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\begin{center}
\Large\bfseries
Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als
$2n$\-fach periodische Function von $n$ Ver\"{a}nderlichen
unm\"{o}glich ist.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
(Auszug aus einem Schreiben \emph{Riemann}'s an Herrn
\emph{Weierstrass})\\[12 pt]
[Journal f\"{u}r die reine und angewandte Mathematik,  Bd.~71. (1870),
S.~197--200.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
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\title{Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als
$2n \,$\-fach periodische Function von $n$ Ver\"{a}nderlichen
unm\"{o}glich ist.}
\author{Bernhard Riemann\\[12pt]
(Auszug aus einem Schreiben \emph{Riemann}'s an Herrn \emph{Weierstrass})}
\date{[Journal f\"{u}r die reine und angewandte Mathematik,  Bd.~71. (1870),
S.~197--200.]}

\maketitle

\dots\ Den Beweis des Satzes, auf welchen Sie neulich die
Unterhaltung lenkten, dass eine einwerthige mehr als $2n \,$\-fach
periodische Function von $n$ Ver\"{a}nderlichen unm\"{o}glich
ist, habe ich im Gespr\"{a}ch wohl nicht ganz klar
ausgedr\"{u}ckt, auch nur die Grundgedanken angegeben; ich theile
ihn Ihnen daher hier noch einmal mit.

Es sei $f$ eine $2n \,$\-fach periodische Function von $n$
Ver\"{a}nderlichen
\[ x_1, x_2,\ldots, x_n \]
und---ich darf wohl meine Ihnen bekannten Benennungen
gebrauchen---der Periodicit\"{a}tmodul von $x_\nu$ f\"{u}r die
$\mu \,$\-te Periode $a_\mu^\nu$.  Es lassen sich dann bekanntlich
die Gr\"{o}ssen~$x$ in die Form
\[ x_\nu = \sum_{\mu = 1}^{\mu = 2n} a_\mu^\nu \xi_\mu
   \quad\mbox{f\"{u}r}\quad
   \nu = 1,2,\ldots, n \]
setzen\footnote{Dies ist nicht immer der Fall, sondern nur, wenn
die $2n$ Gleichungen, durch welche die Gr\"{o}ssen $\xi$ bestimmt
werden, von einander unabh\"{a}ngig sind; die Ausnahmen sind aber
leicht zu behandeln.}, so dass die Gr\"{o}ssen $\xi$ reell sind.
L\"{a}sst man nun die Gr\"{o}ssen $\xi$ die Werthe von $0$ bis
$1$ mit Ausschluss eines von diesen Grenzwerthen durchlaufen, so
hat das dadurch entstehende $2n \,$\-fach ausgedehnte
Gr\"{o}ssengebiet die Eigenschaft, dass jedes System von Werthen
der $n$ Ver\"{a}nderlichen einem und nur einem Werthsysteme
innerhalb dieses Gr\"{o}ssengebiets nach den $2n$ Modulsystemen
congruent ist.  Ich werde, um mich sp\"{a}ter k\"{u}rzer
ausdr\"{u}cken zu k\"{o}nnen, dieses Gebiet \glqq dass bei diesen
$2n$ Modulsystemen periodisch sich wiederholende
Gr\"{o}ssengebiet\grqq\ nennen.

