U ≡ t^{p^{m}}P_{l} − P_{l}(t^{p^{m}}− πR) modπ^{l+2} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}.  (A.7.1)

D’après l’étape 2), comme P_{l} est β-borné on vérifie que σ_{l+1} (πP_{l}R) = πσ_{l}(P_{l}R) est la somme d’éléments de la forme π^{1+l_{1}+l_{2}} \underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{1}]}\underline{∂}_{(r)}^{[\underline{i}_{2}]}a avec a ∈ B^{(m)}, |\underline{i}_{1}| + |\underline{i}_{2}| ≤ α + β(l_{1} + l_{2} + 1) et 1 + l_{1} + l_{2} ≤ l + 1. Il en résulte ord(U) ≤ β(l + 1) + α. D’après la partie 3) de la preuve, il existe alors Q ∈ D_{𝔛/𝒯} ⊗_{O_{𝔛}} B^{(m)} tel que t^{p^{m}}Q − Qt^{p^{m}} ≡ U modπD̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} et ord(Q) ≤ ord(U) + p^{m}. On en déduit ord(Q) ≤ β(l + 1) + α + p^{m}= β(l + 2) (on rappelle que β:= α + p^{m}). Ainsi π^{l+1} Q est β-borné.

D’après l’étape 2), QR ∈ D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}. En utilisant A.7.1, on obtient les congruences

t^{p^{m}}(P_{l} + π^{l+1} Q) − (P_{l} + π^{l+1} Q)(t^{p^{m}}− πR)
= t^{p^{m}}P_{l} − P_{l}(t^{p^{m}}− πR) + π^{l+1} (t^{p^{m}}Q − Qt^{p^{m}}) + π^{l+2} QR
≡ − π^{l+1} U + π^{l+1} (t^{p^{m}}Q − Qt^{p^{m}}) modπ^{l+2} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}
≡ 0 modπ^{l+2} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}.

Ainsi P_{l+1} := P_{l} + π^{l+1} Q est β-borné et satisfait t^{p^{m}}P_{l+1} ≡ P_{l+1} (t^{p^{m}} − πR) modπ^{l+2} D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}.

5) Finalement, d’après l’étape 4), on obtient l’élément P := lim_{l→∞} P_{l} de D̂_{𝔛/𝒯} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)} qui est β-borné et vérifie t^{p^{m}}P = P(t^{p^{m}} − πR). D’après l’étape 0),

comme P est β-borné, il existe alors m′≥ m tel que P ∈ D̂_{𝔛/𝒯}^{(m′)} ˆ⊗_{O_{𝔛}}B^{(m)}⊂ D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}. Cet opérateur P satisfait aux conditions requises.

Revenons à présent à la preuve de A.6. Soit ℰ^{∘} un 𝒟̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} -module cohérent sans π-

torsion tel que ℰ^{∘}_{ℚ} −→^{∼} ℰ. Choisissons des générateurs e_{1},...,e_{s} de ℰ^{∘}. Posons \underline{e} :=

( e_{1} ; ⋮ ; e_{s} ) . Puisque ℰ^{∘}/πℰ^{∘} est un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent et à support dans Z (i.e.

(ℰ^{∘}/πℰ^{∘})|Y = 0), alors t^{p^{m}}e_{i} ≡ 0 modπℰ^{∘} (augmenter m si nécessaire). Il existe donc une matrice R ∈ M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m)} ) telle que t^{p^{m}}\underline{e}= πR\underline{e}. Soit m′et P ∈ M_{s}(D̃_{𝔛/𝒯}^{(m′)}) vérifiant les

conditions du Lemma A.7. Posons E^{(m′)}:= D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)} ⊗D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m)} E. On note 1⊗e_{1},...,1⊗

e_{s} les éléments de E^{(m′)} correspondant à e_{1},...,e_{s}. Posons alors \underline{e}′:= P(1 ⊗ \underline{e}). On calcule t^{p^{m}}\underline{e}′= t^{p^{m}}P(1 ⊗ \underline{e}) = P(t^{p^{m}}I_{s}− πR)(1 ⊗ \underline{e}) = P(1 ⊗ (t^{p^{m}}\underline{e}− πR\underline{e})) = 0. Notons ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}) l’ensemble des éléments de E^{(m′)} qui sont annulés par t. Notons K^{(m′)} le sous-D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-module de E^{(m′)} engendré par ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}). Vérifions à présent

