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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Anzeige: Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
Schwingungsweite.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[G\"{o}ttinger Nachrichten, 1859, Nr.~19.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Anzeige: Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
Schwingungsweite.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[G\"{o}ttinger Nachrichten, 1859, Nr.~19.]}

\maketitle

Diese Untersuchung macht nicht darauf Anspruch, der
experimentellen Forschung n\"{u}tzliche Ergebnisse zu liefern;
der Verfasser w\"{u}nscht sie nur als einen Beitrag zur Theorie
der nicht linearen partiellen Differentialgleichungen betrachtet
zu sehen.  Wie f\"{u}r die Integration der linearen partiellen
Differentialgleichungen die fruchtbarsten Methoden nicht durch
Entwicklung des allgemeinen Begriffs dieser Aufgabe gefunden
worden, sondern vielmehr aus der Behandlung specieller
physikalischer Probleme hervorgegangen sind, so scheint auch die
Theorie der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen
durch eine eingehende, alle Nebenbedingungen
ber\"{u}cksichtigende, Behandlung specieller physikalischer
Probleme am meisten gef\"{o}rdert zu werden, und in der That hat
die L\"{o}sung der ganz speciellen Aufgabe, welche den Gegenstand
dieser Abhandlung bildet, neue Methoden und Auffassungen
erfordert, und zu Ergebnissen gef\"{u}hrt, welche wahrscheinlich
auch bei allgemeineren Aufgaben eine Rolle spielen werden.

Durch die vollst\"{a}ndige L\"{o}sung dieser Aufgabe d\"{u}rften
die vor einiger Zeit zwischen den englischen Mathematikern
\emph{Challis}, \emph{Airy} und \emph{Stokes} lebhaft
verhandelten
Fragen\footnote{Phil.\ mag.\ voll.~33.\ 34.\ und 35.},
soweit dies nicht schon durch
\emph{Stokes}\footnote{Phil.\ mag.\ vol.~33, p.~349.}
geschehen ist, zu klarer Entscheidung gebracht worden sein, so
wie auch der Streit, welche \"{u}ber eine andere denselben
Gegenstand betreffende Frage in der K.~K.\ Ges.\ d.~W.\ zu Wien
zwischen den Herrn \emph{Petzval}, \emph{Doppler} und
\emph{A.~von Ettinghausen}\footnote{Sitzungsberichte der K.~K.\
Ges. d.~W.\ vom 15.~Jan., 21.~May und 1.~Juni 1852.}
gef\"{u}hrt wurde.

Das einzige empirische Gesetz, welches ausser den allgemeinen
Bewegungsgesetzen bei dieser Untersuchung vorausgesetzt werden
musste, ist das Gesetz, nach welchem der Druck eines Gases sich
mit der Dichtigkeit \"{a}ndert, wenn es keine W\"{a}rme aufnimmt
oder abgiebt.  Die schon von \emph{Poisson} gemachte, aber damals
auf sehr unsicherer Grundlage ruhende Annahme, dass der Druck bei
der Dichtigkeit~$\varrho$ proportional $\varrho^k$ sich
\"{a}ndere, wenn $k$ das Verh\"{a}ltniss der specifischen
W\"{a}rme bei constanten Druck zu der bei constantem Volumen
bedeutet, kann jetzt durch die Versuche von \emph{Regnault}
\"{u}ber die specifischen W\"{a}rmen der Gase und ein Princip der
mechanischen W\"{a}rmetheorie begr\"{u}ndet werden, und es schien
n\"{o}thig diese Begr\"{u}ndung des \emph{Poisson}'schen
Gesetzes, da sie noch wenig bekannt zu sein scheint, in der
Einleitung vorauzuschicken.  Der Werth von $k$ findet sich dabei
$= 1,4101$, w\"{a}hrend die Schallgeschwindigkeit bei
$0^\circ C.$ und trockner Luft nach den Versuchen von
\emph{Martins} und \emph{A.~Bravais}\footnote{Ann.\ de chim.\ et
de phys.  Ser.~III, T.~XIII, p.~5.}
$\displaystyle = \frac{332^{\mathrm{m}},37}{1''}$
sich ergeben und f\"{u}r $k$ den Werth 1,4095 liefern w\"{u}rde.

Obwohl die Vergleichung der Resultate unserer Untersuchung mit
der Erfahrung durch Versuche und Beobachtungen grosse
Schwierigkeiten hat und gegenw\"{a}rtig kaum ausf\"{u}hrbar sein
wird, so m\"{o}gen diese doch, soweit es ohne Weitl\"{a}ufigkeit
m\"{o}glich ist, hier mitgetheilt werden.

