\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
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   <\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}}

\renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr
   >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
Schwingungsweite.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Aus dem achten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1860.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
Schwingungsweite.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Aus dem achten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.  1860.]}

\maketitle

Obwohl die Differentialgleichungen, nach welchen sich die Bewegung
der Gase bestimmt, l\"{a}ngst aufgestellt worden sind, so ist
doch ihre Integration fast nur f\"{u}r den Fall ausgef\"{u}hrt
worden, wenn die Druckverschiedenheiten als unendlich kleine
Bruchtheile des ganzen Drucks betrachtet werden k\"{o}nnen, und
man hat sich bis auf die neueste Zeit beng\"{u}gt, nur die ersten
Potenzen dieser Bruchtheile zu ber\"{u}cksichtigen.  Erst ganz
vor Kurzem hat \emph{Helmholtz} auch die Glieder zweiter Ordnung
mit in die Rechnung gezogen und daraus die objective Entstehung
von Combinationst\"{o}nen erkl\"{a}rt.  Es lassen sich indess
f\"{u}r den Fall, dass die anf\"{a}ngliche Bewegung allenthalben
in gleicher Richtung stattfindet und in jeder auf dieser Richtung
senkrechten Ebene Geschwindigkeit und Druck constant sind, die
exacten Differentialgleichungen vollst\"{a}ndig integriren; und
wenn auch zur Erkl\"{a}rung der bis jetzt experimentell
festgestellten Erscheinungen die bisherige Behandlung vollkommen
ausreicht, so k\"{o}nnten doch, bei den grossen Fortschritten,
welche in neuester Zeit durch \emph{Helmholtz} auch in der
experimentallen Behandlung akustischer Fragen gemacht worden
sind, die Resultate dieser genaueren Rechnung in nicht allzu
ferner Zeit vielleicht der experimentellen Forschung einige
Anhaltspunkte gew\"{a}hren; und dies mag, abgesehen von dem
theoretischen Interesse, welches die Behandlung nicht linearer
partieller Differentialgleichungen hat, die Mittheilung derselben
rechtfertigen.

F\"{u}r die Abh\"{a}ngigkeit des Drucks von der Dichtigkeit
w\"{u}rde das \emph{Boyle}'sche Gesetz vorauszusetzen sein,
wenn die durch die Druckver\"{a}nderungen bewirkten
Temperaturverschiedenheiten sich so schnell ausglichen, dass die
Temperatur des Gases als constant betrachtet werden d\"{u}rfte.
Es ist aber wahrscheinlich der W\"{a}rmeaustauch ganz zu
vernachl\"{a}ssigen, und man muss daher f\"{u}r diese
Abh\"{a}ngigkeit das Gesetz zu Grunde legen, nach welchem sich
der Druck des Gases mit der Dichtigkeit \"{a}ndert, wenn es keine
W\"{a}rme aufnimmt oder abgiebt.

Nach dem \emph{Boyle}'schen und \emph{Gay-Lussac}'schen
Gesetze ist, wenn $v$ das Volumen der Gewichtseinheit, $p$ den
Druck und $T$ die Temperatur von $-273^\circ$C an gerechnet
bezeichnet,
\[ \log p + \log v = \log T + \mbox{const.} \]

Betrachten wir hier $T$ als Function von $p$ und $v$ und nennen
die specifische W\"{a}rme bei constantem Drucke~$c$, bei
constantem Volumen~$c'$, beide auf die Gewichtseinheit bezogen,
so wird von dieser Gewichtseinheit, wenn $p$ und $v$ sich um $dp$
und $dv$ \"{a}ndern, die W\"{a}rmemenge
\[ c \frac{\partial T}{\partial v} \, dv
      + c' \frac{\partial T}{\partial p} \, dp \]
oder, da
$\displaystyle \frac{\partial \log T}{\partial \log v}
   = \frac{\partial \log T}{\partial \log p} = 1$,
\[ T (c \, d \log v + c' \, d \log p) \]
aufgenommen.  Wenn daher keine W\"{a}rmeaufnahme stattfindet, so
ist
\[ d \log p = - \frac{c}{c'} \, d \log v,\]
und also, wenn man mit \emph{Poisson} annimmt, dass das
Verh\"{a}ltniss der beiden specifischen W\"{a}rmen
$\displaystyle \frac{c}{c'} = k$
von Temperatur und Druck unabh\"{a}ngig ist,
\[ \log p = - k \log v + \mbox{const.} \]

Nach neueren Versuchen von \emph{Regnault}, \emph{Joule} und
\emph{W.~Thomson} sind diese S\"{a}tze f\"{u}r Sauerstoff,
Stickstoff und Wasserstoff und deren Gemenge unter allen
darstellbaren Drucken und Temperaturen wahrscheinlich sehr
n\"{a}he g\"{u}ltig.

Durch \emph{Regnault} ist f\"{u}r diese Gase eine sehr nahe
Anschmiegung an das \emph{Boyle}'sche und
\emph{Gay-Lussac}'sche Gesetz und die Unabh\"{a}ngigkeit der
specifischen W\"{a}rme $c$ von Temperatur und Druck festgestellt
worden.

F\"{u}r atmosph\"{a}rische Luft fand \emph{Regnault}
\begin{quote}
\begin{tabular}{crcrl}
zwischen&$-30^\circ$C&und&$+10^\circ$C&$c = 0,2377$\\
,,&$+10^\circ$C&,,&$+100^\circ$C&$c = 0,2379$\\
,,&$+100^\circ$C&,,&$+215^\circ$C&$c = 0,2376$.
\end{tabular}
\end{quote}
Ebenso ergab sich f\"{u}r Drucke von $1$ bis $10$ Atmosph\"{a}ren
kein merklicher Unterschied der specifischen W\"{a}rme.

Nach Versuchen von \emph{Regnault} und \emph{Joule} scheint
ferner f\"{u}r die Gase die von \emph{Clausius} adoptirte
Annahme \emph{Mayer}'s sehr nahe richtig zu sein, dass ein bei
constanter Temperatur sich ausdehnendes Gas nur so viel W\"{a}rme
aufnimmt, als zur Erzeugung des \"{a}usseren Arbeit erforderlich
ist.  Wenn das Volumen des Gases sich um $dv$ \"{a}ndert,
w\"{a}hrend die Temperatur constant bleibt, so ist
$d \log p = - d \log v$,
die aufgenommene W\"{a}rmemenge
$T (c - c')\, d \log v$,
die geleistete Arbeit $p \, dv$.  Diese Hypothese giebt daher,
wenn $A$ das mechanische Aequivalent der W\"{a}rme bezeichnet,
\[ AT (c - c') \, d \log v = p \, dv \]
oder
\[ c - c' = \frac{pv}{AT},\]
also von Druck und Temperatur unabh\"{a}ngig.

Hiernach ist auch
$\displaystyle k = \frac{c}{c'}$
von Druck und Temperatur unabh\"{a}ngig und ergiebt sich, wenn
$c = 0,237733$, $A$ nach \emph{Joule}
$= 424,55$ Kilogr.\ met.\ und, f\"{u}r die Temperatur $0^\circ C$
oder
$\displaystyle T= \frac{100^\circ\mathrm{C}}{0,3665}$,
$pv$ nach \emph{Regnault} $= 7990^{\mathrm{m}},267$ angenommen
wird, gleich 1,4101.  Die Schallgeschwindigkeit in trockner Luft
von $0^\circ$C betr\"{a}gt in der Secunde
\[ \sqrt{ 7990^{\mathrm{m}},267 \mathbin{.} 9^{\mathrm{m}},8088 k},\]
und w\"{u}rde also mit diesem Werthe von $k$ gleich
$332^{\mathrm{m}},440$ gefunden werden, w\"{a}hrend die beiden
vollst\"{a}ndigsten Versuchsreihen von \emph{Moll} und
\emph{van Beek} daf\"{u}r, einzeln berechnet,
$332^{\mathrm{m}},528$ und $331^{\mathrm{m}},867$, vereinigt
$332^{\mathrm{m}},271$ geben und die Versuche von
\emph{Martins} und \emph{A.~Bravais} nach ihrer eignen
Berechnung $332^{\textrm{m}},37$.

\medbreak

\centerline{1.}

\nobreak\medskip

F\"{u}r's erste ist es nicht n\"{o}thig, \"{u}ber die
Abh\"{a}ngigkeit des Drucks von der Dichtigkeit eine bestimmte
Voraussetzung zu machen; wir nehmen daher an, dass bei der
Dichtigkeit $\varrho$ der Druck $\varphi(\varrho)$ sei, und
lassen die Function $\varphi$ vorl\"{a}ufig noch unbestimmt.

Man denke sich nun rechtwinklige Coordinaten $x$,~$y$,~$z$
eingef\"{u}hrt, die $x$-Axe in der Richtung der Bewegung, und
bezeichne durch $\varrho$ die Dichtigkeit, durch $p$ den Druck,
durch $u$ die Geschwindigkeit f\"{u}r die Coordinate~$x$ zur
Zeit~$t$ und durch $\omega$ ein Element der Ebene, deren
Coordinate $x$ ist.