par récurrence sur i ≥ 1 que pour tout x ∈ E^{(m′)}si t^{i}x = 0 alors x ∈ K^{(m′)}. Lorsque i = 1, c’est immédiat. Supposons i ≥ 2 et la propriété vraie pour i − 1. Soit x ∈ E^{(m′)} tel que t^{i}x = 0. A partir de la formule ∂t^{i−1} = t^{i−1} ∂+(i−1)t^{i−2} , on obtient par multiplication à droite par t la formule ∂t^{i} = t^{i−1} ∂t +(i−1)t^{i−1} = t^{i−1} (∂t +(i−1)). Puisque ∂t^{i}·x = 0, par hypothèse de récurrence, on obtient (∂t + (i − 1)) · x ∈ K^{(m′)} (resp. t · x ∈ K^{(m′)} et donc ∂t · x ∈ K^{(m′)}). D’où par soustraction (i − 1)x ∈ K^{(m′)} et donc x ∈ K^{(m′)}, ce qui conclut la récurrence. Comme E^{(m′)} est engendré comme D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-module par des

éléments annulés par t^{p^{m}}, on en conclut que K^{(m′)}= E^{(m′)}, i.e. que E^{(m′)} est engendré comme D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-module par des éléments annulés par t.

Comme pour [Car16, 2.3.2], on dispose du morphisme canonique de D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-modules

adj: u_{+}^{(m′)}∘ ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}) → E^{(m′)}  (A.7.2)

donné par ∑_{k∈ℕ}[∂^{<k>} ] ⊗ x_{k} ↦ ∑_{k∈ℕ} ∂^{<k>} · x_{k}, avec x_{k} ∈ ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}) tel que lim_{|k|→∞} x_{k} = 0 (où [∂^{<k>} ] désigne la classe de ∂^{<k>} dans le bimodule D̃_{𝔛←𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} ).

Puisque E^{(m′)} est engendré comme D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-module par un nombre fini d’éléments

de ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}), on en déduit un morphisme surjectif qui se décompose de la forme u_{+}^{(m′)}(L) → u_{+}^{(m′)}∘ ℋ^{0}u^{!}(E^{(m′)}) → E^{(m′)}, où L est un D̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} -module libre de rang

fini. Notons N le noyau de la surjection u_{+}^{(m′)}(L) → E^{(m′)}. Comme N est aussi à support dans 𝒵, en réitérant le procédé ci-dessus, quitte à augmenter m′ si nécessaire, N est engendré comme D̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m′)}-module par un nombre fini d’éléments de ℋ^{0}u^{!}(N).

En particulier, le morphisme canonique u_{+}^{(m′)}ℋ^{0}u^{!}(N) → N est surjective. Puisque ℋ^{0}u^{!}(N) est un sous-module de L, alors ℋ^{0}u^{!}(N) est un D̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} -module cohérent et

la composée u_{+}^{(m′)}ℋ^{0}u^{!}(N) → N → u_{+}^{(m′)}L est injective (parce que u_{+}^{(m′)} est exact sur la catégorie D̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m′)} -modules cohérents). En particulier, u_{+}^{(m′)}ℋ^{0}u^{!}(N) → N est aussi

injective. Puisqu’il est aussi surjectif, la flèche canonique u_{+}^{(m′)}ℋ^{0}u^{!}(N) → N est donc un isomorphisme. Ainsi, par exactitude de u_{+}^{(m′)}, on obtient E^{(m′)} −→^{∼} u_{+}^{(m′)}(L)/N −→^{∼}

u_{+}^{(m′)}(L)/u_{+}^{(m′)}ℋ^{0}u^{!}(N) −→^{∼} u_{+}^{(m′)}(L/ℋ^{0}u^{!}(N)).

Théorème A.8 (Berthelot-Kashiwara). On garde les notations de A.6 et on pose 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{†} := lim_{−→_{m}}𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{(m)} et 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{†} := lim_{−→_{m}}𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m)} . Les foncteurs image inverse extra-

ordinaire u^{!} et et image directe u_{+} induisent des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{†} -modules cohérents à support dans Z et celle des 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{†} - modules cohérents. Ces foncteurs u^{!} et u_{+} sont acycliques sur ces catégories.