Die Abhandlung behandelt die Bewegung der Luft oder eines Gases
nur f\"{u}r den Fall, wenn anfangs und also auch in der Folge die
Bewegung allenthalben gleich gerichtet ist, und in jeder auf
ihrer Richtung senkrechten Ebene Geschwindigkeit und Dichtigkeit
constant sind.  F\"{u}r den Fall, wo die anf\"{a}ngliche
Gleichgewichtsst\"{o}rung auf eine endlich Strecke beschr\"{a}nkt
ist, ergiebt sich bekanntlich bei der gew\"{o}hnlichen
Voraussetzung, dass die Druckverschiedenheiten unendlich kleine
Bruchtheile des ganzen Drucks sind, das Resultat, dass von der
ersch\"{u}tterten Stelle zwei Wellen, in deren jeder die
Geschwindigkeit eine bestimmte Function der Dichtigkeit ist,
ausgehen und in entgegengesetzten Richtungen mit der bei dieser
Voraussetzung constanten Geschwindigkeit
$\sqrt{\varphi'(\varrho)}$
fortschreiten, wenn $\varphi(\varrho)$ den Druck bei der
Dichtigkeit $\varrho$ und $\varphi'(\varrho)$ die Derivirte
dieser Function bezeichnet.  Etwas ganz \"{a}hnliches gilt nun
f\"{u}r diesen Fall auch, wenn die Druckverschiedenheiten endlich
sind.  Die Stelle, wo das Gleichgewicht gest\"{o}rt ist, zelegt
sich ebenfalls nach Verlauf einer endlichen Zeit in zwei nach
entgegengesetzten Richtungen fortschreitende Wellen.  In diesen
ist die Geschwindigkeit, in der Fortpflanzungsrichtung gemessen,
eine bestimmte Function
$\int \sqrt{\varphi'(\varrho)} \, d \log \varrho$
der Dichtigkeit, wobei die Integrationsconstante in beiden
verschieden sein kann; in jeder ist also mit einem und demselben
Werthe der Dichtigkeit stets derselbe Werth der Geschwindigkeit
verbunden, und zwar mit einem gr\"{o}sseren Werthe ein
algebraisch gr\"{o}sserer Werth der Geschwindigkeit.  Beide
Werthe r\"{u}cken mit constanter Geschwindigkeit fort.  Ihre
Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Gase ist
$\sqrt{\varphi'(\varrho)}$,
im Raume aber um die in der
Fortpflanzungsrichtung gemessene Geschwindigkeit des Gases
gr\"{o}sser.  Unter der in der Wirklichkeit zutreffenden
Voraussetzung, dass $\varphi'(\varrho)$ bei wachsendem $\varrho$
nicht abnimmt, r\"{u}cken daher gr\"{o}ssere Dichtigkeiten mit
gr\"{o}sserer Geschwindigkeit fort, und hieraus folgt, dass die
Verd\"{u}nnungswellen, d.~h.\ die Theile der Welle, in denen die
Dichtigkeit in der Fortpflanzungsrichtung w\"{a}chst, der Zeit
proportional an Breite zunehmen, die Verdichtungswellen aber
ebenso an Breite abnehmen, und schliesslich in
Verdichtungsst\"{o}sse \"{u}bergehen m\"{u}ssen.  Die Gesetze,
welche vor der Scheidung beider Wellen oder bei einer \"{u}ber
den ganzen Raum sich erstreckenden Gleichgewichtsst\"{o}rung
gelten, so wie die Gesetze f\"{u}r das Fortschreiten von
Verdichtungsst\"{o}ssen, k\"{o}nnen hier, weil dazu gr\"{o}ssere
Formeln erforderlich w\"{a}ren, nicht angegeben werden.

In akustischer Beziehung liefert demnach diese Untersuchung das
Resultat, dass in den F\"{a}llen, wo die Druckverschiedenheiten
nicht als unendlich klein betrachtet werden k\"{o}nnen, eine
Aenderung der Form der Schallwellen, also des Klanges,
w\"{a}hrend der Fortpflanzung eintritt.  Eine Pr\"{u}fung dieses
Resultats durch Versuche scheint aber trotz der Fortschritte,
welche in der Analyse des Klanges in neuester Zeit durch
\emph{Helmholtz} u.~A. gemacht worden sind, sehr schwer zu sein;
denn in geringeren Entfernungen ist eine Aenderung des Klanges
nicht merklich, und bei gr\"{o}sseren Entfernungen wird es schwer
sein, die mannigfachen Ursachen, welche den Klang modificiren
k\"{o}nnen, zu sondern.  An eine Anwendung auf die Meteorologie
ist wohl nicht zu denken, da die hier untersuchten Bewegungen der
Luft solche Bewegungen sind, die sich mit der
Schallgeschwindigkeit fortpflanzen, die Str\"{o}mungen in der
Atmosph\"{a}re aber allem Anschein nach mit viel geringerer
Geschwindigkeit fortschreiten.

\end{document}