\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \renewcommand{\leq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr =\cr\noalign{\kern-8pt}<\cr}}}} \renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}} \newcommand{\asterisktriangle}{\centerline{${\displaystyle * \hskip 36pt * \atop \displaystyle *}$}} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large\bfseries Grundlagen f\"{u}r eine allgemeine Theorie der Functionen einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse.\\[12 pt] Bernhard Riemann\\[12 pt] [Inauguraldissertation, G\"{o}ttingen, 1851; zweiter unver\"{a}nderter Abdruck, G\"{o}ttingen 1867.]\\[24 pt] \large\mdseries Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt] Preliminary Version: December 1998\\ Corrected: April 2000 \end{center} \newpage \setcounter{page}{1} \title{Grundlagen f\"{u}r eine allgemeine Theorie der Functionen einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse.} \author{Bernhard Riemann} \date{[Inauguraldissertation, G\"{o}ttingen, 1851; zweiter unver\"{a}nderter Abdruck, G\"{o}ttingen 1867.]} \maketitle \centerline{1.} \nobreak\medskip Denkt man sich unter $z$ eine ver\"{a}nderliche Gr\"{o}sse, welche nach und nach alle m\"{o}glichen reellen Werthe annehmen kann, so wird, wenn jedem ihrer Werthe ein einziger Werth der unbestimmten Gr\"{o}sse $w$ entspricht, $w$ eine Function von $z$ genannt, und wenn, w\"{a}hrend $z$ alle zwischen zwei festen Werthen gelegenen Werthe stetig durchl\"{a}uft, $w$ ebenfalls stetig sich \"{a}ndert, so heisst diese Function innerhalb dieses Intervalls stetig oder continuirlich. Diese Definition setzt offenbar zwischen den einzelnen Werthen der Function durchaus kein Gesetz fest, indem, wenn \"{u}ber diese Function f\"{u}r ein bestimmtes Intervall verf\"{u}gt ist, die Art ihrer Fortsetzung ausserhalb desselben ganz der Willk\"{u}r \"{u}berlassen bleibt. Die Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von $z$ kann durch ein mathematisches Gesetz gegeben sein, so dass durch bestimmte Gr\"{o}ssenoperationen zu jedem Werthe von $z$ das ihm entsprechende $w$ gefunden wird. Die F\"{a}higkeit, f\"{u}r alle innerhalb eines gegebenen Intervalls liegenden Werthe von $z$ durch dasselbe Abh\"{a}ngigkeitsgesetz bestimmt zu werden, schrieb man fr\"{u}her nur einer gewissen Gattung von Functionen zu (functiones continuae nach Euler's Sprachgebrauch); neuere Untersuchungen haben indess gezeigt, dass es analytische Ausdr\"{u}cke giebt, durch welche eine jede stetige Function f\"{u}r ein gegebenes Intervall dargestellt werden kann. Es ist daher einerlei, ob man die Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von der Gr\"{o}sse $z$ als eine willk\"{u}rlich gegebene oder als eine durch bestimmte Gr\"{o}ssenoperationen bedingte definirt. Beide Begriffe sind in Folge der erw\"{a}hnten Theoreme congruent. Anders verh\"{a}lt es sich aber, wenn die Ver\"{a}nderlichkeit der Gr\"{o}sse $z$ nicht auf reelle Werthe beschr\"{a}nkt wird, sondern auch complexe von der Form $x + yi$ (wo $i = \sqrt{-1}$) zugelassen werden. Es seien $x + yi$ und $x + yi + dx + dy \, i$ zwei unendlich wenig verschiedene Werthe der Gr\"{o}sse $z$, welchen die Werthe $u + vi$ und $u + vi + du + dv \, i$ der Gr\"{o}sse $w$ entsprechen. Alsdann wird, wenn die Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von $z$ eine willk\"{u}rlich angenommenene ist, das Verh\"{a}ltniss $\displaystyle\frac{du + dv \, i}{dx + dy \, i}$ sich mit den Werthen von $dx$ und $dy$, allgemein zu reden, \"{a}ndern, indem, wenn man $dx + dy \, i = \varepsilon e^{\varphi i}$ setzt, \begin{eqnarray*} \frac{du + dv \, i}{dx + dy \, i} &=& {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) i \\ & & + {\textstyle\frac{1}{2}} \left[ \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) i \right] \frac{dx - dy \, i}{dx + dy \, i} \\ &=& {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) + {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) i \\ & & + {\textstyle\frac{1}{2}} \left[ \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) i \right] e^{-2 \varphi i} \end{eqnarray*} wird. Auf welche Art aber auch $w$ als Function von $z$ durch Verbindung der einfachen Gr\"{o}ssenoperationen bestimmt werden m\"{o}ge, immer wird der Werth des Differentialquotienten $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von dem besondern Werthe des Differentials $dz$ unabh\"{a}ngig sein\footnote{Diese Behauptung ist offenbar in allen F\"{a}llen gerechtfertigt, wo sich aus dem Ausdrucke von $w$ durch $z$ mittelst der Regeln der Differentiation ein Ausdruck von $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ durch $z$ finden l\"{a}sst; ihre streng allgemeine G\"{u}ltigkeit bleibt f\"{u}r jetzt dahin gestellt.}. Offenbar kann also auf diesem Wege nicht jede beliebige Abh\"{a}ngigkeit der complexen Gr\"{o}sse $w$ von der complexen Gr\"{o}sse $z$ ausgedr\"{u}ckt werden. Das eben hervorgehobene Merkmal aller irgendwie durch Gr\"{o}ssenoperationen bestimmbaren Functionen werden wir f\"{u}r die folgende Untersuchung, wo eine solche Function unabh\"{a}ngig von ihrem Ausdrucke betrachtet werden soll, zu Grunde legen, indem wir, ohne jetzt dessen Allgemeing\"{u}ltigkeit und Zul\"{a}nglichkeit f\"{u}r den Begriff einer durch Gr\"{o}ssenoperationen ausdr\"{u}ckbaren Abh\"{a}ngigkeit zu beweisen, von folgender Definition ausgehen: Eine ver\"{a}nderliche complexe Gr\"{o}sse $w$ heisst eine Function einer andern ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse $z$, wenn sie mit ihr sich so \"{a}ndert, dass der Werth des Differentialquotienten $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ unabh\"{a}ngig von dem Werthe des Differentials $dz$ ist. \medbreak \centerline{2.