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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Annalen der Physik und Chemie.  Bd.~95.  1855.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Annalen der Physik und Chemie.  Bd.~95.  1855.]}

\maketitle

Die \emph{Nobili}'schen Farbenringe bilden ein sch\"{a}tzbares
Mittel, die Gesetze der Stromverzweigung in einem durch
Zersetzung leitenden K\"{o}rper experimentell zu studiren.  Die
Erzeugungsweise dieser Ringe ist folgende.  Man \"{u}bergiesst
eine Platte von Platin, vergoldetem Silber oder Neusilber mit
einer Aufl\"{o}sung von Bleioxyd in concentrirter Kalilauge und
l\"{a}sst den Strom einer starken galvanischen Batterie durch die
Spitze eines feinen in eine Glasr\"{o}hre eingeschmolzenen
Platindrahts in die Fl\"{u}ssigkeitsschicht ein- und durch die
Platte austreten.  Das Anion, Bleisuperoxyd nach \emph{Beetz},
lagert sich dann auf der Metallplatte in einer zarten
durchsichtigen Schicht ab, welche je nach der Entfernung von
Eintrittspunkte des Stroms verschiedene Dicke besitzt, so dass
die Platte nach Entfernung der Fl\"{u}ssigkeit \emph{Newton}'sche
Farbenringe zeigt.  Aus diesen Farbenringen l\"{a}sst sich dann
die relative Dicke der Schicht in verschiedenen Entfernungen
bestimmen und hieraus mittelst des \emph{Faraday}'schen Gesetzes,
nach welchem die Menge der abgeschiedenen Substanz der
durchgegangenen Electricit\"{a}tsmenge allenthalben proportional
sein muss, die Stromvertheilung beim Austritt aus der
Fl\"{u}ssigkeit ableiten.

Der erste Versuch, die Stromvertheilung durch Rechnung zu
bestimmen und das gefundene Resultat mit der Erfahrung zu
vergleichen, ist von \emph{E.~Becquerel} gemacht worden.
Derselbe hat vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der
Fl\"{u}ssigkeitsschicht gegen ihre Dicke als unendlich gross
betrachtet werden d\"{u}rfe, der Strom durch einen Punkt ihrer
Oberfl\"{a}che eintrete und sich nach den \emph{Ohm}'schen
Gesetzen in derselben ausbreite.  Er glaubt nun bei diesen
Voraussetzungen ohne merklichen Fehler die Str\"{o}mungscurven
als gerade Linien betrachten zu k\"{o}nnen und leitet aus dieser
Annahme das Gesetz ab, dass die Dicke der niedergeschlagenen
Schicht dem Abstande vom Eintrittspunkte umgekehrt proportional
sein m\"{u}sste, welches Gesetz er experimentell best\"{a}tigt
habe.

Herr \emph{Du-Bois-Reymond} hat dagegen in einem vor der
physikalischen Gesellschaft zu Berlin gehaltenen Vortrage
gezeigt, dass bei Voraussetzung gerader Str\"{o}mungslinien die
Dicke der in ihrem Endpunkte abgeschiedenen Substanz vielmehr dem
Cubus ihrer L\"{a}nge umgekehrt proportional sich ergiebt und
dadurch Herrn \emph{Beetz} zu einer Reihe von dem Anschein nach
best\"{a}tigenden Versuchen veranlasst, welche in Poggendorff's
Annalen Bd.~71, S.~71 beschrieben sind und viel Vertrauen
erwecken.

Die genaue Rechnung indessen lehrt, dass die Voraussetzung
gerader Str\"{o}mungslinien unzul\"{a}ssig ist und ein ganz
falsches Resultat liefert.  Allerdings sind die
Str\"{o}mungslinien, wenigstens bei gr\"{o}sserer Entfernung
ihres Austrittspunktes (da sie zwischen zwei sehr nahen
Parallel-Linien liegen und h\"{o}chstens einen Wendepunkt
besitzen), in dem mittleren Theile ihres Laufes in
betr\"{a}chtlicher Ausdehnung sehr wenig gekr\"{u}mmt; hieraus
aber darf man keineswegs schliessen, dass sie ohne merklichen
Fehler durch gerade von ihrem Eintrittspunkte nach ihrem
Austrittspunkte gehende Linien ersetzt werden k\"{o}nnen.  Ich
werde zun\"{a}chst die bei genauer Rechnung aus den
Voraussetzungen der Herren \emph{E.~Becquerel} und
\emph{Du-Bois-Reymond} fliessenden Folgerungen entwickeln und
schliesslich auf die Versuche des Herrn \emph{Beetz}
zur\"{u}ckzukommen mir erlauben.