Der Inhalt des auf dem Element $\omega$ stehenden geraden
Cylinders von der H\"{o}he $dx$ ist dann $\omega \, dx$, die in
ihm enthaltene Masse $\omega \varrho \, dx$.  Die Aenderung
dieser Masse w\"{a}hrend des Zeitelements $dt$ oder die
Gr\"{o}sse
$\displaystyle \omega \frac{\partial \varrho}{\partial t} \, dt \, dx$
bestimmt sich durch die in ihn einstr\"{o}mende Masse, welche
$\displaystyle = - \omega \frac{\partial \varrho u}{\partial x}
   \, dx \, dt$
gefunden wird.  Ihre Beschleunigung ist
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}
      + u \frac{\partial u}{\partial x}$
und die Kraft, welche sie in der Richtung der positiven $x$-Axe
forttreibt,
$\displaystyle = - \frac{\partial p}{\partial x} \omega \, dx
   = - \varphi'(\varrho) \frac{\partial \varrho}{\partial x}
      \omega \, dx$,
wenn $\varphi'(\varrho)$ die Derivirte von $\varphi(\varrho)$
bezeichnet.  Man hat daher f\"{u}r $\varrho$ und $u$ die beiden
Differentialgleichungen
\[ \frac{\partial \varrho}{\partial t}
   = - \frac{\partial \varrho u}{\partial x} \]
und
\[ \varrho
      \left(
         \frac{\partial u}{\partial t}
       + u \frac{\partial u}{\partial x}
      \right)
   = - \varphi'(\varrho) \frac{\partial \varrho}{\partial x} \]
oder
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x}
   = - \varphi'(\varrho) \frac{\partial \log \varrho}{\partial x} \]
und
\[ \frac{\partial \log \varrho}{\partial t}
      + u \frac{\partial \log \varrho}{\partial x}
   = - \frac{\partial u}{\partial x}.\]
Wenn man die zweite Gleichung, mit
$\pm \sqrt{\varphi'(\varrho)}$
multiplicirt, zur ersteren addirt und zur Abk\"{u}rzung
\begin{equation}
\label{eqn-1.1}
\int \sqrt{ \varphi'(\varrho)} \, d \log \varrho = f(\rho)
\end{equation}
und
\begin{equation}
\label{eqn-1.2}
f(\varrho) + u = 2r,\quad f(\varrho) - u = 2s
\end{equation}
setzt, so erhalten diese Gleichungen die einfachere Gestalt
\begin{equation}
\label{eqn-1.3}
\frac{\partial r}{\partial t}
   = - (u + \surd \varphi'(\varrho)) \frac{\partial r}{\partial x},\quad
\frac{\partial s}{\partial t}
   = - (u - \surd \varphi'(\varrho)) \frac{\partial s}{\partial x},
\end{equation}
worin $u$ und $\varrho$ durch die Gleichungen (\ref{eqn-1.2})
bestimmte Functionen von $r$ und $s$ sind.  Aus ihnen folgt
\begin{equation}
\label{eqn-1.4}
dr= \frac{\partial r}{\partial x}
      (dx - (u + \surd \varphi'(\varrho)) \, dt)
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-1.5}
ds= \frac{\partial s}{\partial x}
      (dx - (u - \surd \varphi'(\varrho)) \, dt).
\end{equation}

Unter der in der Wirklichkeit immer zutreffenden Vorasusetzung,
dass $\varphi'(\varrho)$ positiv ist, besagen diese Gleichungen,
dass $r$ constant bleibt, wenn $x$ sich mit $t$ so \"{a}ndert,
dass $dx = (u + \surd \varphi'(\varrho)) \, dt$, und $s$ constant
bleibt, wenn $x$ sich mit $t$ so \"{a}ndert, dass
$dx = (u - \surd \varphi'(\varrho)) \, dt$ ist.

Ein bestimmter Werth von $r$ oder von $f(\varrho) + u$ r\"{u}ckt
daher zu gr\"{o}sseren Werthen von $x$ mit der Geschwindigkeit
$\sqrt{\varphi'(\varrho)} + u$ fort, ein bestimmter Werth von $s$
oder von $f(\varrho) - u$ zu kleineren Werthen von $x$ mit der
Geschwindigkeit $\sqrt{\varphi'(\varrho)} - u$.

Ein bestimmter Werth von $r$ wird also nach und nach mit jedem
vor ihm stattfindenden Werthe von $s$ zusammentreffen, und die
Geschwindigkeit seines Fortr\"{u}ckens wird in jedem Augenblicke
von dem Werthe von $s$ abh\"{a}ngen, mit welchem er
zusammentrifft.

\medbreak

\centerline{2.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Die Analysis bietet nun zun\"{a}chst die Mittel, die Frage zu
beantworten, wo und wann ein Werth $r'$ von $r$ einem vor ihm
befindlichen Werthe $s'$ von $s$ begegnet, d.~h.\ $x$ und $t$ als
Functionen von $r$ und $s$ zu bestimmen.  In der That, wenn man
in den Gleichungen (\ref{eqn-1.3}) des vor.\ Art.\ $r$ und $s$
als unabh\"{a}ngige Variable einf\"{u}hrt, so gehen diese
Gleichungen in lineare Differentialgleichungen f\"{u}r $x$ und
$t$ \"{u}ber und lassen sich also nach bekannten Methoden
integriren.  Um die Zur\"{u}ckf\"{u}hrung der
Differentialgleichungen auf eine lineare zu bewirken, ist es am
zweckm\"{a}ssigsten, die Gleichungung (\ref{eqn-1.4}) und
(\ref{eqn-1.5}) des vorigen Art.\ in der Form zu setzen:
\begin{eqnarray}
\label{eqn-2.1}
dr &=& \frac{\partial r}{\partial x} \biggl\{
         d(x - (u + \surd \varphi'(\varrho) ) t ) \\
   & & \qquad + \left[
            dr
            \left(
               \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
               + 1
            \right)
          + ds
            \left(
               \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
               - 1
            \right)
         \right] t \biggr\} \nonumber\\
\label{eqn-2.2}
ds &=& \frac{\partial s}{\partial x} \biggl\{
         d(x - (u - \surd \varphi'(\varrho) ) t ) \\
   & & \qquad - \left[
            ds
            \left(
               \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
               + 1
            \right)
          + dr
            \left(
               \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
               - 1
            \right)
         \right] t \biggr\}. \nonumber
\end{eqnarray}

Man erh\"{a}lt dann, wenn man $s$ und $r$ als unabh\"{a}ngige
Variable betrachtet, f\"{u}r $x$ und $t$ die beiden linearen
Differentialgleichungen:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial (x - (u + \surd \varphi'(\varrho)) t)}{\partial s}
   &=& - t \left( \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
         - 1 \right) \\
\frac{\partial (x - (u - \surd \varphi'(\varrho)) t)}{\partial r}
   &=& \mathbin{\phantom{+}}
       t \left( \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
         - 1 \right).\\
\end{eqnarray*}
In Folge derselben ist
\begin{equation}
\label{eqn-2.3}
      (x - (u + \surd \varphi'(\varrho)) t) \, dr
    - (x - (u - \surd \varphi'(\varrho)) t) \, ds
\end{equation}
ein vollst\"{a}ndiges Differential, dessen Integral, $w$, der
Gleichung
\[ \frac{\partial^2 w}{\partial r \, \partial s}
   = - t \left( \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
         - 1 \right)
   = m \left(
         \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial s}
      \right) \]
gen\"{u}gt, worin
\[ m = \frac{1}{2 \surd \varphi'(\varrho)} \left(
         \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho}
         - 1 \right),\]
also eine Function von $r + s$ ist.  Setzt man
$f(\varrho) = r + s = \sigma$, so wird
\[ \surd \varphi'(\varrho) = \frac{d\sigma}{d \log \varrho},\]
folglich
\[ m = - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{\displaystyle
            d \log \frac{d\varrho}{d\sigma}}{d\sigma}.\]

Bei der \emph{Poisson}'schen Annahme
$\varphi(\varrho) = a a \varrho^k$
wird
\[ f(\varrho)
   = \frac{2a \surd k}{k - 1} \varrho^{\frac{k-1}{2}}
      + \mbox{const.}\]
und, wenn man f\"{u}r die willk\"{u}rliche Constante den Werth
Null w\"{a}hlt,
\[ \sqrt{\varphi'(\varrho)} + u
      = \frac{k + 1}{2} r + \frac{k - 3}{2} s,\quad
   \sqrt{\varphi'(\varrho)} - u
      = \frac{k - 3}{2} r + \frac{k + 1}{2} s,\]
\[ m = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{k-1} \right) \frac{1}{\sigma}
   = \frac{k - 3}{2(k - 1)(r + s)}.\]
Unter Voraussetzung des \emph{Boyle}'schen Gesetzes
$\varphi(\varrho) = a a \varrho$ erh\"{a}lt man
\[ f(\varrho) = a \log \varrho,\]
\[ \sqrt{\varphi'(\varrho)} + u
      = r - s + a,\quad
   \sqrt{\varphi'(\varrho)} - u
      = s - r + a,\]
\[ m = - \frac{1}{2a},\]
Werthe, die aus den obigen fliessen, wenn man $f(\varrho)$ um die
Constante
$\displaystyle \frac{2a\surd k}{k - 1}$,
also $r$ und $s$ um
$\displaystyle \frac{a\surd k}{k - 1}$
vermindert und dann $k = 1$ setzt.