} \nobreak\medskip Sowohl die Gr\"{o}sse $z$, als die Gr\"{o}sse $w$ werden als ver\"{a}nderliche Gr\"{o}ssen betrachtet, die jeden complexen Werth annehmen k\"{o}nnen. Die Auffassung einer solchen Ver\"{a}nderlichkeit, welche sich auf ein zusammenh\"{a}ngendes Gebiet von zwei Dimensionen erstreckt, wird wesentlich erleichtert durch eine Ankn\"{u}pfung an r\"{a}umliche Anschauungen. Man denke sich jeden Werth $x + yi$ der Gr\"{o}sse $z$ repr\"{a}sentirt durch einen Punkt~$O$ der Ebene~$A$, dessen rechwinklige Coordinaten $x$,~$y$, jeden Werth $u + vi$ der Gr\"{o}sse $w$ durch einen Punkt~$Q$ der Ebene~$B$, dessen rechtwinklige Coordinaten $u$, $v$ sind. Eine jede Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von $z$ wird sich dann darstellen als eine Abh\"{a}ngigkeit der Lage des Punktes~$Q$ von der des Punktes~$O$. Entspricht jedem Werthe von $z$ ein bestimmter mit $z$ stetig sich \"{a}ndernder Werth von $w$, mit andern Worten, sind $u$ und $v$ stetige Functionen von $x$,~$y$, so wird jedem Punkte der Ebene~$A$ ein Punkt der Ebene~$B$, jede Linie, allgemein zu reden, eine Linie, jedem zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}chenst\"{u}cke ein zusammenh\"{a}ngendes Fl\"{a}chenst\"{u}ck entsprechen. Man wird sich also diese Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von $z$ vorstellen k\"{o}nnen als eine Abbildung der Ebene~$A$ auf der Ebene~$B$. \medbreak \centerline{3.} \nobreak\medskip Es soll nun untersucht werden, welche Eigenschaft diese Abbildung erh\"{a}lt, wenn $w$ eine Function der complexen Gr\"{o}sse $z$, d.~h.\ wenn $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von $dz$ unabh\"{a}ngig ist. Wir bezeichnen durch $o$ einen unbestimmten Punkt der Ebene~$A$ in der N\"{a}he von $O$, sein Bild in der Ebene $B$ durch $q$, ferner durch $x + yi + dx + dy \, i$ und $u + vi + du + dv \, i$ die Werthe der Gr\"{o}ssen $z$ und $w$ in diesen Punkten. Es k\"{o}nnen dann $dx$, $dy$ und $du$, $dv$ als rechtwinklige Coordinaten der Punkte $o$ und $q$ in Bezug auf die Punkte $O$ und $Q$ als Anfangspunkte angesehen werden, und wenn man $dx + dy \, i = \varepsilon e^{\varphi i}$ und $du + dv \, i = \eta e^{\psi i}$ setzt, so werden die Gr\"{o}ssen $\varepsilon$, $\phi$, $\eta$, $\psi$ Polarcoordinaten dieser Punkte f\"{u}r dieselben Anfangspunkte sein. Sind nun $o'$ und $o''$ irgend zwei bestimmte Lagen des Punktes $o$ in unendlicher N\"{a}he von $O$, und dr\"{u}ckt man die von ihnen abh\"{a}ngigen Bedeutungen der \"{u}brigen Zeichen durch entsprechene Indices aus, so giebt die Voraussetzung \[ \frac{du' + dv' \, i}{dx' + dy' \, i} = \frac{du'' + dv'' \, i}{dx'' + dy'' \, i} \] und folglich \[ \frac{du' + dv' \, i}{du'' + dv'' \, i} = \frac{\eta'}{\eta''} e^{(\psi' - \psi'') i} = \frac{dx' + dy' \, i}{dx'' + dy'' \, i} = \frac{\varepsilon'}{\varepsilon''} e^{(\varphi' - \varphi'') i},\] woraus $\displaystyle \frac{\eta'}{\eta''} = \frac{\varepsilon'}{\varepsilon''}$ und $\psi' - \psi'' = \varphi' - \varphi''$, d.~h.\ in den Dreiecken $o' O o''$ und $q' Q q''$ sind die Winkel $o' O o''$ und $q' Q q''$ gleich und die sie einschliessenden Seiten einander proportional. Es findet also zwischen zwei einander entsprechenden unendlich kleinen Dreiecken und folglich allgemein zwischen den kleinsten Theilen der Ebene~$A$ und ihres Bildes auf der Ebene~$B$ Aehnlichkeit Statt. Eine Ausnahme von diesem Satze tritt nur in den besonderen F\"{a}llen ein, wenn die einander entsprechenden Aenderungen der Gr\"{o}ssen $z$ und $w$ nicht in einem endlichen Verh\"{a}ltnisse zu einander stehen, was bei Herleitung desselben stillschweigend vorausgesetzt ist\footnote{Ueber diesen Gegenstand sehe man: \glqq Allgemeine Aufl\"{o}sung der Aufgabe: Die Theile einer gegebenen Fl\"{a}che so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich wird\grqq, von \emph{C.~F.~Gauss}. (Als Beantwortung der von der k\"{o}niglichen Societ\"{a}t der Wissenschaften in Copenhagen f\"{u}r 1822 aufgegebenen Preisfrage, abgedruckt in: \glqq Astronomische Abhandlungen, herausgegeben von Schumacher. Drittes Heft. Altona. 1825.\grqq) (Gauss Werke Bd.~IV, p.~189.)}. \medbreak \centerline{4.} \nobreak\medskip Bringt man den Differentialquotienten $\displaystyle \frac{du + dv \, i}{dx + dy \, i}$ in die Form \[ \frac{\displaystyle \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial x} i \right) \, dx + \left( \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} i \right) \, dy \, i}{dx + dy \, i},\] so erhellt, dass er und zwar nur dann f\"{u}r je zwei Werthe von $dx$ und $dy$ denselben Werth haben wird, wenn \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \mbox{und} \quad \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y} \] ist. Diese Bedingungen sind also hinreichend und nothwendig, damit $w = u + vi$ eine Function von $z = x + yi$ sei. F\"{u}r die einzelnen Glieder dieser Function fliessen aus ihnen die folgenden: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,\quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0,\] welche f\"{u}r die Untersuchung der Eigenschaften, die Einem Gliede einer solchen Function einzeln betrachtet zukommen, die Grundlage bilden. Wir werden den Beweis f\"{u}r die wichtigsten dieser Eigenschaften einer eingehenderen Betrachtung der vollst\"{a}ndigen Function voraufgehen lassen, zuvor aber noch einige Punkte, welche allgemeineren Gebieten angeh\"{o}ren, er\"{o}rten und festlegen, um uns den Boden f\"{u}r jene Untersuchungen zu ebenen. \nobreak\medskip \asterisktriangle \medbreak \centerline{5.