Démonstration. On se ramène à la situation géométrique de la preuve de A.6, avec n = r −1. Pour tout 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{†} -module cohérent ℱ à support dans Z, un calcul immédiat

en coordonnées locales donne ℋ^{0}u^{!}u_{+} (ℱ) −→^{∼} ℱ. Grâce au théorème A.6, il en résulte que les foncteurs ℋ^{0}u^{!} et u_{+} induisent des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des 𝒟̃_{𝔛/𝒯,ℚ}^{†} -modules cohérents à support dans Z et celle des 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{†} -modules cohérents. L’acyclité de u_{+} découle d’un calcul facile en coordonnées locales. Il reste à établir l’acyclité de u^{!}. Via la formule [Car09, 1.7.1], pour tout 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m)} -module

cohérent ℱ^{(m)}, en notant ℱ^{(m+1)} := 𝒟̃_{𝒵/𝒯,ℚ}^{(m+1)} ⊗_{𝒟̃ {(m) \atop 𝒵/𝒯,ℚ}} ℱ^{(m)}, on calcule que la flèche

canonique ℋ^{1}u^{(m)!}∘ u_{+}^{(m)}(ℱ^{(m)}) → ℋ^{1}u^{(m+1)!} ∘ u_{+}^{(m+1)}(ℱ^{(m+1)}) est le morphisme nul (grâce à 5.2.3, ℋ^{1}u^{(m)!} = ℋ^{1}u^{(m+1)!} = u^{∗} pour des modules cohérents). On en déduit que ℋ^{1}u^{!} ∘ u_{+} (ℱ) = 0. Comme pour i ∉ {0,1}, on a ℋ^{i}u^{!} ∘ u_{+} (ℱ) = 0, on en déduit l’acyclicité de u^{!}.

B Preuve direct de la cohérence du coefficient constant avec singularités surconvergentes pour les systèmes inductifs

On propose ci-dessous une preuve directe (i.e., sans passer par le théorème 3.5.1 qui permet de se ramener au cas déjà traité par Berthelot dans [Ber96a]) du théorème 3.5.3 ci-dessus, dont l’énoncé est le même que B.2 ci-dessous. La preuve du théorème B.2 reprend les étapes clés du théorème analogue de cohérence de Berthelot de [Ber96a] (on pourra comparer avec [Ber96a]). Il s’agit en quelque sorte d’une adaptation de sa preuve au cas des systèmes inductifs. On termine l’appendice par une vérification à la main du théorème 3.5.3 ci-dessus lorsque le diviseur T est lisse (voir B.3). Nous aurons d’abord besoin du lemme suivant.

Lemme B.1. Soient T′ ⊃ T un diviseur, ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)) et 𝒢^{(•)} ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)) ∩ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)). Si \underrightarrow{lim}(ℰ^{(•)}) est un facteur direct de \underrightarrow{lim}(𝒢^{(•)})

dans D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯},ℚ}^{†} ), alors ℰ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Démonstration. Comme ℰ := \underrightarrow{lim} ℰ^{(•)} est un facteur direct de 𝒢 := \underrightarrow{lim}𝒢^{(•)} dans

D^{b}(𝒟_{𝒫^{♯},ℚ}^{†} ), comme 𝒢 ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), on obtient alors ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}). Comme le foncteur \underrightarrow{lim} est une équivalence de catégories sur les complexes

cohérents et à cohomologie bornée, il existe ℋ^{(•)}, ℱ^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T))

tels que ℰ −→^{∼} \underrightarrow{lim}ℋ^{(•)} et ℋ^{(•)} ⊕ ℱ^{(•)} −→^{∼} 𝒢^{(•)} dans \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T)).

Comme 𝒢^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,qc}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)), on en déduit que le morphisme canonique ℋ^{(•)} ⊕ ℱ^{(•)} → (^{†}T′)(ℋ^{(•)} ⊕ ℱ^{(•)}) = (^{†}T′)(ℋ^{(•)}) ⊕ (^{†}T′)(ℱ^{(•)}) est un isomorphisme. Il en résulte que le morphisme canonique ℋ^{(•)} → (^{†}T′)(ℋ^{(•)}) est un isomorphisme. Or, \underrightarrow{lim}(^{†}T′)(ℋ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T′)\underrightarrow{lim}(ℋ^{(•)}) −→^{∼} (^{†}T′)(ℰ). De

plus, comme ℰ ∈ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T)_{ℚ}) ∩ D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫^{♯}}^{†} (^{†}T′)_{ℚ}), le morphisme canonique (^{†}T′)(ℰ) → ℰ est un isomorphisme (grâce à [Car09, 4.8]). Par pleine fidélité de \underrightarrow{lim}

sur \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫^{♯}}^{(•)}(T′)), on en déduit que (^{†}T′)(ℋ^{(•)}) −→^{∼} ℰ^{(•)}. D’où le résultat.