Ich nehme an, dass der Eintritt des Stromes in die durch zwei
horizontale Ebenen begrenzte Fl\"{u}ssigkeitsschicht in einem
Punkte stattfinde, und bezeichne f\"{u}r einen Punkt derselben
den Horizontalabstand von Einstr\"{o}mungspunkt durch~$r$, die
H\"{o}he \"{u}ber der unteren Grenzfl\"{a}che durch~$z$, die
Erhebung seiner Spannung \"{u}ber die Spannung an der oberen
Seite dieser Grenzfl\"{a}che durch~$u$.  Ferner sei die
St\"{a}rke des ganzen Stromes~$S$, der specifische
Leitungswiderstand der Fl\"{u}ssigkeit~$w$, im
Einstr\"{o}mungspunkt $z = \alpha$, an der Oberfl\"{a}che $z =
\beta$.  Es muss nun $u$ als Function von $r$ und $z$ bestimmt
werden; die Stromintensit\"{a}t im Punkte $(r,0)$, welcher nach
dem \emph{Faraday}'schen Gesetz die gesuchte Dicke der dort
niedergeschlagenen Schicht proportional sein muss, ist dann
gleich dem Werthe von
$\displaystyle \frac{1}{w} \frac{\partial u}{\partial z}$
in diesem Punkte.

Wird zun\"{a}cht vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der
Fl\"{u}ssigkeitsschicht gegen ihre Dicke als unendlich gross
betrachtet werden d\"{u}rfe, so sind die Bedingungen zur
Bestimmung von $u$
\begin{quote}
\begin{tabular}{lll}
(1)\quad &f\"{u}r $-\infty < r < \infty$, $0 < z < \beta$& \\
   &\multicolumn{2}{l}\quad
      $\displaystyle
            \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}
          + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}
          + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
            = 0$;\\[12 pt]
(2)\quad &f\"{u}r $-\infty < r < \infty$, $z = 0$,&$u = 0$;\\[12 pt]
(3)\quad &f\"{u}r $-\infty < r < \infty$, $z = \beta$,&$\displaystyle
      \frac{\partial u}{\partial z} = 0$;\\[12 pt]
(4)\quad &f\"{u}r $r = \pm \infty$, $0 < z < \beta$,&$u$ endlich;\\[12 pt]
(5)\quad &f\"{u}r $r = 0$, $z = \alpha$,& \\
   &\multicolumn{2}{l}\quad
      $\displaystyle
            \left.
            \begin{array}{r}
            \displaystyle
            u = \frac{wS}{4 \pi}
               \frac{1}{\sqrt{rr + (z - \alpha)^2}} \\
            \displaystyle
            \mbox{oder } = \frac{wS}{2 \pi}
               \frac{1}{\sqrt{rr + (z - \alpha)^2}} \\
            \end{array}
            \right\} +$ einer
\end{tabular}
\end{quote}
stetigen Function von $r$, $z$, je nachdem der
Einstr\"{o}mungspunkt im Innern oder in der Oberfl\"{a}che liegt.

Diesen Bedingungen gen\"{u}gt
\[ u = \frac{sW}{4\pi} \sum_{-\infty, \infty} (-1)^m
         \left(
            \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta - \alpha)^2}}
          - \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta + \alpha)^2}}
         \right) \]
oder wenn man zur Vereinfachung
$\displaystyle S = \frac{4\pi}{w}$ annimmt:
\[ u = \sum_{-\infty, \infty} (-1)^m
         \left(
            \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta - \alpha)^2}}
          - \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta + \alpha)^2}}
         \right).\]