} \nobreak\medskip F\"{u}r die folgenden Betrachtungen beschr\"{a}nken wir die Ver\"{a}nderlichkeit der Gr\"{o}ssen $x$,~$y$ auf ein endliches Gebiet, indem wir als Ort des Punktes $O$ nicht mehr die Ebene $A$ selbst, sondern eine \"{u}ber dieselbe ausgebreitete Fl\"{a}che $T$ betrachten. Wir w\"{a}hlen diese Einkleidung, bei der es unanst\"{o}ssig sein wird, von auf einander liegenden Fl\"{a}chen zu reden, um die M\"{o}glichkeit offen zu lassen, dass der Ort des Punktes~$O$ \"{u}ber denselben Theil der Ebene sich mehrfach erstrecke, setzen jedoch f\"{u}r einen solchen Fall voraus, dass die auf einander liegenden Fl\"{a}chentheile nicht l\"{a}ngs einer Linie zusammenh\"{a}ngen, so dass eine Umfaltung der Fl\"{a}che, oder eine Spaltung in auf einander liegende Theile nicht vorkommt. Die Anzahl der in jedem Theile der Ebene auf einander liegenden Fl\"{a}chentheile ist alsdann vollkommen bestimmt, wenn die Begrenzung der Lage und dem Sinne nach (d.~h.\ ihre innere und \"{a}ussere Seite) gegeben ist; ihr Verlauf kann sich jedoch noch verschieden gestalten. In der That, ziehen wir durch den von der Fl\"{a}che bedeckten Theil der Ebene eine beliebige Linie~$l$, so \"{a}ndert sich die Anzahl der \"{u}ber einander liegenden Fl\"{a}chentheile nur beim Ueberschreiten der Begrenzung, und zwar beim Uebertritt von Aussen nach Innen um $+1$, im entgegengesetzten Falle um $-1$, und ist also \"{u}berall bestimmt. L\"{a}ngs der Ufers dieser Linie setzt sich nun jeder angrenzende Fl\"{a}chentheil auf ganz bestimmte Art fort, so lange die Linie die Begrenzung nicht trifft, da eine Unbestimmtheit jedenfalls nur in einem einzelnen Punkte und also entweder in einem Punkte der Linie selbst oder in einer endlichen Entfernung von derselben Statt hat; wir k\"{o}nnen daher, wenn wir unsere Betrachtung auf einen im Innern der Fl\"{a}che verlaufenden Theil der Linie~$l$ und zu beiden Seiten auf einen hinreichend kleinen Fl\"{a}chenstreifen beschr\"{a}nken, von \emph{bestimmten} angrenzenden Fl\"{a}chentheilen reden, deren Anzahl auf jeder Seite gleich ist, und die wir, indem wir der Linie eine bestimmte Richtung beilegen, auf der Linken mit $a_1, a_2,\ldots\, a_n$, auf der Rechten mit $a'_1, a'_2,\ldots\, a'_n$ bezeichnen. Jeder Fl\"{a}chentheil~$a$ wird sich dann in einen der Fl\"{a}chentheile $a'$ fortzetzen; dieser wird zwar im Allgemeinen f\"{u}r den ganzen Lauf der Linie~$l$ derselbe sein, kann sich jedoch f\"{u}r besondere Lagen von $l$ in einem ihrer Punkte \"{a}ndern. Nehmen wir an, dass oberhalb eines solchen Punktes $\sigma$ (d.~h.\ l\"{a}ngs des vorhergehenden Theils von $l$) mit den Fl\"{a}chentheilen $a'_1, a'_2,\ldots\, a'_n$ der Reihe nach die Fl\"{a}chentheile $a_1, a_2,\ldots\, a_n$ verbunden seien, unterhalb desselben aber die Fl\"{a}chentheile $a_{\alpha_1}, a_{\alpha_2},\ldots\, a_{\alpha_n}$, wo $\alpha_1, \alpha_2,\ldots\, \alpha_n$ nur in der Anordnung von $1,2,\ldots,n$ verschieden sind, so wird ein oberhalb $\sigma$ von $a_1$ in $a'_1$ eintretender Punkt, wenn er unterhalb $\sigma$ auf die linke Seite zur\"{u}cktritt, in den Fl\"{a}chentheil $a_{\alpha_1}$ gelangen, und wenn er den Punkt~$\sigma$ von der Linken zur Rechten umkreiset, wird der Index des Fl\"{a}chentheils, in welchem er sich befindet, der Reihe nach die Zahlen \[ 1, \alpha_1, \alpha_{\alpha_1},\ldots\, \mu, \alpha_\mu,\ldots \] durchlaufen. In dieser Reihe sind, so lange das Glied~$1$ nicht wiederkehrt, nothwendig alle Glieder von einander verschieden, weil einem beliebigen mittlern Gliede $a_\mu$ nothwendig $\mu$ und nach einander alle fr\"{u}heren Glieder bis $1$ in unmittelbarer Folge vorhergehen; wenn aber nach einer Anzahl von Gliedern, die offenbar kleiner als $n$ sein muss und $= m$ sei, das Glied~$1$ wiederkehrt, so m\"{u}ssen die \"{u}brigen Glieder in derselben Ordnung folgen. Der um $\sigma$ sich bewegende Punkt kommt alsdann nach je $m$ Uml\"{a}ufen in denselben Fl\"{a}chentheil zur\"{u}ck und ist auf $m$ der auf einander liegenden Fl\"{a}chentheile eingeschr\"{a}nkt, welche sich \"{u}ber $\sigma$ zu einem einzigen Punkte vereinigen. Wir nennen diesen Punkt einen Windungspunkt $(m-1) \,$\-ter Ordnung der Fl\"{a}che~$T$. Durch Anwendung desselben Verfahrens auf die \"{u}brigen $n - m$ Fl\"{a}chentheile werden diese, wenn sie nicht gesondert verlaufen, in Systeme von $m_1, m_2,\ldots$ Fl\"{a}chentheilen zerfallen, in welchem Falle auch noch Windungspunkte $(m_1 - 1) \,$\-ter, $(m_2 - 1) \,$\-ter$\ldots$ Ordnung in dem Punkte~$\sigma$ liegen. Wenn die Lage und der Sinn der Begrenzung von $T$ und die Lage ihrer Windungspunkte gegeben ist, so ist $T$ entweder vollkommen bestimmt oder doch auf eine endliche Anzahl verschiedener Gestalten beschr\"{a}nkt; Letzteres, in so fern sich diese Bestimmungsst\"{u}cke auf verschiedene der auf einander liegenden Fl\"{a}chentheile beziehen k\"{o}nnen. Eine ver\"{a}nderliche Gr\"{o}sse, die f\"{u}r jeden Punkt~$O$ der Fl\"{a}che~$T$, allgemein zu reden, d.~h.\ ohne eine Ausnahme in einzelnen Linien und Punkten\footnote{Diese Beschr\"{a}nkung ist zwar nicht durch den Begriff einer Function an sich geboten, aber um Infinitesimalrechnung auf sie anwenden zu k\"{o}nnen erforderlich: eine Function, die in allen Punkten einer Fl\"{a}che unstetig ist, wie z.~B.\ eine Function, die f\"{u}r ein commensurables $x$ und ein commensurables $y$ den Werth~$1$, sonst aber den Werth~$2$ hat, kann weder einer Differentiation, noch einer Integration, also (unmittelbar) der Infinitesimalrechnung \"{u}berhaupt nicht unterworfen werden. Die f\"{u}r die Fl\"{a}che ~$T$ hier willk\"{u}rlich gemachte Beschr\"{a}nking wird sich sp\"{a}ter (Art.