Théorème B.2. On a ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) ∩ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)).

Démonstration. Il est immédiat que ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)). Vérifions à présent

ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LM}_{ℚ,coh}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}). Étape I. Supposons à présent que T soit un diviseur à croisements normaux. On peut supposer 𝒫 affine et muni de coordonnées locales t_{1},...,t_{d} telles que T = V (\overline{t}_{1}··· \overline{t}_{r}), où \overline{t}_{1},...,\overline{t}_{r} ∈ 𝒪_{P} désignent respectivement la réduction de t_{1},...,t_{r} modulo π𝒪_{𝒫} . On procède alors par récurrence sur r, i.e. le nombre de composante irréductible de T. Notons 𝔛 = V (t_{1}), u: 𝔛 ↪ 𝒫 l’immersion fermée canonique et T′= V (\overline{t}_{2}··· \overline{t}_{r}). Comme d’après le lemme 5.2.1 u^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′))[1] −→^{∼} ℬ̃_{𝔛}^{(•)}(X ∩ T′), comme d’après 3.2.11 (^{†}X)(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′)) −→^{∼} ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(X ∪ T′), avec l’isomorphisme 5.3.8.1, le triangle de localisation de ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′) par rapport à X donne la suite exacte courte :

0 → ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T′) → ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) → u_{+}^{(•)}(ℬ̃_{𝔛}^{(•)}(T′∩ X)) → 0.  (B.2.1)

Comme T′∩ X est un diviseur à croisements normaux de X avec r − 1 composantes irréductibles, comme la cohérence est préservée par le foncteur u_{+}^{(•)}, on conclut alors par hypothèse de récurrence. Étape II. Cas général. Il résulte du théorème de désingularisation de de Jong qu’il existe un morphisme de cadres de la forme α = (f,g,h): (𝒫̃,T̃,X̃,Ỹ) → (𝒫,T,P,Y) tel que X̃ soit lisse, T̃ = f^{−1} (T) et T̃∩ X̃ soit un diviseur à croisements normaux de X̃, f soit un morphisme propre et lisse de 𝒱-schémas formels séparés et lisses, g soit un morphisme propre, surjectif, génériquement fini et étale de k-variétés. Posons

ℰ̃^{(•)} := ℝ\underline{Γ}† ; X̃f^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)). Prouvons que ℰ̃^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝒫̃) ∩ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝒫̃(T̃)).

D’après 2.5.8, comme cela est local en 𝒫̃, on peut supposer qu’il existe une immersion fermée de 𝒱-schémas formels lisses u: 𝔛̃ ↪ 𝒫̃ qui relève X̃ ↪ 𝒫̃. Dans ce cas, avec 5.3.8.1 puis 5.2.1, on obtient les isomorphismes ℰ̃^{(•)} −→^{∼} u_{+}^{(•)} ∘ u^{(•)!} ∘

f^{(•)!}(ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T)) −→^{∼} u_{+}^{(•)}(ℬ̃(•) ; 𝔛̃(T̃∩ 𝔛̃)). D’après l’étape II, on sait ℬ̃(•) ; 𝔛̃(T̃∩ 𝔛̃) ∈

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝔛̃) ∩ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝔛̃(T̃∩ 𝔛̃)). Via la factorisation de u_{+}^{(•)} du carré de droite

de 5.3.5.1, on en déduit ℰ̃^{(•)} ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝒫̃) ∩ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{0}(𝒟̃(•) ; 𝒫̃(T̃)).

Notons ℰ̃ := \underrightarrow{lim}(ℰ̃^{(•)}). Comme f est propre, alors f_{+}^{(•)}(ℰ̃^{(•)}) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) ∩

\underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)). On en déduit f_{+} (ℰ̃) −→^{∼} \underrightarrow{lim}(f_{+}^{(•)}(ℰ̃^{(•)})) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}).

Comme 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} est un facteur direct de f_{+} (ℰ̃), par pleine fidélité du foncteur \underrightarrow{lim}: \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)) → D_{coh}^{b}(𝒟_{𝒫}^{†} (^{†}T)_{ℚ}), il en résulte que ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) est un facteur

direct de f_{+}^{(•)}(ℰ̃^{(•)}) dans la catégorie \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̃_{𝒫}^{(•)}(T)), et donc dans \underrightarrow{LD}_{ℚ}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}) (en effet, le foncteur oubli du diviseur est pleinement fidèle d’après 3.2.6). Il résulte de B.1 que l’on obtient ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) ∈ \underrightarrow{LD}_{ℚ,coh}^{b}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}).