Setzt man
\[ u =   a_1 \sin   \frac{\pi z}{2 \beta}
       + a_2 \sin 2 \frac{\pi z}{2 \beta}
       + a_3 \sin 3 \frac{\pi z}{2 \beta}
       + \cdots,\]
so wird f\"{u}r ein gerades $n$ der Coefficient $a_n = 0$ und
f\"{u}r ein ungerades
\begin{eqnarray*}
\beta a_n &=& \int_0^{2\beta} \sin n \frac{\pi t}{2 \beta}
            \sum_{-\infty, \infty} (-1)^m
         \biggl(
            \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta - \alpha)^2}}
   \\
  & & \qquad
          - \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta + \alpha)^2}}
         \biggr) \\
  &=& \int_{-\infty}^\infty
         \left(
            \sin n \frac{\pi}{2 \beta} (t + \alpha)
          - \sin n \frac{\pi}{2 \beta} (t - \alpha)
         \right)
         \frac{dt}{\sqrt{rr + tt}} \\
   &=& 2 \sin n \frac{\pi \alpha}{2 \beta}
         \int_{-\infty}^\infty \cos n \frac{\pi t}{2 \beta}
         \frac{dt}{\sqrt{rr + tt}} \\
   &=& 2 \sin n \frac{\pi \alpha}{2 \beta}
         \int_{-\infty}^\infty
         \frac{\displaystyle
            e^{n \frac{\pi}{2\beta} ti} \, dt}{\sqrt{rr + tt}}.
\end{eqnarray*}

In letzterem Integral kann statt
$\int\limits_{-\infty}^\infty$
auch
$2 \int\limits_{ri}^{\infty i}$
geschrieben werden.  F\"{u}hrt man f\"{u}r $t$ als
Ver\"{a}nderliche $tri$ ein, so erh\"{a}lt man
\[ a_n = \frac{\displaystyle 4 \sin n \frac{\pi}{2 \beta} \alpha}{\beta}
            \int_1^\infty \frac{\displaystyle
               e^{-n \frac{\pi}{2\beta} r t} \, dt}{\sqrt{tt - 1}},\]
also
\[ u = \sum \sin n \frac{\pi}{2 \beta} z \,
         \frac{\displaystyle 4 \sin n \frac{\pi}{2 \beta} \alpha}{\beta}
            \int_1^\infty \frac{\displaystyle
               e^{-n \frac{\pi}{2\beta} r t} \, dt}{\sqrt{tt - 1}},\]
\"{u}ber all positiven ungeraden Werthe von $n$ ausgedehnt.

Nimmt man an, dass die Fl\"{u}ssigkeit bei $r = c$ begrenzt sei
und zwar beispielshalber durch einen Nichtleiter, so muss f\"{u}r
$r = c$
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = 0$
werden und also zu dem oben erhaltenen Werth von $u$, der durch
$u'$ bezeichnet werden m\"{o}ge, noch eine Function $u''$
hinzuf\"{u}gt werden, welche folgenden Bedingungen gen\"{u}gt
\begin{quote}
\begin{tabular}{lll}
(1)\quad &f\"{u}r $-c < r < c$, $0 < z < \beta$& \\
   &\multicolumn{2}{l}\quad
      $\displaystyle
            \frac{\partial^2 u''}{\partial r^2}
          + \frac{1}{r} \frac{\partial u''}{\partial r}
          + \frac{\partial^2 u''}{\partial z^2}
            = 0$;\\[12 pt]
(2)\quad &f\"{u}r $-c < r < c$, $z = 0$,&$u'' = 0$;\\[12 pt]
(3)\quad &f\"{u}r $-c < r < c$, $z = \beta$,&$\displaystyle
      \frac{\partial u''}{\partial z} = 0$;\\[12 pt]
(4)\quad &f\"{u}r $r = \pm c$, $0 < z < \beta$,&$\displaystyle
         \frac{\partial u''}{\partial r}
            = - \frac{\partial u'}{\partial r}$;
\end{tabular}
\end{quote}
und \"{u}berall stetig ist.

Den Bedingungen (1) bis (3) zufolge muss $u''$ ebenfalls in der
Form
\[       b_1 \sin   \frac{\pi}{2 \beta} z
       + b_3 \sin 3 \frac{\pi}{2 \beta} z
       + b_5 \sin 5 \frac{\pi}{2 \beta} z
       + \cdots,\]
darstellbar sein, und zwar fliesst aus (1) f\"{u}r $b_n$ die
Bedingung
\[       \frac{\partial^2 b_n}{\partial r^2}
       + \frac{1}{r} \frac{\partial b_n}{\partial r}
       - \frac{n n \pi \pi}{4 \beta \beta} b_n
   = 0.\]