Die Einf\"{u}hrung von $r$ und $s$ als unabh\"{a}ngig
ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen ist indess nur m\"{o}glich, wenn
die Determinante dieser Functionen von $x$ und $t$, welche
$\displaystyle = 2 \sqrt{\varphi'(\varrho)}
      \frac{\partial r}{\partial x}
      \frac{\partial s}{\partial x}$,
nicht verschwindet, also nur wenn
$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}$
und
$\displaystyle \frac{\partial s}{\partial x}$
beide von Null verschieden sind.

Wenn
$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} = 0$
ist, ergiebt sich aus (\ref{eqn-2.1}) $dr = 0$ und aus
(\ref{eqn-2.2}) $x - (u - \surd \varphi'(\varrho)) t =$
einer Function von $s$.  Es ist folglich auch dann der
Ausdruck (3) ein vollst\"{a}ndiges Differential, und es wird $w$
eine blosse Function von $s$.

Aus \"{a}hnlichen Gr\"{u}nden werden, wenn
$\displaystyle \frac{\partial s}{\partial x} = 0$
ist, $s$ auch in Bezug auf $t$ constant,
$x - (u + \surd \varphi'(\varrho)) t$ und $w$ Functionen von $r$.

Wenn endlich
$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} = 0$
und
$\displaystyle \frac{\partial s}{\partial x} = 0$
beide $= 0$ sind, so werden in Folge der Differentialgleichungen
$r$, $s$ und $w$ Constanten.

\medbreak

\centerline{3.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Um die Aufgabe zu l\"{o}sen, muss nun zun\"{a}chst $w$ als
Function von $r$ und $s$ so bestimmt werden, dass sie der
Differentialgleichung
\begin{equation}
\label{eqn-3.1}
   \frac{\partial^2 w}{\partial r \, \partial s}
     - m \left(
            \frac{\partial w}{\partial r}
          + \frac{\partial w}{\partial s}
         \right)
   = 0
\end{equation}
und den Anfangsbedingungen gen\"{u}gt, wodurch sie bis auf eine
Constante, die ihr offenbar willk\"{u}rlich hinzugef\"{u}gt
werden kann, bestimmt ist.

Wo und wann ein bestimmter Werth von $r$ mit einem bestimmten
Werthe von $s$ zusammentrifft, ergiebt sich dann aus der
Gleichung
\begin{equation}
\label{eqn-3.2}
      (x - (u + \sqrt{\varphi'(\varrho)}) t) \, dr
    - (x - (u - \sqrt{\varphi'(\varrho)}) t) \, ds
   = dw,
\end{equation}
und hierauf findet man schliesslich $u$ und $\varrho$ als
Functionen von $x$ und $t$ durch Hinzuziehung der Gleichungen
\begin{equation}
\label{eqn-3.3}
f(\varrho) + u = 2r,\quad f(\varrho) - u = 2s.
\end{equation}

In der That folgen, wenn nicht etwa in einer endlichen Strecke
$dr$ oder $ds$ Null und folglich $r$ oder $s$ constant ist, aus
(2) die Gleichungen
\begin{eqnarray}
\label{eqn-3.4}
x - (u + \sqrt{\varphi'(\varrho)}) t
   &=& \frac{\partial w}{\partial r},\\
\label{eqn-3.5}
x - (u - \sqrt{\varphi'(\varrho)}) t
   &=& - \frac{\partial w}{\partial s},
\end{eqnarray}
durch deren Verbindung mit (\ref{eqn-3.3}) man $u$ und $\varrho$
in $x$ und $t$ ausgedr\"{u}ckt erh\"{a}lt.

Wenn aber $r$ anfangs in einer endlichen Strecke denselben Werth
$r'$ hat, so r\"{u}ckt diese Strecke allm\"{a}hlich zu
gr\"{o}sseren Werthen von $x$ fort.  Innerhalb dieses Gebietes,
wo $r = r'$, kann man dann aus der Gleichung (\ref{eqn-3.2}) den
Werth von
$x - (u + \sqrt{\varphi'(\varrho)}) t$
nicht ableiten, da $dr = 0$; und in der That l\"{a}sst die Frage,
wo und wann dieser Werth $r'$ einem bestimmten Werthe von $s$
begegnet, dann keine bestimmte Antwort zu.  Die Gleichung
(\ref{eqn-3.4}) gilt dann nur an den Grenzen dieses Gebietes und
giebt an, zwischen welchen Werthen von $x$ zu einer bestimmten
Zeit der constante Werth $r'$ von $r$ stattfindet, oder auch,
w\"{a}hrend welches Zeitraums $r$ an einer bestimmten Stelle
diesen Werth beh\"{a}lt.  Zwischen diesen Grenzen bestimmen sich
$u$ und $\varrho$ als Functionen von $x$ und $t$ aus dem
Gleichungen (\ref{eqn-3.3}) und (\ref{eqn-3.5}).  Auf
\"{a}hnlichem Wege findet man diese Functionen, wenn $s$ den
Werth $s'$ in einem endlichen Gebiete besitzt, w\"{a}hrend $r$
ver\"{a}nderlich ist, sowie auch wenn $r$ und $s$ beide constant
sind.  In letzterem Falle nehmen sie zwischen gewissen durch
(\ref{eqn-3.4}) und (\ref{eqn-3.5}) bestimmten Grenzen constante
aus (\ref{eqn-3.3}) fliessende Werthe an.

\medbreak

\centerline{4.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Bevor wir die Integration der Gleichung (\ref{eqn-3.1}) des
vor.\ Art.\ in Angriff nehmen, scheint es zweckm\"{a}ssig, einige
Er\"{o}rterungen vorauszuschicken, welche die Ausf\"{u}hrung
dieser Integration nicht voraussetzen.  Ueber die Function
$\varphi(\varrho)$ ist dabei nur die Annahme n\"{o}thig, dass
ihre Derivirte bei wachsendem $\varrho$ nicht abnimmt, was in der
Wirklichkeit gewiss immer der Fall ist; und wir bemerken gleich
hier, was in folgenden Art.\ mehrfach angewandt werden wird, dass
dann
\[ \frac{\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)}{\varrho_1 - \varrho_2}
   = \int\limits_0^1 \varphi'(\alpha \varrho_1 + (1 - \alpha) \varrho_2)
         \, d\alpha,\]
wenn nur eine der Gr\"{o}ssen $\varrho_1$ und $\varrho_2$ sich
\"{a}ndert, entweder constant bleibt oder mit dieser Gr\"{o}sse
zugleich w\"{a}chst und abnimmt, woraus zugleich folgt, dass der
Werth dieses Ausdrucks stets zwischen $\varphi'(\varrho_1)$ und
$\varphi'(\varrho_2)$ liegt.

Wir betrachten zun\"{a}chst den Fall, wo die anf\"{a}ngliche
Gleichgewichtsst\"{o}rung auf ein endliches durch die
Ungleichheiten $a < x < b$ begrenztes Gebiet beschr\"{a}nkt ist,
so dass ausserhalb desselben $u$ und $\varrho$ und folglich auch
$r$ und $s$ constant sind; die Werthe dieser Gr\"{o}ssen f\"{u}r
$x < a$ m\"{o}gen durch Anh\"{a}ngung des Index~$1$, f\"{u}r
$x > b$ durch den Index~$2$ bezeichnet werden.  Das Gebiet, in
welchem $r$ ver\"{a}nderlich ist, bewegt sich nach Art.~1
allm\"{a}hlich vorw\"{a}rts und zwar seine hintere Grenze mit der
Geschwindigkeit $\sqrt{\varphi'(\varrho_1)} + u_1$, w\"{a}hrend
die vordere Grenze des Gebiets, in welchem $s$ ver\"{a}nderlich
ist, mit der Geschwindigkeit $\sqrt{\varphi'(\varrho_2)} - u_2$
r\"{u}ckw\"{a}rts geht.  Nach Verlauf der Zeit
\[ \frac{b - a}{\sqrt{\varphi'(\varrho_1)}
      + \sqrt{\varphi'(\varrho_2)} + u_1 - u_2} \]
fallen daher beide Gebiete auseinander, und zwischen ihnen bildet
sich ein Raum, in welchem $s = s_2$ und $r = r_1$ ist und
folglich die Gastheilchen wieder im Gleichgewicht sind.  Von der
anfangs ersch\"{u}tterten Stelle gehen also zwei nach
entgegengesetzten Richtungen fortschreitende Wellen aus.  In der
vorw\"{a}rtsgehenden ist $s = s_2$; es ist daher mit einem
bestimmten Werthe $\varrho$ der Dichtigkeit stets die
Geschwindigkeit $u = f(\varrho) - 2s_2$ verbunden, und beide
Werthe r\"{u}cken mit der constanten Geschwindigkeit
\[ \sqrt{\varphi'(\varrho)} + u
   = \sqrt{\varphi'(\varrho)} + f(\varrho) - 2 s_2 \]
vorw\"{a}rts.  In der r\"{u}ckw\"{a}rtslaufenden ist dagegen mit
der Dichtigkeit $\varrho$ die Geschwindigkeit
$-f(\varrho) + 2 r_1$ verbunden, und diese beiden Werthe bewegen
sich mit der Geschwindigkeit
$\sqrt{\varphi'(\varrho)} + f(\varrho) - 2 r_1$
r\"{u}ckwarts.  Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist f\"{u}r
gr\"{o}ssere Dichtigkeiten eine gr\"{o}ssere, da sowohl
$\sqrt{\varphi'(\varrho)}$, als $f(\varrho)$ mit $\varrho$
zugleich w\"{a}chst.