Hat die Function nun noch ein ${2n + 1}^{\mathrm{tes}}$
Modulsystem, welches sich nicht aus den $2n$ ersten Modulsystemen
zusammensetzen l\"{a}sst, so kann man die einem
Gr\"{o}ssensysteme nach diesem Modulsysteme congruenten
Gr\"{o}ssensysteme auf innerhalb dieses Gebiets liegende nach den
$2n$ ersten Modulsystemen ihnen congruente zur\"{u}ckf\"{u}hren
und dadurch offenbar beliebig viele innerhalb dieses Gebiets
liegende und nach den $2n + 1$ Modulsystemen einander congruente
Gr\"{o}ssensysteme erhalten, wenn nicht zwei von den nach dem
${(2n + 1)} \,$\-ten Modulsysteme congruente Gr\"{o}ssensysteme auch
nach den $2n$ ersten Modulsystemen congruent sind.  In diesem
Falle w\"{u}rden zwischen den $2n + 1$ Modulsystemen $n$
Gleichungen von der Form
\[ \sum_{\mu = 1}^{\mu = 2n + 1} a_\mu^\nu m_\mu = 0,\]
worin die Gr\"{o}ssen $m$ ganze Zahlen w\"{a}ren, stattfinden,
und folglich, wie ich sp\"{a}ter zeigen werde, die $2n + 1$
Modulsysteme sich aus $2n$ Modulsystemen zusammensetzen lassen.

Man theile nun f\"{u}r jede der Gr\"{o}ssen $\xi$ die Strecke von
$0$ bis $1$ in $q$ gleiche Theile, wodurch das bei den $2n$
ersten Modulsystemen periodisch wiederkehrende Gebiet in $q^{2n}$
Gebiete zerf\"{a}llt, in deren jedem sich die Gr\"{o}ssen $\xi$
nur um
$\displaystyle\frac{1}{q}$
\"{a}ndern.  Offenbar m\"{u}ssen dann von mehr als $q^{2n}$ nach
den $2n + 1$ Modulsystemen einander congruenten und in jenem
Gebiete liegenden Gr\"{o}ssensystemen nothwendig zwei in dasselbe
Theilgebiet fallen, so dass sich die Werthe derselben
Gr\"{o}sse~$\xi$ in beiden keinenfalls um mehr als
$\displaystyle \frac{1}{q}$
von einander unterscheiden.  Die Function bleibt also dann
unge\"{a}ndert, w\"{a}hrend keine der Gr\"{o}ssen~$\xi$ um mehr
als
$\displaystyle \frac{1}{q}$
ge\"{a}ndert wird, und ist folglich, da $q$ beliebig gross
genommen werden kann, wenn sie stetig ist, eine Function von
weniger als $n$ linearen Ausdr\"{u}cken der Gr\"{o}ssen~$x$.

Es ist nun noch zu zeigen, dass sich $2n + 1$ Modulsysteme,
zwischen denen die $n$ Gleichungen
\[ \sum_{\mu = 1}^{\mu = 2n + 1} a_\mu^\nu m_\mu = 0 \]
stattfinden, aus $2n$ Modulsystemen zusammensetzen lassen.

Man kann zun\"{a}chst leicht beweisen, dass sich zu einem
Modulsysteme
\[ \sum_{\mu = 1}^{\mu = 2n} a_\mu^\nu m_\mu = b_1^\nu,\]
worin die Gr\"{o}ssen~$m$ ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen
Theiler sind, immer $2n - 1$ andere Modulsysteme
$b_2, b_3,\ldots, b_{2n}$ so finden lassen, dass Congruenz nach
den Modulsystemen $a$ mit Congruenz nach den Modulsystemen $b$
identisch ist.  Es seien $\theta_1$ der gr\"{o}sste
gemeinschaftliche Theiler von $m_1$ und $m_2$ und $\alpha$,
$\beta$ zwei der Gleichung
\[ \beta m_1 - \alpha m_2 = \theta_1 \]
gen\"{u}gende ganze Zahlen.  Setzt man dann
\[ a_1^\nu m_1 + a_2^\nu m_2 = c_1^\nu \theta_1 \]
und
\[ \alpha a_1^\nu + \beta a_2^\nu = b_{2n}^\nu,\]
so hat man
\[ a_1^\nu = \beta c_1^\nu - \frac{m_2}{\theta_1} b_{2n}^\nu,\quad
   a_2^\nu = - \alpha c_1^\nu + \frac{m_1}{\theta_1} b_{2n}^\nu.\]
Es lassen sich also auch umgekehrt die Modulsysteme $a_1$ und
$a_2$ aus den Modulsystemen $b_{2n}$ und $c_1$ zusammensetzen,
und folglich ist Congruenz nach jenen mit Congruenz nach diesen
gleichbedeutend.  Man kann daher die Modulsysteme $a_1$ und $a_2$
durch die Modulsysteme $c_1$ und $b_{2n}$ ersetzen.  Auf dieselbe
Weise kann man nun, wenn $\theta_2$ der gr\"{o}sste
gemeinschaftliche Theiler von $\theta_1$ und $m_2$ ist, die
Modulsysteme $c_1$ und $a_3$ durch das Modulsystem
\[ \frac{1}{\theta_2} ( \theta_1 c_1^\nu + m_3 a_3^\nu) = c_2^\nu \]
und durch ein Modulsystem $b_{2n - 1}$ ersetzen.  Durch
Fortsetzung dieses Verfahrens erh\"{a}lt man offenbar den zu
beweisenden Satz.  Der Inhalt des periodisch sich wiederholenden
Gebiets ist f\"{u}r die neuen Modulsysteme $b$ derselbe wie
f\"{u}r die alten.

