\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ueber das Verschwinden der $\vartheta$-Functionen.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Journal f\"{u}r die reine und angewandte Mathematik, Bd.~65.
S.~161--172.  1866.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Ueber das Verschwinden der $\vartheta$-Functionen.}
\author{(Von Herrn \emph{B. Riemann} zu G\"{o}ttingen.)}
\date{[Journal f\"{u}r die reine und angewandte Mathematik, Bd.~65.
S.~161--172.  1866.]}

\maketitle

Die zweite Abtheilung meiner im 54${}^{\mathrm{sten}}$ Bande dieses
Journals erschienenen Theorie der \emph{Abel}schen Functionen
enth\"{a}lt den Beweis eines Satzes \"{u}ber das Verschwinden der
$\vartheta$-Functionen, welchen ich sogleich wieder anf\"{u}hren
werde, indem ich dabei die in jener Abhandlung angewandten
Bezeichnungen als dem Leser bekannt voraussetze.  Alles in der
Abhandlung noch Folgende enth\"{a}lt kurze Andeutungen \"{u}ber
die Anwendung dieses Satzes, welcher bei unserer Methode, die
sich auf die Bestimmung der Functionen durch ihre Unstetigkeiten
und ihr Unendlichwerden st\"{u}tzt, wie man leicht sieht, die
Grundlage der Theorie der \emph{Abel}schen Functionen bilden
muss.  Bei dem Satze selbst und dessen Beweis ist jedoch der
Umstand nicht geh\"{o}rig ber\"{u}cksichtigt worden, dass die
$\vartheta$-Function durch die Substitution der Integrale
algebraischer Functionen Einer Ver\"{a}nderlichen identisch,
d.~h.\ f\"{u}r jeden Werth dieser Ver\"{a}nderlichen,
verschwinden kann.  Diesem Mangel abzuhelfen ist die folgende
kleine Abhandlung bestimmt.

Bei der Darstellung der Untersuchungen \"{u}ber
$\vartheta$-Functionen mit einer unbestimmten Anzahl von
Variablen macht sich das Bed\"{u}rfniss einer abk\"{u}rzenden
Bezeichnung einer Reihe, wie
\[ v_1, v_2,\ldots, v_m \]
geltend, sobald der Ausdruck von $v_\nu$ durch $\nu$ complicirt
ist.  Man k\"{o}nnte dieses Zeichen ganz analog den Summen- und
Productenzeichen bilden; eine solche Bezeichnung w\"{u}rde aber
zu viel Raum wegnehmen und innerhalb der Functionszeichen
umbequem f\"{u}r den Druck sein; ich ziehe es daher vor
\[ v_1, v_2,\ldots, v_m \mbox{ durch }
   \left(
      \begin{array}{c} m \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu)
   \right) \]
zu bezeichnen, also
\[ \vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p) \mbox{ durch }
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu)
   \right).\]

\medbreak

\centerline{1.}

\nobreak\medskip

Wenn man in der Function $\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$
f\"{u}r die $p$ Ver\"{a}nderlichen $v$ die $p$ Integrale
$u_1 - e_1$, $u_2 - e_2,\ldots$ $u_p - e_p$ algebraischer wie die
Fl\"{a}che~$T$ verzweigter Functionen von $z$ substituirt, so
erh\"{a}lt man eine Function von $z$, welche in der ganzen
Fl\"{a}che~$T$ ausser den Linien~$b$ sich stetig \"{a}ndert, beim
Uebertritt von der negativen auf die positive Seite der
Linie~$b_\nu$ aber den Factor
$e^{-u_\nu^+ - u_\nu^- + 2 e_\nu}$
erlangt.  Wie im \S.~22 bewiesen worden ist, wird diese Function,
wenn sie nicht f\"{u}r alle Werthe von $z$ verschwindet, nur
f\"{u}r $p$ Punkte der Fl\"{a}che~$T$ unendlich klein von der
ersten Ordnung.  Diese Punkte wurden durch
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_p$
bezeichnet, und der Werth der Function~$u_\nu$ im Punkte
$\eta_\mu$ durch $\alpha_\nu^{(\mu)}$.  Es ergab sich dann nach
den $2p$ Modulsystemen der $\vartheta$-Function die Congruenz
\begin{equation}
(e_1, e_2,\ldots, e_p) \equiv
      \left(
         \sum_1^p \alpha_1^{(\mu)} + K_1, \,
         \sum_1^p \alpha_2^{(\mu)} + K_2, \ldots, \,
         \sum_1^p \alpha_p^{(\mu)} + K_p
      \right),
\tag{1.}
\end{equation}
worin die Gr\"{o}ssen $K$ von den bis dahin noch
willk\"{u}rlichen additiven Constanten in den Functionen~$u$
abhingen, aber von den Gr\"{o}ssen~$e$ und den Punkten $\eta$
unabh\"{a}ngig waren.