~15) rechtfertigen.} auszuschliessen, Einen bestimmten mit der Lage desselben stetig sich \"{a}ndernden Werth annimmt, kann offenbar als eine Function von $x$,~$y$, angesehen werden, und \"{u}berall, wo in der Folge von Functionen von $x$,~$y$ die Rede sein wird, werden wir den Begriff derselben auf diese Art festlegen. Ehe wir uns jedoch zur Betrachtung solcher Functionen wenden, schalten wir noch einige Er\"{o}rterungen \"{u}ber den Zusammenhang einer Fl\"{a}che ein. Wir beschr\"{a}nken uns dabei auf solche Fl\"{a}chen, die sich nicht l\"{a}ngs einer Linie spalten. \medbreak \centerline{6.} \nobreak\medskip Wir betrachten zwei Fl\"{a}chentheile als zusammenh\"{a}ngend oder Einem St\"{u}cke angeh\"{o}rig, wenn sich von einem Punkte des einen durch das Innere der Fl\"{a}che eine Linie nach einem Punkte des andern ziehen l\"{a}sst, als getrennt, wenn diese M\"{o}glichkeit nicht Statt findet. Die Untersuchung des Zusammenhangs einer Fl\"{a}che beruht auf ihrer Zerlegung durch Querschnitte, d.~h.\ Linien, welche von einem Begrenzungspunkte das Innere einfach---keinen Punkt mehrfach---bis zu einem Begrenzungspunkte durchschneiden. Letzterer kann auch in dem zur Begrenzung hinzukommenen Theile, also in einem fr\"{u}hern Punkte des Querschnitts, liegen. Eine zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che heisst, wenn sie durch jeden Querschnitt in St\"{u}cke zerf\"{a}llt, eine einfach zusammenh\"{a}ngende, andernfalls eine mehrfach zusammenh\"{a}ngende. \emph{Lehrsatz.~I}. Eine einfach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che~$A$ zerf\"{a}llt durch jeden Querschnitt $ab$ in zwei einfach zusammenh\"{a}ngende St\"{u}cke. Gesetzt, eins dieser St\"{u}cke w\"{u}rde durch einen Querschnitt $cd$ nicht zerst\"{u}ckt, so erhielte man offenbar, je nachdem keiner seiner Endpunkte oder der Endpunkt~$c$ oder beide Endpunkte in $ab$ fielen, durch Herstellung der Verbindung l\"{a}ngs der ganzen Linie $ab$ oder l\"{a}ngs des Theils $cb$ oder des Theils $cd$ derselben eine zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che, welche durch einen Querschnitt aus $A$ entst\"{a}nde, gegen die Voraussetzung. \emph{Lehrsatz.~II}. Wenn eine Fl\"{a}che $T$ durch $n_1$ Querschnitte\footnote{Unter einer Zerlegung durch mehrere Querschnitte ist stets eine successive zu verstehen, d.~h.\ eine solche, wo die durch einen Querschnitt \emph{entstandene} Fl\"{a}che durch einen neuen Querschnitt weiter zerlegt wird.} $q_1$ in ein System $T_1$ von $m_1$ einfach zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}chenst\"{u}cken und durch $n_2$ Querschnitte $q_2$ in ein System $T_2$ von $m_2$ Fl\"{a}chenst\"{u}cken zerf\"{a}llt, so kann $n_2 - m_2$ nicht $> n_1 - m_1$ sein. Jede Linie $q_2$ bildet, wenn sie nicht ganz in das Querschnittsystem $q_1$ f\"{a}llt, zugleich einen oder mehrere Querschnitte $q_2'$ der Fl\"{a}che $T_1$. Als Endpunkte der Querschnitte $q_2'$ sind anzusehen: \begin{description} \item[\textmd{1)}] die $2n_2$ Endpunkte der Querschnitte $q_2$, ausgenommen, wenn ihre Enden mit einem Theil des Liniensystems $q_1$ zusammenfallen, \item[\textmd{2)}] jede mittlere Punkt eines Querschnitts $q_2$, in welchem er in einen mittlern Punkt einer Linie $q_1$ eintritt, ausgenommen, wenn er sich schon in einer andern Linie $q_1$ befindet, d.~h.\ wenn ein Ende eines Querschnitts $q_1$ mit ihm zusammenf\"{a}llt. \end{description} Bezeichnet nun $\mu$, wie oft Linien beider Systeme w\"{a}hrend ihres Laufes zusammentreffen oder auseinandergehen (wo also ein einzelner gemeinsamer Punkt doppelt zu rechnen ist), $\nu_1$, wie oft ein Endst\"{u}ck der $q_1$ mit einem mittlern St\"{u}cke der $q_2$, $\nu_2$, wie oft ein Endst\"{u}ck der $q_2$ mit einem mittlern St\"{u}cke der $q_1$, endlich $\nu_3$, wie oft ein Endst\"{u}ck der $q_1$ mit einem Endst\"{u}cke der $q_2$ zusammenf\"{a}llt, so liefert Nr.~1 $2n_2 - \nu_2 - \nu_3$, Nr.~2 $\mu - \nu_1$ Endpunkte der Querschnitte $q_2'$; beide F\"{a}lle zusammengenommen aber umfassen s\"{a}mmtliche Endpunkte und jeden nur einmal, und die Anzahl dieser Querschnitte ist daher \[ \frac{2n_2 - \nu_2 - \nu_3 + \mu - \nu_1}{2} = n_2 + s.\] Durch ganz \"{a}hnliche Schl\"{u}sse ergiebt sich die Anzahl der Querschnitte $q_1'$ der Fl\"{a}che $T_2$, welche durch die Linien $q_1$ gebildet werden, \[ \frac{2n_1 - \nu_1 - \nu_3 + \mu - \nu_2}{2},\] also $= n_1 + s$. Die Fl\"{a}che $T_1$ wird nun offenbar durch die $n_2 + s$ Querschnitte $q_2'$ in dieselbe Fl\"{a}che verwandelt, in welche $T_2$ durch die $n_1 + s$ Querschnitte $q_1'$ zerf\"{a}llt wird. Es besteht aber $T_1$ aus $m_1$ einfach zusammenh\"{a}ngenden St\"{u}cken und zerf\"{a}llt daher nach Satz~I durch $n_2 + s$ Querschnitte in $m_1+ n_2 + s$ Fl\"{a}chenst\"{u}cke; folglich m\"{u}sste, w\"{a}re $m_2 < m_1 + n_2 - n_1$, die Zahl der Fl\"{a}chenst\"{u}cke $T_2$ durch $n_1 + s$ Querschnitte um mehr als $n_1 + s$ vermehrt werden, was ungereimt ist. Zufolge dieses Lehrsatzes ist, wenn die Anzahl der Querschnitte unbestimmt durch $n$, die Anzahl der St\"{u}cke durch $m$ bezeichnet wird, $n - m$ f\"{u}r alle Zerlegungen einer Fl\"{a}che in einfach zusammenh\"{a}ngende St\"{u}cke constant; denn betrachten wir irgend zwei bestimmte Zerlegungen durch $n_1$ Querschnitte in $m_1$ St\"{u}cke und durch $n_2$ Querschnitte in $m_2$ St\"{u}cke, so muss, wenn erstere einfach zusammenh\"{a}ngend sind, $n_2 - m_2 \leq n_1 - m_1$, und wenn letztere einfach zusammenh\"{a}ngend sind, $n_1 - m_1 \leq n_2 - m_2$, also