Eine particul\"{a}re L\"{o}sung dieser Gleichung ist, wie schon
bekannt,
\[ \int_1^\infty \frac{\displaystyle
      e^{-n \frac{\pi}{2\beta} r t} \, dt}{\sqrt{tt - 1}};\]
eine andere erh\"{a}lt man, wenn man dasselbe Integral zwischen
$-1$ und $1$ nimmt; die allgemeinste ist also, wenn $c_n$ und
$\gamma_n$ Constanten bedeuten,
\[ b_n = c_n
            \int_1^\infty \frac{\displaystyle
               e^{-n \frac{\pi}{2\beta} r t} \, dt}{\sqrt{tt - 1}}
         + \gamma_n
            \int_{-1}^1 \frac{\displaystyle
               e^{-n \frac{\pi}{2\beta} r t} \, dt}{\sqrt{1 - tt}} \]
oder wenn man
\[ \int_1^\infty \frac{e^{-2qt} \, dt}{\sqrt{tt - 1}}
   \mbox{ durch } f(q),\quad
   \int_{-1}^1   \frac{e^{-2qt} \, dt}{\sqrt{1 - tt}}
   \mbox{ durch } \varphi(q) \]
bezeichnet:
\[ b_n = c_n f \left( n \frac{\pi}{4 \beta} r \right)
         + \gamma_n \varphi \left( n \frac{\pi}{4 \beta} r \right).\]

Die Entwicklung nach steigenden Potentzen von $q$ giebt
\begin{eqnarray*}
f(q) &=& \sum_{0, \infty} \frac{q^{2m}}{m! m!} (\Psi(m) - \log q),\\
\varphi(q) &=& \pi \sum_{0, \infty} \frac{q^{2m}}{m! m!};
\end{eqnarray*}
es wird also $f(q)$ f\"{u}r $q = 0$ unendlich und damit $u''$
f\"{u}r $r = 0$ stetig bleibe, muss $c_n$ sein; $\gamma_n$
ergiebt sich dann aus (4) gleich
\[ - \frac{\displaystyle 4 \sin n \frac{\pi}{2 \beta} \alpha}{\beta}
     \frac{\displaystyle
         f' \left( n \frac{\pi}{4 \beta} c \right)}{\displaystyle
         \varphi' \left( n \frac{\pi}{4 \beta} c \right)},\]
mithin
\[ u = \sum\nolimits^n \sin n \frac{\pi}{2 \beta} z \,
         \frac{\displaystyle 4 \sin n \frac{\pi}{2 \beta} \alpha}{\beta}
         \left\{
         f \left( n \frac{\pi}{4 \beta} r \right)
         - \varphi \left( n \frac{\pi}{4 \beta} r \right)
         \frac{\displaystyle
         f' \left( n \frac{\pi}{4 \beta} c \right)}{\displaystyle
         \varphi' \left( n \frac{\pi}{4 \beta} c \right)}
         \right\},\]
\"{u}ber positiven ungeraden Werthe von $n$ ausgedehnt.

Zur Berechnung von $f(q)$ und $\varphi(q)$ k\"{o}nnen f\"{u}r
grosse Werthe von $q$ die halbconvergenten Reihen
\begin{eqnarray*}
f(q) &=& e^{-2q}\sqrt{ \frac{\pi}{4q}} \sum_{m < 4q + 1}
         (-1)^m \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
                  \overline{2m-1})^2}{m! (16q)^m},\\
\varphi(q) &=& e^{2q}\sqrt{ \frac{\pi}{4q}} \sum_{m < 4q + 1}
         (-1)^m \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
                  \overline{2m-1})^2}{m! (16q)^m}
\end{eqnarray*}
benutzt werden, welche indess ihren Werth nur bis auf Bruchtheile
von der Ordnung der Gr\"{o}sse $e^{-4q}$ geben; gen\"{u}gt diese
Genauigkeit nicht, so ist es wohl am zweckm\"{a}ssigsten die
Entwicklungen nach steigenden Potenzen von $q$ anzuwenden.