F\"{u}hrt man die dort angegebene Rechnung aus, so findet sich
\begin{equation}
2 K_\nu
   = \sum \frac{1}{\pi i} \int (u_\nu^+ + u_\nu^-) \, du_{\nu'}
      - \varepsilon_\nu \pi i
      - \sum_{\mu=1}^{\mu=p} \varepsilon'_\mu a_{\mu, \nu}.
\tag{2.}
\end{equation}
In diesem Ausdrucke ist das Integral
$\int (u_\nu^+ + u_\nu^-) \, du_{\nu'}$
positiv durch $b_{\nu'}$ auszudehnen, und in der Summe sind
f\"{u}r $\nu'$ alle Zahlen von $1$ bis $p$ ausser $\nu$ zu
setzen; $\varepsilon_\nu = \pm 1$, je nachdem das Ende von
$l_\nu$ auf der positiven oder negativen Seite von $a_\nu$ liegt,
und $\varepsilon'_\nu = \pm 1$, je nachdem dasselbe auf der
positiven oder negativen Seite von $b_\nu$ liegt.  Die Bestimmung
der Vorzeichen ist \"{u}brigens nur n\"{o}thig, wenn die
Gr\"{o}ssen~$e$ nach den in \S.~22 gegebenen Gleichungen aus den
Unstetigkeiten von $\log \vartheta$ v\"{o}llig bestimmt werden
sollen; die obige Congruenz (1.) bleibt richtig, welche Vorzeichen
man w\"{a}hlen mag.

Wir behalten zun\"{a}chst die dort gemachte vereinfachende
Voraussetzung bei, dass die additiven Constanten in den
Functionen~$u$ so bestimmt werden, dass die Gr\"{o}ssen~$K$
s\"{a}mmtlich gleich Null sind.  Um die so gewonnen Resultate
schliesslich von dieser beschr\"{a}nkenden Voraussetzung zu
befreien, hat man offenbar nur n\"{o}thig, \"{u}berall in den
$\vartheta$-Functionen zu den Argumenten
$- K_1, - K_2,\ldots, - K_p$
hinzuzuf\"{u}gen.

Wenn also die Function
$\vartheta(u_1 - e_1, u_2 - e_2,\ldots, u_p - e_p)$
f\"{u}r die $p$ Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_p$
verschwindet \emph{und nicht identisch f\"{u}r jeden Werth von
$z$ verschwindet}, so ist
\[ (e_1, e_2,\ldots, e_p) \equiv
      \left(
         \sum_1^p \alpha_1^{(\mu)}, \,
         \sum_1^p \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
         \sum_1^p \alpha_p^{(\mu)}
      \right).\]

Dieser Satz gilt f\"{u}r ganz beliebige Werthe der
Gr\"{o}ssen~$e$, und wir haben hieraus, indem wir den Punkt
$(s,z)$ mit dem Punkte $\eta_p$ zusammenfallen liessen,
geschlossen, dass
\[ \vartheta
      \left(
       - \sum_1^{p-1} \alpha_1^{(\mu)}, \,
       - \sum_1^{p-1} \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
       - \sum_1^{p-1} \alpha_p^{(\mu)}
      \right)
   = 0,\]
oder da die $\vartheta$-Function gerade ist,
\[ \vartheta
      \left(
         \sum_1^{p-1} \alpha_1^{(\mu)}, \,
         \sum_1^{p-1} \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
         \sum_1^{p-1} \alpha_p^{(\mu)}
      \right)
   = 0,\]
welches auch die Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_{p-1}$
seien.

\medbreak

\centerline{2.}

\nobreak\medskip

Der Beweis dieses Satzes bedarf jedoch einer
Vervollst\"{a}ndigung wegen des Umstandes, dass die Function
\[ \vartheta(u_1 - e_1, u_2 - e_2,\ldots, u_p - e_p) \]
identisch verschwinden kann (was in der That bei jedem System von
gleich verzweigten algebraischen Functionen f\"{u}r gewisse
Werthe der Gr\"{o}ssen~$e$ eintritt).

Wegen dieses Umstandes muss man sich begn\"{u}gen, zun\"{a}chst
zu zeigen, dass der Satz richtig bleibt, w\"{a}hrend die
Punkte~$\eta$ unabh\"{a}ngig von einander innerhalb endlicher
Grenzen ihre Lage \"{a}ndern.  Hieraus folgt dann die allgemeine
Richtigkeit des Satzes nach dem Principe, dass eine Function
einer complexen Gr\"{o}sse nicht innerhalb eines endlichen
Gebiets gleich Null sein kann, ohne \"{u}berall gleich Null zu
sein.