wenn Beides zutrifft, $n_2 - m_2 = n_1 - m_1$ sein. Diese Zahl kann f\"{u}glich mit dem Namen \glqq Ordnung des Zusammenhangs\grqq\ einer Fl\"{a}che belegt werden; sie wird durch jeden Querschnitt um $1$ erniedrigt---nach der Definition---, durch eine von einem innern Punkte das Innere einfach bis zu einem Begrenzungspunkte oder einem fr\"{u}hern Schnittpunkte durchschneidende Linie nicht ge\"{a}ndert und durch einen innern allenthalben einfachen in zwei Punkten endenden Schnitt um $1$ erh\"{o}ht, weil erstere durch Einen, letzterer aber durch zwei Querschnitte in Einen Querschnitt verwandelt werden kann. Endlich wird die Ordnung des Zusammenhangs einer aus mehreren St\"{u}cken bestehenden Fl\"{a}che erhalten, wenn man die Ordnungen des Zusammenhangs dieser St\"{u}cke zu einander addirt. Wir werden uns indess in der Folge meistens auf eine aus Einem St\"{u}cke betstehende Fl\"{a}che beschr\"{a}nken, und uns f\"{u}r ihren Zusammanhang der kunstloseren Bezeichnung eines einfachen, zweifachen etc.\ bedienen, indem wir unter einer $n \,$\-fach zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}che eine solche verstehen, die durch $n - 1$ Querschnitte in eine einfach zusammenh\"{a}ngende zerlegbar ist. In Bezug auf die Abh\"{a}ngigkeit des Zusammenhangs der Begrenzung von dem Zusammenhang einer Fl\"{a}che erhallt leicht: 1) Die Begrenzung einer einfach zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}che besteht noth\-wendig aus Einer in sich zur\"{u}cklaufenden Linie. Best\"{a}nde die Begrenzung ausgetrennten St\"{u}cken, so w\"{u}rde ein Querschnitt $q$, der einen Punkt eines St\"{u}cks $a$ mit einem Punkte eines andern $b$ verb\"{a}nde, nur zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}chentheile von einander scheiden, da sich im Innern der Fl\"{a}che l\"{a}ngs $a$ eine Linie von der einen Seite des Querschnitts $q$ an die entgegengesetzte f\"{u}hren liesse; und folglich w\"{u}rde $q$ die Fl\"{a}che nicht zerst\"{u}cken, gegen die Voraussetzung. 2) Durch jeden Querschnitt wird die Anzahl der Begrenzungsst\"{u}cke entweder um $1$ vermindert oder um $1$ vermehrt. Ein Querschnitt $q$ verbindet entweder einen Punkt eines Begrenzungsst\"{u}cks $a$ mit einem Punkte eines andern $b$,---in diesem Falle bilden alle diese Linien zusammengenommen in der Folge $a$,~$q$,~$b$,~$q$ ein einziges in sich zur\"{u}cklaufendes St\"{u}ck der Begrenzung--- oder er verbindet zwei Punkte eines St\"{u}cks der Begrenzung,---in diesem Falle zerf\"{a}llt dieses durch seine beiden Endpunkte in zwei St\"{u}cke, deren jedes mit dem Querschnitte zusammengenommen ein in sich zur\"{u}cklaufendes Begrenzungsst\"{u}ck bildet--- oder endlich, er endet in einem seiner fr\"{u}heren Punkte und kann betrachtet werden als zusammengesetzt aus einer in sich zur\"{u}cklaufenden Linie $o$ und einer andern $l$, welche einen Punkt von $o$ mit einem Punkte eines Begrenzungsst\"{u}cks $a$ verbindet,---in welchem Falle $o$ eines Theils, und $a$,~$l$,$~o$,~$l$ andern Theils je ein in sich zur\"{u}cklaufendes Begrenzungsst\"{u}ck bilden. Es treten also entweder---im erstern Falle---an die Stelle zweier Ein, oder---in den beiden letzteren F\"{a}llen---an die Stelle Eines zwei Begrenzungsst\"{u}cke, woraus unser Satz folgt. Die Anzahl der St\"{u}cke, aus welchen die Begrenzung eines $n \,$\-fach zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}chenst\"{u}cks besteht, ist daher entweder $= n$ oder um eine gerade Zahl kleiner. Hieraus ziehen wir noch das Corollar: Wenn die Anzahl der Begrenzungsst\"{u}cke einer $n \,$\-fach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che $= n$ ist, so zerf\"{a}llt diese durch jeden \"{u}berall einfachen im Innern in sich zur\"{u}cklaufenden Schnitt in zwei getrennte St\"{u}cke. Denn die Ordnung des Zusammenhangs wird dadurch nicht ge\"{a}ndert, die Anzahl der Begrenzungsst\"{u}cke um $2$ vermehrt; die Fl\"{a}che w\"{u}rde also, wenn sie eine zusammenh\"{a}ngende w\"{a}re, einen $n \,$\-fachen Zusammenhang und $n + 2$ Begrenzungsst\"{u}cke haben, was unm\"{o}glich ist. \medbreak \centerline{7.} \nobreak\medskip Sind $X$ und $Y$ zwei in allen Punkten der \"{u}ber $A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che~$T$ stetige Functionen von $x$,~$y$, so ist das \"{u}ber alle Elemente $dT$ dieser Fl\"{a}che ausgedehnte Integral \[ \int \left( \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \, dT = - \int (X \cos \xi + Y \cos \eta) ds,\] wenn in jedem Punkte der Begrenzung die Neigung einer auf sie nach Innen gezogenen Normale gegen die $x$-Axe durch $\xi$, gegen die $y$-Axe durch $\eta$ bezeichnet wird, und sich diese Integration auf s\"{a}mmtliche Elemente $ds$ der Begrenzungslinie erstreckt. Um das Integral $\displaystyle \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dT$ zu transformiren, zerlegen wir den von der Fl\"{a}che~$T$ bedeckten Theil der Ebene $A$ durch ein System der $x$-Axe paralleler Linien in Elementarstreifen, und zwar so, dass jeder Windungspunkt der Fl\"{a}che~$T$ in eine dieser Linien f\"{a}llt. Unter dieser Voraussetzung besteht der auf jeden derselben fallende Theil von $T$ aus einem oder mehreren abgesondert verlaufenden trapezf\"{o}rmigen St\"{u}cken. Der Beitrag eines unbestimmten dieser Fl\"{a}chenstreifen, welcher aus der $y$-Axe das Element $dy$ ausscheidet, zu dem Werthe von $\displaystyle \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dT$ wird dann offenbar $\displaystyle = dy \, \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dx$, wenn diese Integration durch diejenige oder diejenigen der Fl\"{a}che~$T$ angeh\"{o}rigen geraden Linien ausgedehnt wird, welche auf eine durch einen Punkt von $dy$ gehende Normale fallen. Sind nun die unteren Endpunkte derselben (d.