F\"{u}r hinreichend grosse Werthe von
$\displaystyle \frac{r}{\beta}$
erh\"{a}lt man also mit Vernachl\"{a}ssigung von Gr\"{o}ssen von
der Ordnung der Gr\"{o}sse $e^{-3 \frac{\pi}{2\beta}} r$
\begin{eqnarray*}
u &=& \sin \frac{\pi z}{2 \beta} \frac{\displaystyle
         4 \sin \frac{\pi \alpha}{2 \beta}}{\beta}
         \sqrt{\frac{\beta}{r}}
         \Biggl\{ e^{-\frac{\pi r}{2 \beta}}
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2}{m!}
            \left( - \frac{\beta}{4 \pi r} \right)^m \\
  & &  - \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2}{m!}
            \left( \frac{\beta}{4 \pi r} \right)^m
            e^{\frac{\pi}{2 \beta} (r - 2c)} \\
  & & \quad \times \frac{\displaystyle
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2 (2m + 1)}{m! (2m - 1)}
            \left( - \frac{\beta}{4 \pi c} \right)^m}{\displaystyle
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2 (2m + 1)}{m! (2m - 1)}
            \left( \frac{\beta}{4 \pi c} \right)^m}
         \Biggr\}
\end{eqnarray*}
und die Dicke der Schicht proportional
$\displaystyle \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)_0$
oder proportional
\begin{eqnarray*}
  & &    \frac{\displaystyle e^{-\frac{\pi r}{2 \beta}}}{\sqrt{r}}
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2}{m!}
            \left( - \frac{\beta}{4 \pi r} \right)^m \\
  & &  - \frac{\displaystyle e^{\frac{\pi}{2 \beta} (r - 2c)}}{\sqrt{r}}
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2}{m!}
            \left( \frac{\beta}{4 \pi r} \right)^m \\
  & & \quad \times \frac{\displaystyle
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2 (2m + 1)}{m! (2m - 1)}
            \left( - \frac{\beta}{4 \pi c} \right)^m}{\displaystyle
         \sum \frac{(1 \mathbin{.} 3 \, \ldots \,
            \overline{2m - 1})^2 (2m + 1)}{m! (2m - 1)}
            \left( \frac{\beta}{4 \pi c} \right)^m}.
\end{eqnarray*}

Dieses Resultat bleibt im Allgemeinen auch richtig, wenn statt
des Einst\"{o}mungspunktes eine beliebige Umdrehungsfl\"{a}che
als Kathode angenommen wird; denn f\"{u}r Werthe von $r$ zwischen
$c$ und demjenigen Werthe, bis zu welchem die Bedingungen (1) bis
(3) g\"{u}ltig bleiben, muss $u$ auch dann durch eine Reihe von
der Form
\[ u = \sum K_n \sin n \frac{\pi z}{2 \beta} \left\{
         f \left( n \frac{\pi r}{4 \beta} \right)
       - \varphi \left( n \frac{\pi r}{4 \beta} \right)
         \frac{\displaystyle
         f' \left( n \frac{\pi c}{4 \beta} \right)}{\displaystyle
         \varphi' \left( n \frac{\pi c}{4 \beta} \right)}
         \right\}\]
dargestellt werden.  Eine Ausnahme w\"{u}rde nur eintreten, wenn
$K_1 = 0$ w\"{u}rde.