Denkt man sich $\varrho$ als Ordinate einer Curve f\"{u}r die
Abscisse~$x$, so bewegt sich jeder Punkt dieser Curve parallel
der Abscissenaxe mit constanter Geschwindigkeit fort und zwar mit
desto gr\"{o}sserer, je gr\"{o}sser seine Ordinate ist.  Man
bemerkt leicht, dass bei diesem Gesetze Punkte mit gr\"{o}sseren
Ordinaten schliesslich voraufgehende Punkte mit kleineren
Ordinaten \"{u}berholen w\"{u}rden, so dass zu einem Werthe von
$x$ mehr als ein Werth von $\varrho$ geh\"{o}ren w\"{u}rde.  Da
nun dieses in Wirklichkeit nicht stattfinden kann, so muss ein
Umstand eintreten, wodurch dieses Gesetz ung\"{u}ltig wird.  In
der That liegt nun der Herleitung der Differentialgleichungen die
Voraussetzung zu Grunde, dass $u$ und $\varrho$ stetige
Functionen von $x$ sind und endliche Derivirten haben; diese
Voraussetzung h\"{o}rt aber auf erf\"{u}llt zu sein, sobald in
irgend einem Punkte die Dichtigkeitscurve senkrecht zur
Abscissenaxe wird, und von diesem Augenblicke an tritt in dieser
Curve eine Discontinuit\"{a}t ein, so dass ein gr\"{o}sserer
Werth von $\varrho$ einem kleineren unmittelbar nachfolgt; ein
Fall, der im n\"{a}chsten Art.\ er\"{o}rtert werden wird.

Die Verdichtungswellen, d.~h.\ die Theile der Welle, in welchen
die Dichtigkeit in der Fortpflanzungsrichtung abnimmt, werden
demnach bei ihrem Fortschreiten immer schm\"{a}ler und gehen
schliesslich in Verdichtungsst\"{o}sse \"{u}ber; die Breite der
Verd\"{u}nnungswellen aber w\"{a}chst best\"{a}ndig der Zeit
proportional.

Es l\"{a}sst sich, wenigstens unter Voraussetzung des
\emph{Poisson}'schen (oder \emph{Boyle}'schen) Gesetzes,
leicht zeigen, dass auch dann, wenn die anf\"{a}ngliche
Gleichgewichtsst\"{o}rung nicht auf ein endliches Gebiet
beschr\"{a}nkt ist, sich stets, von ganz besonderen F\"{a}llen
abgesehen, im Laufe der Bewegung Verdichtungsst\"{o}sse bilden
m\"{u}ssen.  Die Geschwindigkeit, mit welcher ein Werth von $r$
vorw\"{a}rts r\"{u}ckt, ist bei dieser Annahme
\[ \frac{k + 1}{2} r + \frac{k - 3}{2} s;\]
gr\"{o}ssere Werthe werden sich also durchschnittlich mit
gr\"{o}sserer Geschwindigkeit bewegen, und ein gr\"{o}sserer
Werth $r'$ wird einen voraufgehenden kleineren Werth $r''$
schliesslich einholen m\"{u}ssen, wenn nicht der mit $r''$
zusammentreffende Werth von $s$ durchschnittlich um
\[ (r' - r'') \frac{1 + k}{3 - k} \]
kleiner ist, als der gleichzeitig mit $r'$ zusammentreffende.  In
diesem Falle w\"{u}rde $s$ f\"{u}r ein positiv unendliches $x$
negativ unendlich werden, und also f\"{u}r $x = +\infty$ die
Geschwindigkeit $u = +\infty$ (oder auch statt dessen
\emph{Boyle}'schen Gesetz die Dichtigkeit unendlich klein)
werden.  Von speciellen F\"{a}llen abgesehen, wird also immer der
Fall eintreten m\"{u}ssen, dass ein um eine endliche Gr\"{o}sse
gr\"{o}sserer Werth von $r$ einem kleineren unmittelbar
nachfolgt; es werden folglich, durch ein Unendlichwerden von
$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}$,
die Differentialgleichungen ihre G\"{u}ltigkeit verlieren und
vorw\"{a}rtslaufende Verdichtungsst\"{o}sse entstehen m\"{u}ssen.
Ebenso werden fast immer, indem
$\displaystyle \frac{\partial s}{\partial x}$
unendlich wird, r\"{u}ckw\"{a}rtslaufende Verdichtungsst\"{o}sse
sich bilden.

Zur Bestimmung des Zeiten und Orte, f\"{u}r welche
$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}$,
oder
$\displaystyle \frac{\partial s}{\partial x}$
unendlich wird und pl\"{o}tzliche Verdichtungen ihren Anfang
nehmen, erh\"{a}lt man aus den Gleichungen (\ref{eqn-2.1}) und
(\ref{eqn-2.2}) des Art.~2, wenn man darin die Function~$w$
einf\"{u}hrt,
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial r}{\partial x}
      \left(
         \frac{\partial^2 w}{\partial r^2}
       + \left( \frac{d \log \sqrt{\varphi'(\varrho)}}{d \log \varrho}
         + 1 \right) t
      \right)
   &=& 1,\\
\frac{\partial s}{\partial x}
      \left(
       - \frac{\partial^2 w}{\partial s^2}
       - \left( \frac{d \log \sqrt{\varphi'(\varrho)}}{d \log \varrho}
         + 1 \right) t
      \right)
   &=& 1.
\end{eqnarray*}

\medbreak

\centerline{5.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wir m\"{u}ssen nun, da sich pl\"{o}tzliche Verdichtungen fast
immer einstellen, auch wenn sich Dichtigkeit und Geschwindigkeit
anfangs allenthalben stetig \"{a}ndern, die Gesetze f\"{u}r das
Fortschreiten von Verdichtungsst\"{o}ssen aufsuchen.

Wir nehmen an, dass zur Zeit~$t$ f\"{u}r $x = \xi$ eine
sprungweise Aenderung von $u$ und $\varrho$ stattfinde, und
bezeichnen die Werthe dieser und der von ihnen abh\"{a}ngigen
Gr\"{o}ssen f\"{u}r $x = \xi - 0$ durch Anh\"{a}ngung des
Index~$1$ und f\"{u}r $x = \xi + 0$ durch die Index~$2$; die
relativen Geschwindigkeiten, mit welchen das Gas sich gegen die
Unstetigkeitsstelle bewegt,
\[ u_1 - \frac{d\xi}{dt},\quad
   u_2 - \frac{d\xi}{dt},\]
m\"{o}gen durch $v_1$ und $v_2$ bezeichnet werden.  Die Masse,
welche durch ein Element~$\omega$ der Ebene, wo $x = \xi$, in
Zeitelement $dt$ in positiver Richtung hindurchgeht, ist dann
$= v_1 \varrho_1 \omega \, dt = v_2 \varrho_2 \omega \, dt$; die
ihr eingedr\"{u}ckte Kraft
$(\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)) \omega \, dt$
und der dadurch bewirkte Zuwachs an Geschwindigkeit $v_2 - v_1$;
man  hat daher
\[ (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)) \omega \, dt
   = (v_2 - v_1) v_1 \varrho_1 \omega \, dt
   \quad\mbox{und}\quad
   v_1 \varrho_1 = v_2 \varrho_2,\]
woraus folgt
\[ v_1 = \mp \sqrt{ \frac{\varrho_2}{\varrho_1}
            \frac{\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)}{
               \varrho_1 - \varrho_2} },\]
also
\begin{equation}
\label{eqn-5.1}
\frac{d\xi}{dt}
   = u_1 \pm \sqrt{ \frac{\varrho_2}{\varrho_1}
            \frac{\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)}{
               \varrho_1 - \varrho_2} }
   = u_2 \pm \sqrt{ \frac{\varrho_1}{\varrho_2}
            \frac{\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)}{
               \varrho_1 - \varrho_2} }.
\end{equation}