~h.\ welchen die kleisten Werthe von $x$ entsprechen) $O_\prime, O_{\prime\prime}, O_{\prime\prime\prime},\ldots$, die oberen $O', O'', O''',\ldots$ und bezeichen wir mit $X_\prime, X_{\prime\prime},\ldots$ $X', X'',\ldots$ die Werthe von $X$ in diesen Punkten, mit $ds_\prime, ds_{\prime\prime},\ldots$ $ds', ds'',\ldots$ die entsprechenden von dem Fl\"{a}chenstreifen aus der Begrenzung ausgeschiedenen Elemente, mit $\xi_\prime, \xi_{\prime\prime},\ldots$ $\xi', \xi'',\ldots$ die Werthe von $\xi$ an diesen Elementen, so wird \begin{eqnarray*} \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dx &=& - X_\prime - X_{\prime\prime} - X_{\prime\prime\prime} \ldots \\ & & + X' + X'' + X''' \ldots . \end{eqnarray*} Die Winkel $\xi$ werden offenbar spitz an den unteren, stumpf and den oberen Endpunkten, und es wird daher \begin{eqnarray*} dy &=& \cos \xi_\prime \, ds_\prime = \cos \xi_{\prime\prime} \, ds_{\prime\prime} \ldots \\ &=& - \cos \xi' \, ds' = - \cos \xi'' \, ds''\ldots . \end{eqnarray*} Durch Substitution dieser Werthe ergiebt sich \[ dy \, \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dx = - {\textstyle\sum} X \cos \xi \, ds,\] wo sich die Summation auf alle Begrenzungselemente bezieht, welche in der $y$-Axe $dy$ zur Projection haben. Durch Integration \"{u}ber s\"{a}mmtliche in Betracht kommende $dy$ werden offenbar s\"{a}mmtliche Elemente der Fl\"{a}che $T$ und s\"{a}mmtliche Elemente der Begrenzung ersch\"{o}pft, und man erh\"{a}lt daher, in diesem Umfange genommen, \[ \int \frac{\partial X}{\partial x} \, dT = - \int X \cos \xi \, ds.\] Durch ganz \"{a}hnliche Schl\"{u}sse findet man \[ \int \frac{\partial Y}{\partial y} \, dT = - \int Y \cos \eta \, ds \] und folglich \[ \int \left( \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \, dT = - \int (X \cos \xi + Y \cos \eta) ds, \quad\mbox{w.~z.~b.~w.} \] \medbreak \centerline{8.} \nobreak\medskip Bezeichnen wir in der Begrenzungslinie, von einem festen Anfangspunkte auf in einer bestimmten sp\"{a}ter festzusetzenden Richtung gerechnet, die L\"{a}nge derselben bis zu einem unbestimmten Punkte $O_0$, durch $s$, und in der in diesem Punkte $O_0$ errichteten Normalen die Entfernung eines unbestimmten Punktes $O$ von demselben und zwar nach Innen zu als positiv betrachtet durch $p$, so k\"{o}nnen offenbar die Werthe von $x$ und $y$ im Punkte $O$ als Functionen von $s$ und $p$ angesehen werden, und es werden dann in den Punkten der Begrenzungslinie die partiellen Differentialquotienten \[ \frac{\partial x}{\partial p} = \cos \xi,\quad \frac{\partial y}{\partial p} = \cos \eta,\quad \frac{\partial x}{\partial s} = \pm \cos \eta,\quad \frac{\partial y}{\partial s} = \mp \cos \xi,\] wo die oberen Zeichen gelten, wenn die Richtung, in welcher die Gr\"{o}sse $s$ als wachsend betrachtet wird, mit $p$ einen gleichen Winkel einschliesst, wie die $x$-Axe mit der $y$-Axe, wenn einen entgegengesetzten, die unteren. Wir werden diese Richtung un allen Theilen der Begrenzung so annehmen, dass \[ \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial p} \quad\mbox{und folglich}\quad \frac{\partial y}{\partial s} = - \frac{\partial x}{\partial p} \] ist, was die Allgemeinheit unserer Resultate im Wesentlichen nicht beeintr\"{a}chtigt. Offenbar k\"{o}nnen wir diese Bestimmungen auch auf Linien im Innern von $T$ ausdehnen; nur haben wir hier zur Bestimmung der Vorzeichen von $dp$ und $ds$, wenn deren gegenseitige Abh\"{a}ngigkeit wie dort festgesetzt wird, noch eine Angabe hinzuzuf\"{u}gen, welche entweder das Vorzeichen von $dp$ oder von $ds$ festsetzt; und zwar werden wir bei einer in sich zur\"{u}cklaufenden Linie angeben, von welchem der durch sie geschiedenen Fl\"{a}chentheile sie als Begrenzung gelten solle, wodurch das Vorzeichen von $dp$ bestimmt wird, bei einer nicht in sich zur\"{u}cklaufenden aber ihren Anfangspunkt, d.~h. den Endpunkt, wo $s$ den kleinsten Werth annimmt. Die Einf\"{u}hrung der f\"{u}r $\cos \xi$ und $\cos \eta$ erhaltenen Werthe in die im vorigen Art.\ bewiesene Gleichung giebt, in demselben Umfange wie dort genommen, \[ \int \left( \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \, dT = - \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds = \int \left( X \frac{\partial y}{\partial s} - Y \frac{\partial x}{\partial s} \right) \, ds.\] \medbreak \centerline{9.} \nobreak\medskip Durch Anwendung des Satzes am Schlusse des vorigen Art.\ auf den Fall, wo in allen Theilen der Fl\"{a}che \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0 \] ist, erhalten wir folgende S\"{a}tze: 1. Sind $X$ und $Y$ zwei in allen Punkten von $T$ endliche und stetige und der Gleichung \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0 \] gen\"{u}gende Functionen, so ist, durch die ganze Begrenzung von $T$ ausgedehnt, \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds = 0.\] Denkt man sich eine beliebige \"{u}ber $A$ ausgestreckte Fl\"{a}che $T_1$ in zwei St\"{u}cke $T_2$ und $T_3$ auf beliebige Art zerf\"{a}llt, so kann das Integral \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds \] in Bezug auf die Begrenzung von $T_2$ betrachtet werden als die Differenz der Integrale in Bezug auf die Begrenzung von $T_1$ und in Bezug auf die Begrenzung von $T_3$, indem, wo $T_3$ sich bis zur Begrenzung von $T_1$ erstreckt, beide Integrale sich aufheben, alle \"{u}brigen Elemente aber einem Elemente der Begrenzung von $T_2$ entsprechen. Mittelst dieser Umformung ergiebt sich aus I.: II. Der Werth des Integrals \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds,\] durch die ganze Begrenzung einer \"{u}ber $A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che erstreckt, bleibt bei beliebiger Erweiterung oder Verengerung derselben constant, wenn nur dadurch keine Fl\"{a}chentheile ein- oder austreten, innerhalb welcher die Voraussetzungen des Satzes~I.