Wenn $z$ gegeben ist, so k\"{o}nnen die Gr\"{o}ssen
$e_1, e_2,\ldots, e_p$
immer so gew\"{a}hlt werden, dass
\[ \vartheta(u_1 - e_1, u_2 - e_2,\ldots, u_p - e_p) \]
nicht verschwindet; denn sonst m\"{u}sste die Function
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$
f\"{u}r jedwede Werthe der Gr\"{o}ssen~$v$ verschwinden, und
folglich m\"{u}ssten in ihrer Entwicklung nach ganzen Potenzen
von
$e^{2 v_1}, e^{2 v_2},\ldots, e^{2 v_p}$ s\"{a}mmtliche
Coefficienten gleich Null sein, was nicht der Fall ist.  Die
Gr\"{o}ssen~$e$ k\"{o}nnen sich dann von einander unabh\"{a}ngig
innerhalb endlicher Gr\"{o}ssengebiete \"{a}ndern, ohne dass die
Function
\[ \vartheta(u_1 - e_1, u_2 - e_2,\ldots, u_p - e_p) \]
f\"{u}r diesen Werth von $z$ verschwindet.  Oder mit anderen
Worten: man kann immer ein Gr\"{o}ssengebiet~$E$ von $2p$
Dimensionen angeben, innerhalb dessen sich das System der
Gr\"{o}ssen~$e$ bewegen kann, ohne dass die Function
\[ \vartheta(u_1 - e_1, u_2 - e_2,\ldots, u_p - e_p) \]
f\"{u}r diesen Werth von $z$ verschwindet.  Sie wird also nur
f\"{u}r $p$ Lagen von $(s,z)$ unendlich klein von der ersten
Ordnung, und bezeichnet man diese Punkte durch
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_p$,
so ist
\begin{equation}
(e_1, e_2,\ldots, e_p) \equiv
      \left(
         \sum_1^p \alpha_1^{(\mu)}, \,
         \sum_1^p \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
         \sum_1^p \alpha_p^{(\mu)}
      \right).
\tag{1.}
\end{equation}
Jeder Bestimmungsweise des Systems der Gr\"{o}ssen~$e$ innerhalb
$E$ oder jedem Punkte von $E$ entspricht dann eine
Bestimmungsweise der Punkte~$\eta$, deren Gesammtheit ein dem
Gr\"{o}ssengebiete~$E$ entsprechendes Gr\"{o}ssengebiet~$H$
bildet.  In Folge der Gleichung (1.) entspricht jedem Punkte von
$H$ aber auch nur ein Punkt von $E$; h\"{a}tte also $H$ nur
$2p - 1$, oder weniger Dimensionen, so w\"{u}rde $E$ nicht $2p$
Dimensionen haben k\"{o}nnen.  Es hat folglich $H$ $2p$
Dimensionen.  Die Schl\"{u}sse, auf welche sich unser Satz
st\"{u}tzt, bleiben daher anwendbar f\"{u}r beliebige Lagen der
Punkte~$\eta$ innerhalb endlicher Gebiete, und die Gleichung
\[ \vartheta
      \left(
       - \sum_1^{p-1} \alpha_1^{(\mu)}, \,
       - \sum_1^{p-1} \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
       - \sum_1^{p-1} \alpha_p^{(\mu)}
      \right)
   = 0,\]
gilt f\"{u}r beliebige Lagen der Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_{p-1}$
innerhalb endlicher Gebiete und folglich allgemein.

\medbreak

\centerline{3.}

\nobreak\medskip

Hieraus folgt, dass sich das Gr\"{o}ssensystem
$(e_1, e_2,\ldots, e_p)$
immer und nur auf eine Weise congruent einem Ausdrucke von der
Form
\[ \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^p \alpha_\nu^{(\mu)} \right)
   \right) \]
setzen l\"{a}sst, wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu - e_\nu)
   \right) \]
nicht f\"{u}r jeden Werth von $z$ verschwindet; denn liessen sich
die Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_p$
auf mehr als eine Weise so bestimmen, dass der Congruenz
\[ \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (e_\nu)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^p \alpha_\nu^{(\mu)} \right)
   \right) \]
gen\"{u}gt w\"{a}re, so w\"{u}rde nach dem eben bewiesenen Satze
die Function
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu - e_\nu)
   \right) \]
f\"{u}r mehr als $p$ Punkte verschwinden, ohne identisch gleich
Null zu sein, was unm\"{o}glich ist.

Wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu - e_\nu)
   \right) \]
identisch verschwindet, muss man, um
\[ \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (e_\nu)
   \right) \]
in die obige Form zu setzen,
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu + \alpha_\nu^{(1)} - u_\nu^{(1)} - e_\nu)
   \right) \]
betrachten, und wenn diese Function identisch f\"{u}r jeden Werth
von $z$,~$\zeta_1$,~$z_1$ verschwindet, die Function
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( u_\nu + \sum\limits_1^2 \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^2 u_\nu^{(\mu)} - e_\nu \right)
   \right).\]