Die von Herrn \emph{E.~Becquerel} gemachte und von Herrn
\emph{Du-Bois-Reymond} in Wesentlichen beibehaltene specielle
Voraussetzung ist die, dass die Kathode ein Punkt der
Oberfl\"{a}che, also $\alpha = \beta$ sei; in diesem Falle ist,
wie die gef\"{u}hrte Rechnung zeigt, die Dicke der Schicht
f\"{u}r grosse Werthe von
$\displaystyle \frac{r}{\alpha}$
weder der Entfernung von Einstr\"{o}mungspunkte, wie Herr
\emph{Becquerel}, noch ihrem Cubus, wie Herr
\emph{Du-Bois-Reymond} gefunden hat, umgekehrt proportional,
sondern sie nimmt mit wachsenden
$\displaystyle \frac{r}{\alpha}$
vielmehr ab, wie eine Potenz mit dem Exponenten
$\displaystyle \frac{r}{\alpha}$,
so dass
\[ \frac{\displaystyle \alpha \log
      \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)_0}{r} \]
sich einem festen Grenzwerthe
$\displaystyle - \frac{\pi}{2}$ schliesslich bis zu jedem Grade
n\"{a}hert.  Dagegen ist das Gesetz des Herrn
\emph{Du-Bois-Reymond} nicht bloss n\"{a}herungsweise f\"{u}r
grosse Werthe von
$\displaystyle \frac{r}{\alpha}$,
sondern strenge richtig, wenn $\beta = \infty$ ist, da sich
alsdann
\[ u = \sum_{-\infty, \infty} (-1)^m
         \left(
            \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta - \alpha)^2}}
          - \frac{1}{\sqrt{rr + (z + 2 m \beta + \alpha)^2}}
         \right) \]
auf
\[ \frac{1}{\sqrt{rr + (z - \alpha)^2}}
      - \frac{1}{\sqrt{rr + (z + \alpha)^2}} \]
und folglich
\[ \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)_0
   \mbox{ auf }
   \frac{2\alpha}{\sqrt{rr + \alpha \alpha}^3} \]
reducirt.  Die Vermuthung aber, aus welcher derselbe dieses
Resultat abgeleitet hat, dass n\"{a}mlich die Str\"{o}mungslinien
als gerade betrachtet werden d\"{u}rften, best\"{a}tigt sich
keineswegs.  Die Gleichung der Str\"{o}mungslinien ist
\[ \int
      \left(
         r \frac{\partial u}{\partial z} \, dr
       - r \frac{\partial u}{\partial z} \, dz
      \right)
   = v = \mathrm{const.},\]
und zwar ist die Constante, multiplicirt mit
$\displaystyle \frac{2\pi}{w}$,
wenn man das Integral so nimmt, dass es f\"{u}r $r = 0$
verschwindet, gleich dem innerhalb der Umdrehungsfl\"{a}che
($v = \mathrm{const.}$)
fliessenden Theile des Stromes.  In unserem Falle also sind die
Str\"{o}mungslinien die in der Gleichung
\[ v  = 2 - \frac{z + \alpha}{\sqrt{rr + (z + \alpha)^2}}
        \pm \frac{z - \alpha}{\sqrt{rr + (z - \alpha)^2}}
      = \mathrm{const.} \]
enthaltenen Linien, welche Linien f\"{u}r alle gr\"{o}sseren
Werthe der const.\ betr\"{a}chtlich von einer geraden abweichen.
Da \emph{Herr Du-Bois-Reymond} zwar die Annahme macht, dass der
Einstr\"{o}mungspunkt in der Oberfl\"{a}che liege, seine ferneren
Schl\"{u}sse aber nicht wesentlich auf diese Annahme st\"{u}tzt,
so liegt wohl die Vermuthung nahe, dass bei den Versuchen des
Herrn \emph{Beetz}, welche eine nicht zu verkennende
Ann\"{a}herung an das Gesetz der Cuben ergeben, die Forderung der
Herrn \emph{Du-Bois-Reymond}, dass die Oberfl\"{a}che der
Fl\"{u}ssigkeit durch die Einstr\"{o}mungspunkt gehe, nicht
ber\"{u}cksichtigt worden ist, sondern dass Herr \emph{Beetz},
was zweckm\"{a}ssiger sein d\"{u}rfte, gr\"{o}ssere
Fl\"{u}ssigkeitsmengen anwandte, so dass in der Reihe f\"{u}r
$\displaystyle \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)_0$
\[ \sum_{-\infty, \infty} (-1)^m
         \left(
            \frac{2m \beta + \alpha}{\sqrt{rr + (2 m \beta + \alpha)^2}^3}
          - \frac{2m \beta - \alpha}{\sqrt{rr + (2 m \beta - \alpha)^2}^3}
         \right) \]
die sp\"{a}teren Glieder oder doch ihre Summe gegen das erste
vernachl\"{a}ssigt werden konnten.  In diesem Falle w\"{u}rden
die h\"{u}bschen Versuche des Herren \emph{Beetz} wirklich als
ein Beweis anzusehen sein, dass die Stromvertheilung nahezu nach
den vorausgesetzten Gesetzen erfolgt.  Sollte aber diese
Vermuthung irrig sein, so w\"{a}re aus Herrn \emph{Beetz}'s
Versuchen zu schliessen, dass noch andere Umst\"{a}nde bei der
Berechnung der Stromvertheilung in Betracht zu ziehen sind, deren
Ermittlung einer neuen experimentellen Untersuchung obliegen
w\"{u}rde.

\end{document}