F\"{u}r einen Verdichtungsstoss muss $\varrho_2 - \varrho_1$
dasselbe Zeichen, wie $v_1$ und $v_2$, haben, und zwar f\"{u}r
einen vorw\"{a}rtslaufenden das negative, f\"{u}r einen
r\"{u}ckw\"{a}rtslaufenden das positive.  Im ersten Falle gelten
die oberen Zeichen und $\varrho_1$ ist gr\"{o}sser als
$\varrho_2$; es ist daher, bei der zu Anfang des vorigen Artikels
gemachten Annahme \"{u}ber die Function $\varphi(\varrho)$
\begin{equation}
\label{eqn-5.2}
u_1 + \sqrt{\varphi'(\varrho_1)}
   > \frac{d\xi}{dt}
   > u_2 + \sqrt{\varphi'(\varrho_2)},
\end{equation}
und folglich r\"{u}ckt die Unstetigkeitsstelle langsamer fort als
die nachfolgenden und schneller als die voraufgehenden Werthe von
$r$; $r_1$ und $r_2$ sind also in jedem Augenblicke durch die zu
beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle geltenden
Differentialgleichungen bestimmt.  Dasselbe gilt, da die Werthe
von $s$ sich mit der Geschwindigkeit
$\sqrt{\varphi'(\varrho)} - u$ r\"{u}ckw\"{a}rts bewegen, auch
f\"{u}r $s_2$ und folglich f\"{u}r $\varrho_2$ und $u_2$, aber
nicht f\"{u}r $s_1$.  Die Werthe von $s_1$ und
$\displaystyle \frac{d\xi}{dt}$
bestimmen sich aus $r_1$, $\varrho_2$ und $u_2$ eindeutig durch
die Gleichungen (\ref{eqn-5.1}).  In der That gen\"{u}gt der
Gleichung
\begin{equation}
\label{eqn-5.3}
2(r_1 - r_2)
   = f(\varrho_1) - f(\varrho_2)
      + \sqrt{ \frac{(\varrho_1 -\varrho_2)
         (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2))}{\varrho_1 \varrho_2} }
\end{equation}
nur ein Werth von $\varrho_1$; denn die rechte Seite nimmt, wenn
$\varrho_1$ von $\varrho_2$ an in's Unendliche w\"{a}chst, jeden
positiven Werth nur einmal an, da sowohl $f(\varrho_1)$ als auch
die beiden Factoren
\[ \sqrt{ \frac{\varrho_1}{\varrho_2} }
    - \sqrt{ \frac{\varrho_2}{\varrho_1} }
   \quad\mbox{und}\quad
      \sqrt{ \frac{\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2)}{
         \varrho_1 - \varrho_2 } },\]
in welche sich das letzte Glied zerlegen l\"{a}sst, best\"{a}ndig
wachsen oder doch nur der letztere Factor constant bleibt.  Wenn
aber $\varrho_1$ bestimmt ist, erh\"{a}lt man durch die
Gleichungen (\ref{eqn-5.1}) offenber v\"{o}llig bestimmte Werthe
f\"{u}r $u_1$ und
$\displaystyle \frac{d\xi}{dt}$.

Ganz Aehnliches gilt f\"{u}r einen r\"{u}ckw\"{a}rtslaufenden
Verdichtungsstoss.

\medbreak

\centerline{6.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wir haben eben gefunden, dass in einem fortschreitenden
Verdichtungsstosse zwischen den Werthen von $u$ und $\varrho$ zu
beiden Seiten desselben stets die Gleichung
\[ (u_1 - u_2)^2
   = \frac{(\varrho_1 -\varrho_2)
      (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2))}{\varrho_1 \varrho_2} \]
stattfindet.  Es fragt sich nun, was eintritt, wenn zu einer
gegebenen Zeit an einer gegebenen Stelle beliebig Unstetigkeiten
vorhanden sind.  Es k\"{o}nnen dann von dieser Stelle, je nach
den Werthen von $u_1$, $\varrho_1$, $u_2$, $\varrho_2$, entweder
zwei nach entgegengesetzten Seiten laufende
Verdichtungsst\"{o}sse ausgehen, oder ein vorw\"{a}rtslaufender,
oder ein r\"{u}ckw\"{a}rtslaufender, oder endlich kein
Verdichtungsstoss, so dass die Bewegung nach den
Differentialgleichungen erfolgt.

Bezeichnet man die Werthe, welche $u$ und $\varrho$ hinter oder
zwischen den Verdichtungsst\"{o}ssen im ersten Augenblicke ihres
Fortschreitens annehmen, durch Hinzuf\"{u}gung eines Accents, so
ist im ersten Falle $\varrho' > \varrho_1$ und $> \varrho_2$, und
man hat
\begin{equation}
\label{eqn-6.1}
\begin{array}{l}
\displaystyle
u_1 - u'
   = \sqrt{ \frac{(\varrho' - \varrho_1)
      (\varphi(\varrho') - \varphi(\varrho_1))}{\varrho' \varrho_1} },
   \\[12 pt]
\displaystyle
u' - u_2
   = \sqrt{ \frac{(\varrho' - \varrho_2)
      (\varphi(\varrho') - \varphi(\varrho_2))}{\varrho' \varrho_2} };
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eqn-6.2}
u_1 - u_2
   = \sqrt{ \frac{(\varrho' - \varrho_1)
      (\varphi(\varrho') - \varphi(\varrho_1))}{\varrho' \varrho_1} }
   + \sqrt{ \frac{(\varrho' - \varrho_2)
      (\varphi(\varrho') - \varphi(\varrho_2))}{\varrho' \varrho_2} }.
\end{equation}
Es muss also, da beide Glieder der rechten Seite von
(\ref{eqn-6.2}) mit $\varrho'$ zugleich wachsen, $u_1 - u_2$
positiv sein und
\[ (u_1 - u_2)^2
   > \frac{(\varrho_1 -\varrho_2)
      (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2))}{\varrho_1 \varrho_2}; \]
und umgekehrt giebt es, wenn diese Bedungungen erf\"{u}llt sind,
stets ein und nur ein den Gleichungen (\ref{eqn-6.1})
gen\"{u}gendes Werthenpaar von $u'$ und $\varrho'$.

Damit der letzte Fall eintritt und also die Bewegung sich den
Differentialgleichungen gem\"{a}ss bestimmen l\"{a}sst, ist es
nothwending und hinreichend, dass $r_1 \leq r_2$ und $s_1 \geq
s_2$ sei, also $u_1 - u_2$ negativ und
$(u_1 - u_2)^2 \geq (f(\varrho_1) - f(\varrho_2))^2$.
Die Werthe $r_1$ und $r_2$, $s_1$ und $s_2$ treten dann, da der
voraufgehende Werth mit gr\"{o}sserer Geschwindigkeit
fortr\"{u}ckt, im Fortschreiten auseinander, so dass die
Unstetigkeit verschwindet.

Wenn weder die ersteren, noch die letzteren Bedungungen
erf\"{u}llt sind, so gen\"{u}gt den Anfangswerthen \emph{Ein}
Verdichtungsstoss, und zwar ein vorw\"{a}rts oder
r\"{u}ckw\"{a}rts laufender, je nachdem $\varrho_1$ gr\"{o}sser
oder kleiner als $\varrho_2$ ist.

In der That ist dann, wenn $\varrho_1 > \varrho_2$,
\[ 2(r_1 - r_2)
   \quad\mbox{oder}\quad
   f(\varrho_1) - f(\varrho_2) + u_1 - u_2 \]
positiv,---weil
$(u_1 - u_2)^2 < ( f(\varrho_1) - f(\varrho_2) )^2$ ---, und
zugleich
\[ \leq f(\varrho_1) - f(\varrho_2)
      + \sqrt{ \frac{(\varrho_1 -\varrho_2)
         (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2))}{\varrho_1 \varrho_2} } \]
weil
\[ (u_1 - u_2)^2
   \leq \frac{(\varrho_1 -\varrho_2)
      (\varphi(\varrho_1) - \varphi(\varrho_2))}{\varrho_1 \varrho_2}; \]
es l\"{a}sst sich also f\"{u}r die Dichtigkeit $\varrho'$ hinter
dem Verdichtungsstoss ein der Bedingung (\ref{eqn-5.3}) des
vor.\ Art.\ gen\"{u}gender Werth finden und dieser ist
$\leq \varrho_1$.  Folglich wird, da $s' = f(\varrho') - r_1$,
$s_1 = f(\varrho_1) - r_1$, auch $s' \leq s_1$, so dass die
Bewegung hinter dem Verdichtungsstosse nach den
Differentialgleichungen erfolgen kann.

Der andere Fall, wenn $\varrho_1 < \varrho_2$, ist offenbar von
diesem nicht wesentlich verschieden.

\medbreak

\centerline{7.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Um das Bisherige durch ein einfaches Beispiel zu erl\"{a}utern,
wo sich die Bewegung mit den bis jetzt gewonnenen Mitteln
bestimmen l\"{a}sst, wollen wir annehmen, dass Druck und
Dichtigkeit von einander nach dem \emph{Boyle}'schen Gesetz
abh\"{a}ngen und anfangs Dichtigkeit und Geschwindigkeit sich bei
$x = 0$ sprungweise \"{a}ndern, aber zu beiden Seiten dieser
Stelle constant sind.

Es sind dann nach dem Obigen vier F\"{a}lle zu unterscheiden.

I.  Wenn $u_1 - u_2 > 0$, also die beiden Gasmassen sich einander
entgegen bewegen und
\[ \left( \frac{u_1 - u_2}{a} \right)^2
   > \frac{(\varrho_1 - \varrho_2)^2}{\varrho_1 \varrho_2},\]
so bilden sich sich zwei entgegengesetzt laufende
Verdichtungsst\"{o}sse.  Nach Art.~6 (\ref{eqn-6.1}) ist, wenn
$\displaystyle \root 4 \of {\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ durch
$\alpha$ und durch $\theta$ die positive Wurzel der Gleichung
\[ \frac{u_1 - u_2}{\displaystyle
      a \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right)}
   = \theta + \frac{1}{\theta} \]
bezeichnet wird, die Dichtigkeit zwischen den
Verdichtungsst\"{o}ssen
\[ \varrho' = \theta \theta \sqrt{ \varrho_1 \varrho_2 },\]
und nach Art.~5 (\ref{eqn-5.1}) hat man f\"{u}r den
vorw\"{a}rtslaufenden Verdichtungsstoss
\[ \frac{d\xi}{dt} = u_2 + a \alpha \theta
   = u' + \frac{a}{\alpha \theta},\]
f\"{u}r den r\"{u}ckw\"{a}rtslaufenden
\[ \frac{d\xi}{dt} = u_1 - a \frac{\theta}{\alpha}
   = u' - a \frac{\alpha}{\theta};\]
die Werthe der Geschwindigkeit und Dichtigkeit sind also nach
Verlauf der Zeit~$t$, wenn
\[ \left( u_1 - a \frac{\theta}{\alpha} \right) t
   < x < (u_2 + a \alpha \theta ) t,\]
$u'$ und $\varrho'$, f\"{u}r ein kleineres $x$ $u_1$ und
$\varrho_1$ und f\"{u}r ein gr\"{o}sseres $u_2$ und $\varrho_2$.