Mit H\"{u}lfe dieses Satzes lassen sich in den $n$ Gleichungen
\[ \sum_1^{2n + 1} a_\mu^\nu m_\mu = 0 \]
die $2n$ ersten Modulsysteme so durch $2n$ neue
$b_1, b_2,\ldots, b_{2n}$
ersetzen, dass diese Gleichungen die Form
\[ p b_1^\nu - q a_{2n+1}^\nu = 0 \]
annehmen, worin $p$ und $q$ ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen
Theiler sind.  Sind nun $\gamma$, $\delta$ zwei der Gleichung
\[ p \delta + q \gamma = 1 \]
gen\"{u}gende ganze Zahlen, so lassen sich offenbar die beiden
Modulsysteme $b_1$ und $a_{2n+1}$ durch das eine Modulsystem
\[ \gamma b_1^\nu + \delta a_{2n+1}^\nu
   = \frac{a_{2n+1}^\nu}{p} = \frac{b_1^\nu}{q} \]
ersetzen.  S\"{a}mmtliche Modulsysteme, welche sich aus den
Modulsystemen
$a_1, a_2,\ldots, a_{2n+1}$ zusammensetzen lassen, k\"{o}nnen
also auch aus den $2n$ Modulsystemen
\[ \frac{b_1}{q}, b_2, b_3,\ldots, b_{2n} \]
zusammengesetzt werden, und umgekehrt.  Der Inhalt des
periodische wiederkehrenden Gebiets betr\"{a}gt f\"{u}r diese
$2n$ Modulsysteme nur
$\displaystyle \frac{1}{q}$
von dem f\"{u}r die $2n$ ersten Modulsysteme~$a$.  Hat die
Function nun ausser diesen Modulsystemen noch ein durch
\"{a}hnliche ganzzahlige Gleichungen mit ihnen verbundenes, so
lassen sich wieder $2n$ neue Modulsysteme finden, aus welchen
sich alle diese Modulsysteme zusammensetzen lassen, und der
Inhalt des periodisch sich wiederholenden Gebiets wird dabei
wieder auf einen aliquoten Theil reducirt.  Wenn dieses Gebiet
unendlich klein wird, so wird die Function eine Function von
weniger als $n$ linearen Ausdr\"{u}cken der Ver\"{a}nderlichen
und zwar von $n - 1$ oder $n - 2$ oder $n - m$, jenachdem nur
eine, oder zwei oder $m$ Dimensionen dieses Gr\"{o}ssengebiets
unendlich klein werden.  Soll dies aber nicht eintreten, so muss
die Operation schliesslich abbrechen, und man wird also zu $2n$
Modulsystemen gelangen, aus welchen sich s\"{a}mmtliche
Modulsysteme der Function zusammensetzen lassen.

G\"{o}ttingen, den 26.\ October 1859.

\end{document}