\begin{equation}
\left\{ \vcenter{\hsize=0.8\textwidth
Wir nehmen an, dass
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(p + 2 - \mu)}
         - \sum\limits_1^{m-1} u_\nu^{(p - \mu)} - e_\nu \right)
   \right) \]
identisch verschwindet,
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m+1} \alpha_\nu^{(p + 2 - \mu)}
         - \sum\limits_1^m u_\nu^{(p - \mu)} - e_\nu \right)
   \right) \]
aber nicht identisch verschwindet.}
\right.
\tag{1.}
\end{equation}
Diese letztere Function verschwindet dann, als Function von
$\zeta_{p+1}$ betrachtet, f\"{u}r
$\varepsilon_{p-1}, \varepsilon_{p-2},\ldots, \varepsilon_{p-m}$,
ausserdem also noch f\"{u}r $p - m$ Punkte, und bezeichnet man
diese mit
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_{p - m}$, so ist
\[ \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( - \sum\limits_{p-m+1}^p \alpha_\nu^{(\mu)} + e_\nu \right)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{p-m} \alpha_\nu^{(\mu)} \right)
   \right) \]
und diese Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_{p-m}$
k\"{o}nnen nur auf eine Weise so bestimmt werden, dass diese
Congruenz erf\"{u}llt wird, weil sonst die Function f\"{u}r mehr
als $p$ Punkte verschwinden w\"{u}rde.  Dieselbe Function
verschwindet, als Function von $z_{p-1}$ betrachtet, ausser
f\"{u}r
$\eta_{p+1}, \eta_p,\ldots, \eta_{p-m+1}$
noch f\"{u}r $p - m - 1$ Punkte, und bezeichnet man diese durch
$\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots, \varepsilon_{p-m-1}$,
so ist
\[ \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( - \sum\limits_{p-m}^{p-2} u_\nu^{(\mu)} - e_\nu \right)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{p-m-1} u_\nu^{(\mu)} \right)
   \right) \]
und die Punkte
$\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots, \varepsilon_{p-m-1}$
sind durch diese Congruenz v\"{o}llig bestimmt.

Unter der gemachten Voraussetzung (1.) k\"{o}nnen also, um den Congrenzen
\begin{equation}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (e_\nu)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^p \alpha_\nu^{(\mu)} \right)
   \right)
\tag{2.}
\end{equation}
und
\begin{equation}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (-e_\nu)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{p-2} u_\nu^{(\mu)} \right)
   \right)
\tag{3.}
\end{equation}
zu gen\"{u}gen, $m$ von den Punkten $\eta$ und $m - 1$ von den
Punkten $\varepsilon$ beliebig gew\"{a}hlt werden, dadurch aber
sind die \"{u}brigen bestimmt.  Offenbar gelten diese S\"{a}tze
auch umgekehrt, d.~h.\ die Function verschwindet, wenn eine
dieser Bedingungen erf\"{u}llt ist.  Wenn also die Congruenz~(2.)
auf mehr als eine Weise l\"{o}sbar ist, so ist auch die
Congruenz~(3.) l\"{o}sbar, und wenn von den Punkten~$\eta$, $m$
aber nicht mehr beliebig gew\"{a}hlt werden k\"{o}nnen, so
k\"{o}nnen von den Punkten $\varepsilon$, $m - 1$ beliebig
gew\"{a}hlt werden und dadurch sind die \"{u}brigen bestimmt, und
umgekehrt.

Auf ganz \"{a}hnlichem Wege ergiebt sich, dass, wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
   = 0 \]
ist, die Congruenzen
\begin{equation}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{p-1} \alpha_\nu^{(\mu)} \right)
   \right)
\tag{4.}
\end{equation}
\begin{equation}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (-r_\nu)
   \right)
   \equiv
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{p-1} u_\nu^{(\mu)} \right)
   \right)
\tag{5.}
\end{equation}
immer l\"{o}sbar sind, und zwar k\"{o}nnen sowohl von den
Punkten~$\eta$ als von den Punkten~$\varepsilon$, $m$ beliebig
gew\"{a}hlt werden, und es sind dadurch die \"{u}brigen
$p - 1 - m$ bestimmt, wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
identisch gleich Null ist,
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m+1} u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m+1} \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
aber nicht identisch gleich Null ist, wobei der Fall $m = 0$
nicht ausgeschlossen ist.  Dieser Satz l\"{a}sst sich auch
umkehren.  Wenn also von den Punkten~$\eta$, $m$ und nicht mehr
beliebig gew\"{a}hlt werden k\"{o}nnen, so ist die Vorasusetzung
desselben erf\"{u}llt; und es k\"{o}nnen folglich auch von den
Punkten $\varepsilon$, $m$ und nicht mehr beliebig gew\"{a}hlt
werden.