II.  Wenn $u_1 - u_2 < 0$, folglich die Gasmassen sich aus
einander bewegen, und zugleich
\[ \left( \frac{u_1 - u_2}{a} \right)^2
      \geq \left( \log \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \right)^2,\]
so gehen von der Grenze nach entgegengesetzten Richtungen zwei
allm\"{a}hlich breiter werdende Verd\"{u}nnungswellen aus.  Nach
Art.~4 ist zwischen ihnen $r = r_1$, $s = s_2$, $u = r_1 - s_2$.
In der vorw\"{a}rtslaufenden ist $s = s_2$ und $x - (u + a) t$
eine Function von $r$, deren Werth, aus den Anfangwerthen $t =
0$, $x = 0$, sich $= 0$ findet; f\"{u}r die
r\"{u}ckw\"{a}rtslaufende dagegen hat man $r = r_1$ und
$x - (u - a) t = 0$.  Die eine Gleichung zur Bestimmung von $u$
und $\varrho$ ist also, wenn
\[ (r_1 - s_2 + a) t < x < (u_2 + a) t,\quad
   u = - a + \frac{x}{t},\]
f\"{u}r kleinere Werthe von $x$ $r = r_1$ und f\"{u}r
gr\"{o}ssere $r = r_2$; die andere Gleichung ist, wenn
\[ (u_1 - a)t  < x < (r_1 - s_2 - a)t,\quad
   u = a + \frac{x}{t},\]
f\"{u}r ein kleineres $x$ $s = s_1$ und f\"{u}r ein gr\"{o}sseres
$s = s_2$.

III.  Wenn keiner dieser beiden F\"{a}lle stattfindet und
$\varrho_1 > \varrho_2$, so entsteht eine
r\"{u}ckw\"{a}rtslaufende Verd\"{u}nnungswelle und ein
vorw\"{a}rtsschreitender Verdichtungsstoss.  F\"{u}r letzteren
findet sich aus Art.~5 (\ref{eqn-5.3}), wenn $\theta$ die Wurzel
der Gleichung
\[ \frac{2(r_1 - r_2)}{a}
   = 2 \log \theta + \theta - \frac{1}{\theta} \]
bezeichnet $\varrho' = \theta \theta \varrho_2$ und aus Art.~5
(\ref{eqn-5.1})
\[ \frac{d\xi}{dt} = u_2 + a \theta = u' + \frac{a}{\theta}.\]
Nach Verlauf der Zeit~$t$ ist demnach vor dem Verdichtungsstosse,
also wenn $x > (u_2 + a \theta) t$, $u = u_2$,
$\varrho = \varrho_2$, hinter dem Verdichtungsstosse aber hat man
$r = r_1$ und ausserdem, wenn
\[ (u_1 - a) t < x < (u' - a) t,\quad u = a + \frac{x}{t},\]
f\"{u}r ein kleineres $x$ $u = u_1$ und f\"{u}r ein gr\"{o}sseres
$u = u'$.

IV.  Wenn endlich die beiden ersten F\"{a}lle nicht stattfinden
und $\varrho_1 < \varrho_2$, so ist der Verlauf ganz wie in III.,
nur der Richtung nach entgegengesetzt.

\medbreak

\centerline{8.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Um unsere Aufgabe allgemein zu l\"{o}sen, muss nach Art.~3 die
Function~$w$ so bestimmt werden, dass sie der
Differentialgleichung
\begin{equation}
\label{eqn-8.1}
\frac{\partial^2 w}{\partial r \, \partial s}
   - m \left( \frac{\partial w}{\partial r}
         + \frac{\partial w}{\partial s} \right) = 0
\end{equation}
und den Anfangsbedingungen gen\"{u}gt.

Schliessen wir den Fall aus, dass Unstetigkeiten eintreten, so
sind offenbar nach Art.~1 Ort und Zeit oder die Werthe von $x$
und $t$, f\"{u}r welche ein bestimmter Werth~$r'$ von $r$ mit
einem bestimmten Werthe~$s'$ von $s$ zusammentrifft, v\"{o}llig
bestimmt, wenn die Anfangswerthe von $r$ und $s$ f\"{u}r die
Strecke zwischen den beiden Werthen $r'$ von $r$ und $s'$ von $s$
gegeben sind und \"{u}berall in dem Gr\"{o}ssengebiet $(S)$,
welches f\"{u}r jeden Werth von $t$ die zwischen den beiden
Werthen, wo $r = r'$ und $s = s'$, liegenden Werthe von $x$
umfasst, die Differentialgleichungen (\ref{eqn-1.3}) des Art.~1
erf\"{u}llt sind.  Es ist also auch der Werth von $w$ f\"{u}r $r
= r'$, $s = s'$ v\"{o}llig bestimmt, wenn $w$ \"{u}berall in dem
Gr\"{o}ssengebiet $(S)$ der Differentialgleichung~(\ref{eqn-8.1})
gen\"{u}gt und f\"{u}r die Anfangswerthe von $r$ und $s$ die
Werthe von
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$,
also, bis auf eine additive Constante, auch von $w$ gegeben sind
und diese Constante beliebig gew\"{a}hlt worden ist.  Denn diese
Bedingungen sind mit den obigen gleichbedeutend.  Auch folgt aus
Art.~3 noch, dass
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
zwar zu beiden Seiten eines Werthes $r''$ von $r$, wenn dieser
Werth in einen endlichen Strecke stattfindet, verschiedene Werthe
annimmt, sich aber allenthalben stetig mit $s$ \"{a}ndert; ebenso
\"{a}ndert sich
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
mit $r$, die Function~$w$ selbst aber sowohl mit $r$, als mit
$s$ allenthalben stetig.

Nach diesen Vorbereitungen k\"{o}nnen wir nun an die L\"{o}sung
unserer Aufgabe gehen, an die Bestimmung des Werthes von $w$
f\"{u}r zwei beliebige Werthe, $r'$ und $s'$, von $r$ und $s$.

Zur Veranschaulichung denke man sich $x$ und $t$ als Abscisse und
Ordinate eines Punkts in einer Ebene und in dieser Ebene die
Curven gezogen, wo $r$ und wo $s$ constante Werthe hat.  Von
diesen Curven m\"{o}gen die ersteren durch $(r)$ die letzteren
durch $(s)$ bezeichnet und in ihnen die Richtung, in welcher $t$
w\"{a}chst, als die positive betrachtet werden.  Das
Gr\"{o}ssengebiet $(S)$ wird dann repr\"{a}sentirt durch ein
St\"{u}ck der Ebene, welche begrenzt ist durch die Curve $(r')$,
die Curve $(s')$ und das zwischen beiden liegende St\"{u}ck der
Abscissenaxe, und es handelt sich darum, den Werth von $w$ in dem
Durchschittspunkte der beiden ersteren aus den in letzterer Linie
gegebenen Werthen zu bestimmen.  Wir wollen die Aufgabe noch
etwas verallgemeinern und annehmen, dass die Gr\"{o}ssengebiet
$(S)$, statt durch die letztere Linie, durch eine beliebige
Curve~$c$ begrenzt werde, welche keine der Curven $(r)$ und $(s)$
mehr als einmal schneidet, und dass f\"{u}r die dieser Curve
angeh\"{o}rigen Werthenpaare von $r$ und $s$ die Werthe von
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
gegeben seien.  Wie sich der Aufl\"{o}sung der Aufgabe ergeben
wird, unterliegen auch dann diese Werthe von
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
nur der Bedingung, sich stetig mit dem Ort in der Curve zu
\"{a}ndern, k\"{o}nnen aber \"{u}brigens willk\"{u}rlich
angenommen werden, w\"{a}hrend diese Werthe nicht von einander
unabh\"{a}ngig sein w\"{u}rden, wenn die Curve~$c$ eine der
Curven $(r)$ oder $(s)$ mehr als einmal schnitte.

Um Functionen zu bestimmen, welche linearen partiellen
Differentialgleichungen und linearen Grenzbedingungen gen\"{u}gen
sollen, kann man ein ganz \"{a}hnliches Verfahren anwenden, wie
wenn man zur Aufl\"{o}sung eines Systems von linearen Gleichungen
s\"{a}mmtliche Gleichungen, mit unbestimmten Factoren
multiplicirt, addirt und diese Factoren dann so bestimmt, dass
aus der Summe alle unbekannten Gr\"{o}ssen bis auf eine
herausfallen.