Remarques B.3. Lorsque T lisse, on peut vérifier par un calcul direct le théorème B.2. Enfin, d’après 2.5.8, comme le résultat à vérifier est local, on peut supposer 𝒫 affine et muni de coordonnées locales t_{1},...,t_{d} telles que T = V (\overline{t}_{1}), où \overline{t}_{1} ∈ 𝒪_{P} désigne la réduction de t_{1} modulo π𝒪_{𝒫} . Pour tout entier m ≥ 0, notons ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T) := \frac{1}{p} ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) ⊂ 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} (pour l’injection, voir [Ber96b, 4.3.3]). Comme

ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) est un sous-𝒟̃_{𝒫}^{(m)}-module de 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} (voir [Ber96b, 4.2.4]), il en est de même de ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T). Comme \frac{1}{t_{1}} ∈ ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T), on dispose donc de l’application cano-

nique ϕ: 𝒟̃_{𝒫}^{(m)} → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T) définie par la formule ϕ(P) = P · (\frac{1}{t_{1}}). Notons ℐ l’idéal

à gauche de 𝒟̃_{𝒫}^{(m)} engendré par ∂_{1}t_{1} et ∂_{2},...,∂_{d} et ℱ^{(m)} := (𝒟̃_{𝒫}^{(m)}/ℐ)/(𝒟̃_{𝒫}^{(m)}/ℐ)_{p-tors}. Comme les éléments de ℐ agissent de manière triviale sur \frac{1}{t_{1}}, comme ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T) est

sans p-torsion, le morphisme ϕ se factorise en la flèche ℱ^{(m)} → ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T). On remarque que comme ℱ_{ℚ}^{(m)} = 𝒟̃_{𝒫,ℚ}^{(m)} /ℐ_{ℚ} ⊂ ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T)_{ℚ} (voir [Ber90, 3.2.1.(i) et 4.2.2]),

alors ℱ^{(m)}⊂ ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(∗T). On peut donc identifier les éléments de ℱ^{(m)}avec les éléments f de 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} tel qu’il existe P ∈ 𝒟̃_{𝒫}^{(m)} tel que f = P · (\frac{1}{t_{1}}).

Vérifions à présent que ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T) ⊂ ℱ^{(m+1)}. Soit f ∈ ℬ̃_{𝒫}^{(m)}(T). On a f = ∑_{k∈ℕ} a_{k} \frac{p^{k}}{t_{1}^{kp^{m+1}}}

où a_{k} ∈ 𝒪_{𝒫} converge vers 0 pour la topologie p-adique lorsque k tend vers l’infini. Soit P = ∑_{k≥0}(−1)^{kp^{m+1} −1} a_{k}p^{k}∂_{1}^{[kp^{m+1} −1]} ∈ 𝒟_{𝒫}^{†} . On calcule alors dans 𝒪_{𝒫} (^{†}T)_{ℚ} la formule f = P · (\frac{1}{t_{1}}). Il suffit alors de vérifier que l’on a en fait

P ∈ 𝒟̃_{𝒫}^{(m+1)}. Posons kp^{m+1} − 1 = p^{m+1}q_{k} + r_{k} avec 0 ≤ r_{k} < p^{m+1}. On a alors

∂_{1}^{[kp^{m+1} −1]} = \frac{1}{q_{k}!}∂_{1}^{<kp^{m+1} −1>_{(m+1)}} (voir la formule [Ber96b, 2.2.3.2]). Donc P =

∑_{k≥0}(−1)^{kp^{m+1} −1} a_{k} \frac{p^{k}}{q_{k}!}∂_{1}^{<kp^{m+1} −1>_{(m+1)}} . D’après [Ber96b, 2.4.3.1] (cette formule est

utilisée au niveau m + 1), v_{p}(q_{k}!) ≤ \frac{kp^{m+1} −1}{p^{m+1} (p−1)} ≤ \frac{k}{(p−1)} ≤ k. D’où P ∈ 𝒟̃_{𝒫}^{(m+1)}.

On en déduit que ℬ̃_{𝒫}^{(•)}(T) et ℱ^{(•)} sont isomorphes dans \underrightarrow{LM}_{ℚ}(𝒟̂_{𝒫}^{(•)}).

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Daniel Caro

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme Université de Caen Campus 2 14032 Caen Cedex France. daniel.caro@unicaen.fr