\medbreak

\centerline{4.}

\nobreak\medskip

\begin{equation}
\left\{ \vcenter{\hsize=0.8\textwidth
Bezeichnen wir die Derivirte von
\[ \vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p) \]
nach $v_\nu$ mit $\vartheta'_\nu$, die zweite Derivirte nach
$v_\nu$ und $v_\mu$ mit $\vartheta''_{\nu,\mu}$ u.~s.~f.,}
\right.
\tag{1.}
\end{equation}
so sind, wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right) \]
identisch f\"{u}r jeden Werth von $z_1$ und $\zeta_1$
verschwindet, s\"{a}mmtliche Functionen
\[ \vartheta'
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) \]
gleich Null.  In der That geht die Gleichung
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right)
   = 0,\]
wenn $s_1$ und $z_1$ unendlich wenig von $\sigma_1$ und $\zeta_1$
verschieden sind, \"{u}ber in die Gleichung
\[ \sum_1^p \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, d\alpha_\mu^{(1)}
   = 0.\]
Nehmen wir an, dass
\[ du_\mu
   = \frac{\varphi_\mu(s,z) \, dz}{\displaystyle
         \frac{\partial F}{\partial s}} \]
sei, so verwandelt sich diese Gleichung nach Weglassung des Factors
\[ \frac{d\zeta_1}{\displaystyle \;
         \frac{\partial F(\sigma_1, \zeta_1)}{\partial \sigma_1} \;} \]
in
\[ \sum_1^p \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(\sigma_1, \zeta_1)
   = 0;\]
und da zwischen den Functionen~$\varphi$ keine lineare Gleichung
mit constanten Coefficienten stattfindet, so folgt hieraus, dass
s\"{a}mmtliche erste Derivirten von
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$ f\"{u}r
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = r_\nu) \]
verschwinden m\"{u}ssen.

Um den umgekehrten Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = r_\nu)
\quad\mbox{und}\quad
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = t_\nu) \]
zwei Werthsysteme seien, f\"{u}r welche die Function~$\vartheta$
verschwindet, ohne f\"{u}r
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
\quad\mbox{und}\quad
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + t_\nu) \]
identisch zu verschwinden, und bilden den Ausdruck
\begin{equation}
\frac{\displaystyle
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(1)} - u_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right)}{\displaystyle
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + t_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(1)} - u_\nu^{(1)} + t_\nu)
   \right)}.
\tag{2.}
\end{equation}

Betrachten wir diesen Ausdruck als Function von $z_1$, so ergiebt
sich, dass er eine algebraische Function von $z_1$ und zwar eine
rationale Function von $s_1$ und $z_1$ ist, da Nenner und
Z\"{a}hler in $T''$ stetig sind und an den Querschnitten
dieselben Factoren erlangen.  F\"{u}r $z_1 = \zeta_1$ und
$s_1 = \sigma_1$ werden Nenner und Z\"{a}hler unendlich klein von
der zweiten Ordnung, so dass die Function endlich bleibt; die
\"{u}brigen Werthe aber, f\"{u}r welche Nenner oder Z\"{a}hler
verschwinden, sind, wie oben bewiesen, durch die Werthe der
Gr\"{o}ssen~$r$ und der Gr\"{o}ssen~$t$ v\"{o}llig bestimmt, also
von $\zeta_1$ ganz unabh\"{a}ngig.  Da nun eine algebraische
Function durch die Werthe, f\"{u}r welche sie Null und unendlich
wird, bis auf einen constanten Factor bestimmt ist, so ist der
Ausdruck gleich einer rationalen von $\zeta_1$ unabh\"{a}ngigen
Function von $s_1$ und $z_1$, $\chi(s_1, z_1)$ multiplicirt in
eine Constante, d.~h.\ eine von $z_1$ unabh\"{a}ngige Gr\"{o}sse.
Da die Ausdruck symmetrisch in Bezug auf die Gr\"{o}ssensysteme
$(s_1, z_1)$ und $(\sigma_1, \zeta_1)$ ist, so ist diese
Constante gleich $\chi(\sigma_1, \zeta_1)$, multiplicirt in eine
auch von $\zeta_1$ unabh\"{a}ngige Gr\"{o}sse~$A$.  Setzt man nun
$\sqrt{A} \chi(s,z) = \varrho(s,z)$,
so erh\"{a}lt man f\"{u}r unsern Ausdruck (2.) den Werth
\begin{equation}
\varrho(s_1, z_1) \varrho(\sigma_1, \zeta_1),
\tag{3.}
\end{equation}
wo $\varrho(s,z)$ eine rationale Function von $s$ und $z$ ist.

Um diese zu bestimmen, hat man nur n\"{o}thig $\zeta_1 = z_1$ und
$\sigma_1 = s_1$ werden zu lassen; es ergiebt sich dann
\[ (\varrho(s_1, z_1))^2 = \left\{ \frac{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, du_\mu^{(1)}}{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (t_\nu)
   \right)
      \, du_\mu^{(1)}} \right\}^2 \]
oder nach Ausziehung der Quadratwurzel und Weghebung des Factors\\
$\displaystyle
   \frac{dz_1}{\displaystyle \;
         \frac{\partial F(s_1, z_1)}{\partial s_1} \;}$
\begin{equation}
   \varrho(s_1, z_1) = \pm \frac{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(s_1, z_1)}{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (t_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(s_1, z_1)}.
\tag{4.}
\end{equation}
Man hat daher aus (3.) und (4.) die Gleichung
\begin{equation}
\left\{ \! \begin{array}{cl}
  &\frac{\displaystyle
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(1)} - u_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right)}{\displaystyle
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + t_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(1)} - u_\nu^{(1)} + t_\nu)
   \right)} \\
 =&\frac{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(s_1, z_1)}{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (t_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(s_1, z_1)}
   \mathbin{.}
   \frac{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(\sigma_1, \zeta_1)}{\displaystyle
   \sum_\mu \vartheta'_\mu
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (t_\nu)
   \right)
      \, \varphi_\mu(\sigma_1, \zeta_1)}
\end{array} \right.
\tag{5.}
\end{equation}
Aus dieser Gleichung folgt, dass
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(1)} - \alpha_\nu^{(1)} + r_\nu)
   \right) \]
f\"{u}r jeden Werth von $z_1$ und $\zeta_1$ gleich Null sein
muss, wenn die ersten Derivirten der Function
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$ f\"{u}r
$\displaystyle
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = r_\nu)$
s\"{a}mmtlich verschwinden.