Man denke sich das St\"{u}ck $(S)$ der Ebene durch die Curven
$(r)$ und $(s)$ in unendlich kleine Parallelogramme zerschnitten
und bezeichne durch $\delta r$ und $\delta s$ die Aenderungen,
welche die Gr\"{o}ssen $r$ und $s$ erleiden, wenn die
Curvenelemente, welche die Seiten dieser Parallelogramme bilden,
in positiver Richtung durchlaufen werden; man bezeichne ferner
durch $v$ eine beliebige Function von $r$ und $s$, welche
allenthalben stetig ist und stetige Derivirten hat.  In Folge der
Gleichung~(\ref{eqn-8.1}) hat man dann
\begin{equation}
\label{eqn-8.2}
0 = \int v
      \left(
         \frac{\partial^2 w}{\partial r \, \partial s}
       - m \left( \frac{\partial w}{\partial r}
         + \frac{\partial w}{\partial s} \right)
      \right)
      \, \delta r \, \delta s
\end{equation}
\"{u}ber die ganze Gr\"{o}ssengebiet (S) ausgedehnt.  Es muss nun
die rechte Seite dieser Gleichung nach den Unbekannten geordnet,
d.~h.\ hier, als Integral durch partielle Integration so
umgeformt werden, dass es ausser bekannten Gr\"{o}ssen nur die
gesuchte Function, nicht ihre Derivirten enth\"{a}lt.  Bei
Ausf\"{u}hrung dieser Operation geht das Integral zun\"{a}cht
\"{u}ber in das \"{u}ber (S) ausgedehnte Integral
\[ \int w
      \left(
         \frac{\partial^2 v}{\partial r \, \partial s}
       + \frac{\partial mv}{\partial r}
       + \frac{\partial mv}{\partial s}
      \right)
      \, \delta r \, \delta s \]
und ein einfaches Integral, welches sich, weil sich
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
mit $s$,
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
mit $r$ und $w$ mit beiden Gr\"{o}ssen stetig \"{a}ndert, nur
\"{u}ber die Begrenzung von $(S)$ erstrecken wird.  Bedeuten $dr$
und $ds$ die Aenderungen von $r$ und $s$ in einem
Begrenzungselement, wenn die Begrenzung in der Richtung
durchlaufen wird, welche gegen die Richtung nach Innen ebenso
liegt, wie die positive Richtung in den Curven $(r)$ gegen die
positive Richtung in den Curven $(s)$, so ist dies
Begrenzungsintegral
\[ = - \int
      \left(
         v \left( \frac{\partial w}{\partial s} - m w \right) \, ds
       + w \left( \frac{\partial v}{\partial r} + m v \right) \, dr
      \right).\]

Das Integral durch die ganze Begrenzung von $S$ ist gleich der
Summe der Integrale durch die Curven $c$, $(s')$, $(r')$, welche
diese Begrenzung bilden, also, wenn ihre Durchschnittspunkte
durch $(c, r')$, $(c,s')$, $(r', s')$ bezeichnet werden,
\[ = \int\limits_{c,r'}^{c,s'} + \int\limits_{c,s'}^{r',s'}
         + \int\limits_{s',r'}^{c,r'}.\]
Von diesen drei Bestandtheilen enth\"{a}lt der erste ausser der
Function~$v$ nur bekannte Gr\"{o}ssen, der zweite enth\"{a}lt, da
in ihm $ds = 0$ ist, nur die unbekannte Function~$w$ selbst,
nicht ihre Derivirten; der dritte Bestandtheil aber kann durch
partielle Integration in
\[ (vw)_{r',s'} - (vw)_{c,r'}
      + \int\limits_{s',r'}^{c,r'}
         w \left( \frac{\partial v}{\partial s} + mv \right)
         \, ds \]
verwandelt werden, so dass in ihm ebenfalls nur die gesuchte
Function~$w$ selbst vorkommt.

Nach diesen Umformungen liefert die Gleichung~(\ref{eqn-8.2})
offenbar den Werth der Function~$w$ im Punkte $(r',s')$, durch
bekannte Gr\"{o}ssen ausgedr\"{u}ckt, wenn man die Function~$v$
den folgenden Bedingungen gem\"{a}ss bestimmt:
\begin{equation}
\label{eqn-8.3}
\begin{array}{ll}
\mbox{1)\enspace allenthalben in $S$:}
   &\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial r \, \partial s}
      + \frac{\partial mv}{\partial r}
      + \frac{\partial mv}{\partial s} = 0,\\[12pt]
\mbox{2)\enspace f\"{u}r $r = r'$:}
   &\displaystyle \frac{\partial v}{\partial s} + mv = 0,\\[12pt]
\mbox{3)\enspace f\"{u}r $s = s'$:}
   &\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} + mv = 0,\\[12pt]
\mbox{4)\enspace f\"{u}r $r = r'$, $s = s'$:}
   &v = 1.
\end{array}
\end{equation}
Man hat dann
\begin{equation}
\label{eqn-8.4}
w_{r',s'} = (vw)_{c,r'} + \int\limits_{c,r'}^{c,s'}
      \left(
         v \left( \frac{\partial w}{\partial s} - mw \right) \, ds
       + w \left( \frac{\partial v}{\partial r} + mv \right) \, dr
      \right).
\end{equation}

\medbreak

\centerline{9.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Durch das eben angewandte Verfahren wird die Aufgabe, eine
Function~$w$ einer linearen Differentialgleichung und linearen
Grenzbedingungen gem\"{a}ss zu bestimmen, auf die L\"{o}sung
einer \"{a}hnlichen, aber viel einfacheren Aufgabe f\"{u}r eine
andere Function~$v$ zur\"{u}ckgef\"{u}hrt; die Bestimmung dieser
Function erreicht man meistens am Leichtesten durch Behandlung
eines speciellen Falls jener Aufgabe nach dem
\emph{Fourier}'schen Methode.  Wir m\"{u}ssen uns hier
begn\"{u}gen, diese Rechnung nur anzudeuten und das Resultat auf
anderem Wege zu beweisen.

F\"{u}hrt man in der Gleichung~(\ref{eqn-8.1}) des
vor.\ Art.\ f\"{u}r $r$ und $s$ als unabh\"{a}ngig
ver\"{a}nderliche Gr\"{o}ssen $\sigma = r + s$ und $u = r - s$
ein und w\"{a}hlt man f\"{u}r die Curve~$c$ eine Curve, in
welcher $\sigma$ constant ist, so l\"{a}sst sich die Aufgabe nach
den Regeln \emph{Fourier}'s behandeln, und man erh\"{a}lt durch
Vergleichung des Resultats mit der Gleichung~(\ref{eqn-8.4}) des
vor.\ Art., wenn $r' + s' = \sigma'$, $r' - s' = u'$ gesetzt
wird,
\[ v = \frac{2}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos \mu (u - u')
         \frac{d\varrho}{d\sigma}
         (\psi_1(\sigma') \psi_2(\sigma)
            - \psi_2(\sigma') \psi_1(\sigma)) \, d\mu,\]
worin $\psi_1(\sigma)$ und $\psi_2(\sigma)$ zwei solche
particulare L\"{o}sungen der Differentialgleichung
\[ \psi'' - 2 m \psi' + \mu \mu \psi = 0 \]
bezeichnen, dass
\[ \psi_1 \psi_2' - \psi_2 \psi_1' = \frac{d\sigma}{d\varrho}.\]

Bei Voraussetzung des \emph{Poisson}'schen Gesetzes, nach
welchem
\[ m = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{k - 1} \right) \frac{1}{\sigma},\]
kann man $\psi_1$ und $\psi_2$ durch bestimmte Integrale
ausdr\"{u}cken, so dass man f\"{u}r $v$ ein dreifaches Integral
erh\"{a}lt, durch dessen Reduction sich ergiebt
\[ v =   \left( \frac{r' + s'}{r + s}
            \right)^{\frac{1}{2} - \frac{1}{k-1}}
         F  \left(
               \frac{3}{2} - \frac{1}{k-1},
               \frac{1}{k-1} - \frac{1}{2},1,
               - \frac{(r - r')(s - s')}{(r + s)(r' + s')}
            \right).\]

Man kann nun die Richtigkeit dieses Ausdrucks leicht beweisen,
indem man zeigt, dass er wirklich den Bedingungen~(\ref{eqn-8.3})
des vor.\ Art.\ gen\"{u}gt.

