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\Large\bfseries
Anzeige: Beitr\"{a}ge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ darstellbaren Functionen.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[G\"{o}ttinger Nachrichten, 1857, Nr.~1.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998
\end{center}

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\title{Anzeige: Beitr\"{a}ge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ darstellbaren Functionen.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[G\"{o}ttinger Nachrichten, 1857, Nr.~1.]}

\maketitle

Am 6. November 1856 wurde der k\"{o}niglichen Societ\"{a}t eine
von ihrem Assessor, Herrn Doctor \emph{Riemann}, eingereichte
mathematische Abhandlung vorgelegt, welche \glqq
\emph{Beitr\"{a}ge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe\break
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$
darstellbaren Functionen}\grqq\ enth\"{a}lt.

Diese Abhandlung ist einer Classe von Functionen gewidmet, welche
bei der L\"{o}sung mancher Aufgaben der mathematischen Physik
gebraucht werden.  Aus ihnen gebildete Reihen leisten bei
schwierigeren Problemen dieselben Dienste, wie in den einfacheren
F\"{a}llen die jetzt so vielfach angewandten Reihen, welche nach
Cosinus und Sinus der Vielfachen einer ver\"{a}nderlichen
Gr\"{o}sse fortschreiten.  Diese Anwendungen, namentlich
astronomische, scheinen, nachdem schon Euler sich aus
theoretichem Interesse mehrfach mit diesen Functionen
besch\"{a}ftigt hatte, Gauss zu seinen Untersuchungen \"{u}ber
dieselben veranlasst zu haben, von denen er einen Theil in seiner
der K\"{o}n.\ Soc.\ im J.~1812 \"{u}bergebenen Abhandlung
\"{u}ber die Reihe, welche er durch
$F(\alpha, \beta, \gamma, x)$
bezeichnet, ver\"{o}ffentlicht hat.

Diese Reihe ist eine Reihe, in welcher der Quotient des
${(n + 1)}$\-ten Gliedes in das folgende
\[ = \frac{(n + \alpha)(n + \beta)}{(n + 1)(n + \gamma)} x \]
und das erste Glied $= 1$ ist.  Die f\"{u}r sie jetzt
gew\"{o}hnliche Benennung hypergeometrische Reihe ist schon
fr\"{u}her von Johann Friedrich Pfaff f\"{u}r die allgemeineren
Reihen vorgeschlagen worden, in denen der Quotient eines Gleides
in das folgende eine rationale Function des Stellenzeigers ist;
w\"{a}hrend Euler nach Wallis darunter eine Reihe verstand, in
welcher dieser Quotient eine ganze Function ersten Grades des
Stellenzeigers ist.

Die unver\"{o}ffentlichte Theil der Gauss'schen Untersuchungen
\"{u}ber diese Reihe, welcher sich in seinem Nachlasse
vorgefunden hat, ist unterdessen schon im J.~1835 durch die im
15.~Bande des Journals von Crelle enthaltenen Arbeiten Kummer's
erg\"{a}nzt worden.  Sie betreffen die Ausdr\"{u}cke der Reihe
durch \"{a}hnliche Reihen, in denen statt des Elements $x$ eine
algebraische Function dieser Gr\"{o}sse vorkommt.  Einen
speciellen Fall dieser Umformungen hatte schon Euler aufgefunden
und in seiner Integralrechnung, so wie in mehren Abhandlungen
behandelt (in der einfachsten Gestalt in den
N.~Acta Acad.\ Petr. T.~XII. p.~58); und diese Relation ward
sp\"{a}ter von Pfaff (Disquis.\ anal.\ Helmstadii 1797), Guderman
(Crelle J.  Bd.~7.  S.~306) und Jacobi auf verschiedenen Wegen
bewiesen.  Kummer gelang es, die Methode Euler's zu einem
Verfahren auszubilden, durch welches s\"{a}mmtliche
Transformationen gefunden werden konnten; die wirkliche
Ausf\"{u}hrung desselben erforderte aber so weitl\"{a}ufige
Discussionen, dass er f\"{u}r die Transformationen dritten Grades
von der Durchf\"{u}hrung derselben abstand und sich begn\"{u}gte,
die Transformationen ersten und zweiten Grades und die aus ihnen
zusammengesetzten vollst\"{a}ndig abzuleiten.

In der anzuzeigenden Abhandlung wird auf diese Transcendenten
eine Methode angewandt, deren Princip in der Inaug.\ Diss.\ des
Verfassers (Art.~20) ausgesprochen worden ist und durch die sich
s\"{a}mmtliche fr\"{u}her gefundenen Resultate fast ohne Rechnung
ergeben.  Einige weitere mittelst derselben Methode gewonnenen
Ergebnisse hofft der Verf.\ demn\"{a}chst der K\"{o}niglichen
Societ\"{a}t vorlegen zu k\"{o}nnen.

\end{document}