\medbreak

\centerline{5.}

\nobreak\medskip

Wenn
\begin{equation}
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right)
\tag{1.}
\end{equation}
identisch, d.~h.\ f\"{u}r jedwede Werthe von
$\displaystyle
      \begin{array}{c} m \\ \mu \\ 1 \end{array}
      (\sigma_\mu, \zeta_\mu)$
und
$\displaystyle
      \begin{array}{c} m \\ \mu \\ 1 \end{array}
      (s_\mu, z_\mu)$,
verschwindet, so findet man auf dem oben angegeben Wege
zun\"{a}chst, indem man $\zeta_m = z_m$, $\sigma_m = s_m$ werden
l\"{a}sst, dass die ersten Derivirten der Function
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$ f\"{u}r
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( v_\nu = \sum\limits_1^{m-1} \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-1} u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right) \]
s\"{a}mmtlich verschwinden, dann, indem man
$\zeta_{m-1} - z_{m-1}$, $\sigma_{m-1} - s_{m-1}$
unendlich klein werden l\"{a}sst, dass f\"{u}r
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( v_\nu = \sum\limits_1^{m-2} \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-2} u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right) \]
auch die zweiten Derivirten s\"{a}mmtlich verschwinden; und
offenbar ergiebt sich allgemein, dass die Derivirten
$n^{\mathrm{ter}}$ Ordnung s\"{a}mmtlich verschwinden f\"{u}r
\[    \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( v_\nu = \sum\limits_1^{m-n} \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-n} u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right),\]
welche Werthe auch die Gr\"{o}ssen~$z$ und die Gr\"{o}ssen
$\zeta$ haben m\"{o}gen.

Es folgt hieraus, dass unter der gegenw\"{a}rtigen Voraussetzung
(1.) f\"{u}r
$\displaystyle
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = r_\nu)$
die ersten bis $m^{\mathrm{ten}}$ Derivirten der Function
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$
s\"{a}mmtlich gleich Null sind.

Um zu zeigen, das dieser Satz auch umgekehrt gilt, beweisen wir
zun\"{a}chst, dass wenn
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m-1} \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-1} u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
identisch verschwindet und die Gr\"{o}ssen
\[ \vartheta^{(m)}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) \]
s\"{a}mmtlich gleich Null sind, auch
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
identisch verschwinden muss und verallgemeinern zu diesem Zwecke
die Gleichung \S.~4, (5.).

Wir nehmen an, dass
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m-1} u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-1} \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
identisch verschwinde,
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
aber nicht identisch verschwinde, behalten in Bezug auf die
Gr\"{o}ssen~$t$ die fr\"{u}here Voraussetzung bei und betrachten
den Ausdruck
\begin{equation}
\frac{\left\{ \begin{array}{l}
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \\
   \times \prod\limits_{\varrho, \varrho'}
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(\varrho)} - u_\nu^{(\varrho')} + t_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(\varrho)} - \alpha_\nu^{(\varrho')} + t_\nu)
   \right)
   \end{array} \right\} }{
   \left( \prod\limits_1^m \right)^2
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (u_\nu^{(\varrho)} - \alpha_\nu^{(\varrho')} + t_\nu)
   \right)
   \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (\alpha_\nu^{(\varrho)} - u_\nu^{(\varrho')} + t_\nu)
   \right)}.
\tag{2.}
\end{equation}
In diesem Ausdrucke sind unter den Productzeichen sowohl f\"{u}r
$\varrho$, als f\"{u}r $\varrho'$ s\"{a}mmtliche Werthe von $1$
bis $m$ zu setzen, im Z\"{a}hler aber die F\"{a}lle, wo
$\varrho = \varrho'$ w\"{u}rde, wegzulassen.