Setzt man
\[ v = e^{-\int\limits_{\sigma'}^\sigma m \, d\sigma} y,\]
so gehen diese f\"{u}r $y$ \"{u}ber in
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial r \, \partial s}
      + \left( \frac{dm}{d\sigma} - m m \right) y = 0 \]
und $y = 1$ sowohl f\"{u}r $r = r'$, als f\"{u}r $s = s'$.  Bei
der \emph{Poisson}'schen Annahme kann man aber diesen
Bedingungen gen\"{u}gen, wenn man annimmt, dass $y$ eine Function
von
\[ z = - \frac{(r - r')(s - s')}{(r + s)(r' + s')} \]
sei.  Denn es wird dann, wenn man
$\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{k-1}$ durch $\lambda$
bezeichnet,
$\displaystyle m = \frac{\lambda}{\sigma}$, also
\[ \frac{dm}{d\sigma} - m m
   = - \frac{\lambda + \lambda^2}{\sigma^2} \]
und
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial s \, \partial r}
   = \frac{1}{\sigma^2} \left(
         \frac{d^2 y}{d \log z^2} \left( 1 - \frac{1}{z} \right)
         + \frac{dy}{d \log z} \right).\]
Es ist folglich
$\displaystyle v = \left( \frac{\sigma'}{\sigma} \right)^\lambda y$
und $y$ eine L\"{o}sung der Differentialgleichung
\[ (1 - z) \frac{d^2 y}{d \log z^2} - z \frac{dy}{d \log z}
      + (\lambda + \lambda^2) z y = 0 \]
oder nach der in meiner Abhandlung \"{u}ber die
\emph{Gauss}'sche Reihe eingef\"{u}hrten Bezeichnung eine
Function
\[ P  \left(
         \begin{array}{ccc}
         0 & -\lambda    & 0 \\
         0 & 1 + \lambda & 0
         \end{array}
         z
      \right) \]
und zwar diejenige particulare L\"{o}sung, welche f\"{u}r $z = 0$
gleich $1$ wird.

Nach den in jener Abhandlung entwickelten
Transformationsprincipien l\"{a}sst sich $y$ nicht bloss durch
die Functionen $P(0, 2\lambda + 1, 0)$, sondern auch durch die
Functionen
$P( \frac{1}{2}, 0, \lambda + \frac{1}{2} )$,
$P( 0, \lambda + \frac{1}{2} , \lambda + \frac{1}{2} )$
ausdr\"{u}cken; man erh\"{a}lt daher f\"{u}r $y$ eine grosse
Menge von Darstellungen durch hypergeometrische Reihen und
bestimmte Integrale, von denen wir hier nur die folgenden
\begin{eqnarray*}
y &=& F( 1 + \lambda, - \lambda, 1, z )
   =  (1 - z)^\lambda
         F \left( - \lambda, - \lambda, 1, \frac{z}{z - 1} \right) \\
  &=& (1 - z)^{- 1 - \lambda}
         F \left( 1 + \lambda, 1 + \lambda, 1, \frac{z}{z - 1} \right)
\end{eqnarray*}
bemerken, mit denen man in allen F\"{a}llen ausreicht.

Um aus diesen f\"{u}r das \emph{Poisson}'sche Gesetz gefundenen
Resultaten die f\"{u}r das \emph{Boyle}'sche geltenden
abzuleiten, muss man nach Art.~2 die Gr\"{o}ssen
$r$, $s$, $r'$, $s'$, um
$\displaystyle\frac{a \surd k}{k - 1}$
vermindern und dann $k = 1$ werden lassen, wodurch man erh\"{a}lt
$\displaystyle m = - \frac{1}{2\alpha}$
und
\[ v = e^{\frac{1}{2\alpha} (r - r' + s - s')}
         \sum_0^\infty \frac{(r - r')^n (s - s')^n}{n! n!  (2a)^{2n}}.\]

\medbreak

\centerline{10.}

\setcounter{equation}{0}

\nobreak\medskip

Wenn man den im vor.\ Art.\ gefundenen Ausdruck f\"{u}r $v$ in
die Gleichung~(\ref{eqn-8.4}) des Art.~8 einsetzt, erh\"{a}lt man
den Werth von $w$ f\"{u}r $r = r'$, $s = s'$ durch die Werthe von
$w$,
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
in der Curve~$c$ ausgedr\"{u}ckt; da aber bei unserm Problem in
dieser Curve immer nur
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}$
unmittelbar gegeben sind und $w$ erst durch eine Quadratur aus
ihnen gefunden werden m\"{u}sste, so ist es zweckm\"{a}ssig, den
Ausdruck f\"{u}r $w_{r',s'}$ so umzuformen, dass unter dem
Integralzeichen nur die Derivirten von $w$ vorkommen.

Man bezeichne die Integrale der Ausdr\"{u}cke
\[ - mv \, ds + \left( \frac{\partial v}{\partial r} + mv \right) \, dr \]
und
\[ \left( \frac{\partial v}{\partial s} + mv \right) \, ds - mv \, dr,\]
welche in Folge der Gleichung
\[ \frac{\partial^2 v}{\partial r \, \partial s}
      + \frac{\partial mv}{\partial r}
      + \frac{\partial mv}{\partial s}
   = 0 \]
vollst\"{a}ndige Differentiale sind, durch $P$ und $\Sigma$ und
das Integral von $P \, dr + \Sigma \, ds$, welcher Ausdruck wegen
\[ \frac{\partial P}{\partial s} = - m v
   = \frac{\partial \Sigma}{\partial r} \]
ebenfalls ein vollst\"{a}ndiges Differential ist, durch $\omega$.

Bestimmt man nun die Integrationsconstanten in diesen Integralen
so, dass $\omega$,
$\displaystyle \frac{\partial \omega}{\partial r}$
und
$\displaystyle \frac{\partial \omega}{\partial s}$
f\"{u}r $r = r'$, $s = s'$ verschwinden, so gen\"{u}gt $\omega$
den Gleichungen
\[ \frac{\partial \omega}{\partial r}
      + \frac{\partial \omega}{\partial s}
      + 1
   = v,\quad
   \frac{\partial^2 \omega}{\partial r \, \partial s} = - m v \]
und sowohl f\"{u}r $r = r'$, als f\"{u}r $s = s'$ der Gleichung
$\omega = 0$ und ist, beil\"{a}ufig bemerkt, durch diese
Grenzbedingung und die Differentialgleichung
\[ \frac{\partial^2 \omega}{\partial r \, \partial s}
     + m \left(
            \frac{\partial \omega}{\partial r}
          + \frac{\partial \omega}{\partial s}
          + 1
         \right)
   = 0 \]
v\"{o}llig bestimmt.

F\"{u}hrt man nun in dem Ausdrucke von $w_{r',s'}$ f\"{u}r $v$
die Function~$\omega$ ein, so kann man ihn durch partielle
Integration in
\begin{equation}
\label{eqn-10.1}
w_{r',s'} = w_{c,r'} + \int\limits_{c,r'}^{c,s'}
      \left(
         \left( \frac{\partial \omega}{\partial s} + 1 \right)
            \frac{\partial w}{\partial s} \, ds
       - \frac{\partial \omega}{\partial r}
            \frac{\partial w}{\partial r} \, dr
      \right)
\end{equation}
umwandeln.

Um die Bewegung des Gases aus dem Anfangszustande zu bestimmen,
muss man f\"{u}r $c$ die Curve, in welcher $t = 0$ ist, nehmen;
in dieser Curve hat man dann
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r} = x$,
$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = - x$,
und man erh\"{a}lt durch abermalige partielle Integration
\[ w_{r',s'} = w_{c,r'} + \int\limits_{c,r'}^{c,s'}
      (\omega \, dx - x \, ds),\]
folglich nach Art.~3, (\ref{eqn-3.4}) und (\ref{eqn-3.5})
\begin{equation}
\label{eqn-10.2}
\begin{array}{ll}
\displaystyle
(x - (\sqrt{\varphi'(\varrho)} + u) t)_{r',s'}
   = x_{r'} + \int\limits_{x_{r'}}^{x_{s'}}
         \frac{\partial \omega}{\partial r'} \, dx \\[12 pt]
\displaystyle
(x + (\sqrt{\varphi'(\varrho)} - u) t)_{r',s'}
   = x_{s'} - \int\limits_{x_{r'}}^{x_{s'}}
         \frac{\partial \omega}{\partial s'} \, dx.
\end{array}
\end{equation}
Diese Gleichungen (\ref{eqn-10.2}) dr\"{u}cken aber die Bewegung
nur aus, so lange
\[ \frac{\partial^2 w}{\partial r^2}
       + \left(
            \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho} + 1
         \right) t \]
und
\[ \frac{\partial^2 w}{\partial s^2}
       + \left(
            \frac{d \log \surd \varphi'(\varrho)}{d \log \varrho} + 1
         \right) t \]
von Null verschieden bleiben.  Sobald eine dieser Gr\"{o}ssen
verschwindet, entsteht ein Verdichtungsstoss, und die
Gleichung~(\ref{eqn-10.1}) gilt dann nur innerhalb solcher
Gr\"{o}ssengebiete, welche ganz auf einer und derselben Seite
dieses Verdichtungsstosses liegen.  Die hier entwickelten
Principien reichen dann, wenigstens im Allgemeinen, nicht aus, um
aus dem Anfangszustande die Bewegung zu bestimmen; wohl aber kann
man mit H\"{u}lfe der Gleichung~(\ref{eqn-10.1}) und der
Gleichungen, welche nach Art.~5 f\"{u}r den Verdichtungsstoss
gelten, die Bewegung bestimmen, wenn der Ort der
Verdichtungsstosses zur Zeit~$t$, also $\xi$ als Function von
$t$, gegeben ist.  Wir wollen indess dies nicht weiter verfolgen
und verzichten auch auf die Behandlung des Falles, wenn die Luft
durch eine feste Wand begrenzt ist, da die Rechnung keine
Schwierigkeiten hat und eine Vergleichung der Resultate mit der
Erfahrung gegenw\"{a}rtig noch nicht m\"{o}glich ist.

\end{document}