Betrachten wir diesen Ausdruck als Function von $z_1$, so ergiebt
sich, dass er an den Querschnitten den Factor~$1$ erlangt und
folglich eine algebraische Function von $z_1$ ist.  F\"{u}r
$z_1 = \zeta_\varrho$ und $s_1 = \sigma_\varrho$ werden Nenner
und Z\"{a}hler unendlich klein von der zweiten Ordung, der Bruch
bleibt also endlich; die \"{u}brigen Werthe aber, f\"{u}r welche
Z\"{a}hler und Nenner verschwinden, sind durch die Gr\"{o}ssen
$\displaystyle
      \begin{array}{c} m \\ \mu \\ 2 \end{array}
      (s_\mu, z_\mu)$,
die Gr\"{o}ssen $r$ und die Gr\"{o}ssen $t$, wie oben (\S.~3)
bewiesen, v\"{o}llig bestimmt, und folglich von den Gr\"{o}ssen
$\zeta$ ganz unabh\"{a}ngig.  Da der Ausdruck nun eine
symmetrische Function von den Gr\"{o}ssen~$z$ ist, so gilt
dasselbe f\"{u}r jedes beliebige $z_\mu$: er ist eine
algebraische Function von $z_\mu$, und die Werthe dieser
Gr\"{o}sse, f\"{u}r welche er unendlich gross oder unendlich
klein wird, sind von den Gr\"{o}ssen $\zeta$ unabh\"{a}ngig.  Er
ist daher gleich einer von den Gr\"{o}ssen $\zeta$
unabh\"{a}ngigen algebraischen Function der Gr\"{o}ssen~$z$,
$\chi(z_1, z_2,\ldots, z_m)$,
multiplicirt in einen von den Gr\"{o}ssen~$z$ unabh\"{a}ngigen
Factor.  Da er aber unge\"{a}ndert bleibt, wenn man die
Gr\"{o}ssen~$z$ mit den Gr\"{o}ssen $\zeta$ vertauscht, so ist
dieser Factor gleich
$\chi(\zeta_1, \zeta_2,\ldots, \zeta_m)$,
multiplicirt mit einer von der Gr\"{o}ssen $z$ und den
Gr\"{o}ssen $\zeta$ unabh\"{a}ngigen Constanten~$A$; und wir
k\"{o}nnen daher, wenn wir
\[ \sqrt{A}\chi(z_1, z_2,\ldots, z_m)
   = \psi(z_1, z_2,\ldots, z_m) \]
setzen, unserm Ausdrucke (2.) die Form
\begin{equation}
\psi(z_1, z_2,\ldots, z_m) \psi(\zeta_1, \zeta_2,\ldots, \zeta_m)
\tag{3.}
\end{equation}
geben, wo
$\psi(z_1, z_2,\ldots, z_m)$ eine algebraische von den
Gr\"{o}ssen $\zeta$ unabh\"{a}ngige Function der Gr\"{o}ssen $z$
ist, welche in Folge ihrer Verzweigungsart sich rational in
$\displaystyle
      \begin{array}{c} m \\ \mu \\ 1 \end{array}
      (s_\mu, z_\mu)$,
ausdr\"{u}cken lassen muss.  L\"{a}sst man nun die Punkte $\eta$
mit den Punkten $\varepsilon$ zusammenfallen, so dass die
Gr\"{o}ssen $\zeta_\mu - z_\mu$ und die Gr\"{o}ssen
$\sigma_\mu - s_\mu$ s\"{a}mmtlich unendlich klein werden, so
ergiebt sich, wenn man die Derivirten von
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$
wie oben (\S.~4 (1.)) bezeichnet,
\begin{equation}
\psi(z_1, z_2,\ldots, z_m) = \pm \frac{
      \left( \sum_1^p \right)^m
         \vartheta^{(m)}_{\nu_1, \nu_2,\ldots, \nu_m}
         \left(
            \begin{array}{c} p \\ \varrho \\ 1 \end{array}
            (r_\varrho)
         \right)
         \, du_{\nu_1}^{(1)}
	 \, du_{\nu_2}^{(2)}
         \, \ldots
	 \, du_{\nu_m}^{(m)}}{
         \prod\limits_{\mu=1}^{\mu=m}
         \sum\limits_{\nu=1}^{\nu=p}
         \vartheta'_\nu
         \left(
            \begin{array}{c} p \\ \varrho \\ 1 \end{array}
            (r_\varrho)
         \right)
	 \, du_{\nu}^{(\mu)}},
\tag{4.}
\end{equation}
wo die Summationen im Z\"{a}hler sich auf
$\nu_1, \nu_2,\ldots, \nu_m$
beziehen.  Es ist kaum n\"{o}thig zu bemerken, dass die Wahl des
Vorzeichens gleichg\"{u}ltig ist, da sie auf den Werth von
\[ \psi(z_1, z_2,\ldots, z_m) \psi(\zeta_1, \zeta_2,\ldots, \zeta_m) \]
keinen Einfluss hat, und dass statt der Gr\"{o}ssen
$du_1^{(\mu)}, du_2^{(\mu)},\ldots, du_p^{(\mu)}$
auch, im Z\"{a}hler und Nenner gleichzeitig, die ihnen
proportionalen Gr\"{o}ssen
\[ \varphi_1(s_\mu, z_\mu),
   \varphi_2(s_\mu, z_\mu),\ldots,
   \varphi_p(s_\mu, z_\mu) \]
eingef\"{u}hrt werden k\"{o}nnen.

Aus der in (2.), (3.) und (4.) enthaltenen Gleichung, welche f\"{u}r
den Fall bewiesen ist, dass
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m-1} u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m-1} \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
gleich Null und
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
von Null verschieden ist, folgt, dass
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^m u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^m \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right) \]
nicht von Null verschieden sein kann, wenn die Functionen
\[ \vartheta^{(m)}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) \]
s\"{a}mmtlich gleich Null sind.

Wenn also die Functionen
\[ \vartheta^{(m+1)}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) \]
s\"{a}mmtlich gleich Null sind, so folgt aus der G\"{u}ltigkeit
der Gleichung
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^n u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^n \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right)
   = 0 \]
f\"{u}r $n = m$ ihre G\"{u}ltigkeit f\"{u}r $n = m + 1$.  Gilt
daher die Gleichung f\"{u}r $n = 0$, oder ist
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) = 0 \]
und verschwinden die ersten bis $m^{\mathrm{ten}}$ Derivirten der Function
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu)
   \right) \]
f\"{u}r
$\displaystyle
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (v_\nu = r_\nu)$
s\"{a}mmtlich, die ${(m+1)}^{\mathrm{ten}}$ aber nicht s\"{a}mmtlich, so
gilt die Gleichung auch f\"{u}r alle gr\"{o}sseren Werthe von $n$
bis $n = m$, aber nicht f\"{u}r $n = m + 1$; denn aus
\[ \vartheta
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      \left( \sum\limits_1^{m+1} u_\nu^{(\mu)}
         - \sum\limits_1^{m+1} \alpha_\nu^{(\mu)} + r_\nu \right)
   \right)
   = 0 \]
w\"{u}rde, wie wir vorher schon gefunden hatten, folgen, dass die
Gr\"{o}ssen
\[ \vartheta^{(m+1)}
   \left(
      \begin{array}{c} p \\ \nu \\ 1 \end{array}
      (r_\nu)
   \right) \]
s\"{a}mmtlich verschwinden m\"{u}ssten.

\medbreak

\centerline{6.}

\nobreak\medskip

Fassen wir das eben Bewiesene mit dem Fr\"{u}heren zusammen, so
erhalten wir folgendes Resultat:

Ist $\vartheta(r_1, r_2,\ldots, r_p) = 0$, so lassen sich
$(p - 1)$ Punkte
$\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_{p-1}$
so bestimmen, dass
\[ (r_1, r_2,\ldots, r_p) \equiv
      \left(
         \sum_1^{p-1} \alpha_1^{(\mu)}, \,
         \sum_1^{p-1} \alpha_2^{(\mu)}, \ldots, \,
         \sum_1^{p-1} \alpha_p^{(\mu)}
      \right);\]
und umgekehrt.

Wenn ausser der Function $\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$ auch
ihre ersten bis $m^{\mathrm{ten}}$ Derivirten f\"{u}r
$v_1 = r_1$, $v_2 = r_2,\ldots$, $v_p = r_p$
s\"{a}mmtlich gleich Null, die $(m + 1)^{\mathrm{ten}}$ aber nicht
s\"{a}mmtlich gleich Null sind, so k\"{o}nnen $m$ von diesen
Punkten~$\eta$, ohne dass die Gr\"{o}ssen $r$ sich \"{a}ndern,
beliebig gew\"{a}hlt werden und dadurch sind die \"{u}brigen
$p - 1 - m$ v\"{o}llig bestimmt.

Und umgekehrt:

Wenn $m$ und nicht mehr von den Punkten~$\eta$, ohne dass sich
die Gr\"{o}ssen~$r$ \"{a}ndern, beliebig gew\"{a}hlt werden
k\"{o}nnen, so sind ausser der Function
$\vartheta(v_1, v_2,\ldots, v_p)$ auch ihre ersten bis $m^{\mathrm{ten}}$
Derivirten f\"{u}r
$v_1 = r_1$, $v_2 = r_2,\ldots$, $v_p = r_p$
s\"{a}mmtlich gleich Null, die $(m + 1)^{\mathrm{ten}}$ aber nicht
s\"{a}mmtlich gleich Null.

Die vollst\"{a}ndige Untersuchung aller besondern F\"{a}lle,
welche bei dem Verschwinden einer $\vartheta$-Function eintreten
k\"{o}nnen, war weniger n\"{o}thig wegen der besondern Systeme
von gleichverzweigten algebraischen Functionen, f\"{u}r welche
diese F\"{a}lle eintreten, als vielmehr deshalb, weil ohne diese
Untersuchung L\"{u}cken in dem Beweise der S\"{a}tze entstehen
w\"{u}rden, welche auf unsern Satz \"{u}ber das Verschwinden
einer $\vartheta$-Function gegr\"{u}ndet werden.

G\"{o}ttingen, im October 1865.

\end{document}