\ nicht erf\"{u}llt sind. Wenn die Functionen $X$, $Y$ zwar in jedem Theile der Fl\"{a}che $T$ der vorgeschriebenen Differentialgleichung gen\"{u}gen, aber in einzelnen Linien oder Punkten mit einer Unstetigkeit behaftet sind, so kann man jede solche Linie und jeden solchen Punkt mit einem beliebig kleinen Fl\"{a}chentheil als H\"{u}lle umgeben und erh\"{a}lt dann durch Anwendung des Satzes~II.: III. Das Integral \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds \] in Bezug auf die ganze Begrenzung von $T$ ist gleich der Summe der Integrale \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds \] in Bezug auf die Umgrenzungen aller Unstetigkeitsstellen, und zwar beh\"{a}lt in Bezug auf jede einzelne dieser Stellen das Integral denselben Werth, in wie enge Grenzen man sie auch einschliessen m\"{o}ge. Dieser Werth ist f\"{u}r einen blossen Unstetigkeitspunkt nothwendig gleich Null, wenn mit der Entfernung $\varrho$ des Punktes $O$ von demselben zugleich $\varrho X$ und $\varrho Y$ unendlich klein werden; denn f\"{u}hrt man in Bezug auf einen solchen Punkt als Anfangspunkt und eine beliebige Anfangsrichtung Polarcoordinaten $\varrho$, $\varphi$ ein und w\"{a}hlt zur Umgrenzung einen um denselben mit dem Radius $\varrho$ beschriebenen Kreis, so wird das auf ihn bez\"{u}gliche Integral durch \[ \int\limits_{0}^{2\pi} \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \varrho \, d\varphi \] ausgedr\"{u}ckt und kann folglich nicht einen von Null verschiedenen Werth $\kappa$ haben, weil, was auch $\kappa$ sei, $\varrho$ immer so klein angenommen werden kann, dass abgesehen vom Zeichen $\displaystyle \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \varrho$ f\"{u}r jeden Werth von $\varphi$ kleiner als $\displaystyle \frac{\kappa}{2\pi}$ und folglich \[ \int\limits_{0}^{2\pi} \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \varrho \, d\varphi < \kappa \] wird. IV. Ist in einer einfach zusammenh\"{a}ngenden \"{u}ber $A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che f\"{u}r jeden Fl\"{a}chentheil das durch dessen ganze Begrenzung erstreckte Integral \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds \] oder \[ \int \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds = 0,\] so erh\"{a}lt f\"{u}r irgend zwei feste Punkte $O_0$ und $O$ dies Integral in Bezug auf alle von $O_0$ in derselben nach $O$ gehende Linien denselben Werth. Je zwei die Punkte $O_0$ und $O$ verbindende Linien $s_1$ und $s_2$ bilden zusammengenommen eine in sich zur\"{u}cklaufende Linie $s_3$. Diese Linie besitzt entweder selbst die Eigenschaft, keinen Punkt mehrfach zu durchschneiden, oder man kann sie in mehrere allenthalben einfache in sich zur\"{u}cklaufende Linien zerlegen, indem man von einem beliebigen Punkte aus dieselbe durchlaufend jedesmal, wenn man zu einem fr\"{u}hern Punkte zur\"{u}ckgelangt, den inzwischen durchlaufenen Theil ausscheidet und den folgenden als unmittelbare Fortsetzung des vorhergehenden betrachtet. Jede solche Linie aber zerlegt die Fl\"{a}che in eine einfach und eine zweifach zusammenh\"{a}ngende; sie bildet daher nothwendig von Einem dieser St\"{u}cke die ganze Begrenzung, und das durch sie erstreckte Integral \[ \int \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] wird also der Voraussetzung nach $= 0$. Dasselbe gilt folglich auch von dem durch die ganze Linie $s_3$ erstreckten Integrale, wenn die Gr\"{o}sse $s$ \"{u}berall in derselben Richtung als wachsend betrachtet wird; es m\"{u}ssen daher die durch die Linien $s_1$ und $s_2$ erstreckten Integrale, wenn diese Richtung unge\"{a}ndert bleibt, d.~h.\ in einer derselben von $O_0$ nach $O$ und in der andern von $O$ nach $O_0$ geht, einander aufheben, also, wenn sie in letzterer ge\"{a}ndert wird, gleich werden. Hat man nun irgend eine beliebige Fl\"{a}che~$T$, in welcher, allgemein zu reden, \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0 \] ist, so schliesse man zun\"{a}chst, wenn n\"{o}thig, die Unstetigkeitsstellen aus, so dass im \"{u}brigen Fl\"{a}chenst\"{u}cke f\"{u}r jeden Fl\"{a}chentheil \[ \int \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds = 0 \] ist, und zerlege dieses durch Querschnitte in eine einfach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che $T^*$. F\"{u}r jede im Innern von $T^*$ von einem Punkte $O_0$ nach einem andern $O$ gehende Linie hat dann unser Integral demselben Werth; dieser Werth, f\"{u}r den zur Abk\"{u}rzung die Bezeichnung \[ \int\limits_{O_0}^O \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] gestattet sein m\"{o}ge, ist daher $O_0$ als fest, $O$ als beweglich gedacht, f\"{u}r jede Lage von $O$, abgesehen vom Laufe der Verbindungslinie ein bestimmter, und kann folglich als Function von $x$,~$y$ betrachtet werden. Die Aenderung dieser Function wird f\"{u}r eine Verr\"{u}ckung von $O$ l\"{a}ngs eines beliebigen Linienelements $ds$ durch \[ \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] ausgedr\"{u}ckt, ist in $T^*$ \"{u}berall stetig und l\"{a}ngs eines Querschnitts von $T$ zu beiden Seiten gleich; V. das Integral \[ Z = \int\limits_{O_0}^O \left( Y \frac{\partial x}{\partial s} - X \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] bildet daher, $O_0$ als fest gedacht, eine Function von $x$,~$y$, welche in $T^*$ \"{u}berall sich stetig, beim Ueberschreiten der Querschnitte von $T$ aber um eine l\"{a}ngs derselben von einem Zweigpunkte zum andern constante Gr\"{o}sse \"{a}ndert, und von welcher der partielle Differentialquotient \[ \frac{\partial Z}{\partial x} = Y,\quad \frac{\partial Z}{\partial y} = - X \] ist. Die Aenderungen beim Ueberschreiten der Querschnitte sind von einer der Zahl der Querschnitte gleichen Anzahl von einander unabh\"{a}ngiger Gr\"{o}ssen abh\"{a}ngig; denn wenn man das Querschnittsystem r\"{u}ckw\"{a}rts---die sp\"{a}teren Theile zuerst---durchl\"{a}uft, so ist diese Aenderung \"{u}berall bestimmt, wenn ihr Werth beim Beginn jedes Querschnitts gegeben wird; letztere Werthe aber sind von einander unabh\"{a}ngig. \medbreak \centerline{10.} \nobreak\medskip Setzt man f\"{u}r die bisher durch $X$ bezeichnete Function \[ u \frac{\partial u'}{\partial x} - u' \frac{\partial u}{\partial x} \] und \[ u \frac{\partial u'}{\partial y} - u' \frac{\partial u}{\partial y} \] f\"{u}r $Y$, so wird \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = u \left( \frac{\partial^2 u'}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u'}{\partial y^2} \right) - u' \left( \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial y^2} \right),\] wenn also die Functionen $u$ und $u'$ den Gleichungen \[ \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = 0,\quad \frac{\partial^2 u'}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u'}{\partial y^2} = 0 \] gen\"{u}gen, so wird \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0,\] und es finden auf den Ausdruck \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds,\] welcher \[ = \int \left( u \frac{\partial u'}{\partial p} - u' \frac{\partial u }{\partial p} \right) \, ds \] wird, die S\"{a}tze des vorigen Art.\ Anwendung. Machen wir nun in Bezug auf die Function~$u$ die Voraussetzung, dass sie nebst ihren ersten Differentialquotienten etwaige Unstetigkeiten jedenfalls nicht l\"{a}ngs einer Linie erleidet, und f\"{u}r jeden Unstetigkeitspunkt zugleich mit der Entfernung~$\varrho$ des Punktes~$O$ von demselben $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial x}$ und $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial y}$ unendlich klein werden, so k\"{o}nnen die Unstetigkeiten von $u$ in Folge der Bermerkung zu III. des vorigen Art.\ ganz unber\"{u}cksichtigt bleiben. Denn alsdann kann man in jeder von einem Unstetigkeitspunkte ausgehenden geraden Linie einen Werth $R$ von $\varrho$ so annehmen, dass \[ \varrho \frac{\partial u}{\partial \varrho} = \varrho \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \varrho} + \varrho \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \varrho} \] unterhalb desselben immer endlich bleibt, und bezeichnet $U$ den Werth von $u$ f\"{u}r $\varrho = R$, $M$ abgesehen von Zeichen den gr\"{o}ssten Werth der Function $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial \varrho}$ in jenem Intervall, so wird, in derselben Bedeutung genommen, stets $u - U < M (\log \varrho - \log R)$ sein, folglich $\varrho (u - U)$ und also auch $\varrho u$ mit $\varrho$ zugleich unendlich klein werden; dasselbe gilt aber der Voraussetzung nach von $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial x}$ und $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial y}$ und folglich wenn $u'$ keiner Unstetigkeit unterliegt, auch von \[ \varrho \left( u \frac{\partial u'}{\partial x} - u' \frac{\partial u}{\partial x} \right) \quad\mbox{und}\quad \varrho \left( u \frac{\partial u'}{\partial y} - u' \frac{\partial u}{\partial y} \right);\] der im vorigen Art.\ er\"{o}rterte Fall tritt hier also ein. Wir nehmen nun ferner an, dass die den Ort des Punktes $O$ bildende Fl\"{a}che $T$ allenthalben einfach \"{u}ber $A$ ausgebreitet sei, und denken uns in derselben einen beliebigen festen Punkt $O_0$, wo $u$, $x$,~$y$ die Werthe $u_0$, $x_0$,~$y_0$ erhalten. Die Gr\"{o}sse \[ {\textstyle\frac{1}{2}} \log ((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2) = \log r,\] als Function von $x$,~$y$ betrachtet, hat alsdann die Eigenschaft, dass \[ \frac{\partial^2 \log r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \log r}{\partial y^2} = 0 \] wird, und ist nur f\"{u}r $x = x_0$,~$y = y_0$, also in unserm Falle nur f\"{u}r Einen Punkt der Fl\"{a}che $T$ mit einer Unstetigkeit behaftet. Es wird daher nach Art.~9, III., wenn wir $\log r$ f\"{u}r $u'$ setzen, \[ \int \left( u \frac{\partial \log r}{\partial p} - \log r \frac{\partial u }{\partial p} \right) \, ds \] in Bezug auf die ganze Begrenzung von $T$ gleich diesem Integrale in Bezug auf eine beliebige Umgrenzung der Punktes $O_0$ und also, wenn wir dazu die Peripherie eines Kreises, wo $r$ einen constanten Werth hat, w\"{a}hlen und von einem ihrer Punkte in einer beliebigen festen Richtung den Bogen bis $O$ in Theilen des Halbmessers durch $\varphi$ bezeichnen, gleich \[ - \int u \frac{\partial \log r}{\partial r} r \, d \varphi - \log r \int \frac{\partial u }{\partial p} \, ds,\] oder da \[ \int \frac{\partial u }{\partial p} \, ds = 0 \] ist, \[ = - \int_0^{2\pi} u \, d \varphi,\] welcher Werth, wenn $u$ im Punkte $O_0$ stetig ist, f\"{u}r ein unendlich kleines $r$ in $-u_0 \, 2\pi$ \"{u}bergeht. Unter den in Bezug auf $u$ und $T$ gemachten Voraussetzungen haben wir daher f\"{u}r einen beliebigen Punkt $O_0$ im Innern der Fl\"{a}che, in welchem $u$ stetig ist, \[ u_0 = \frac{1}{2\pi} \int \left( \log r \frac{\partial u }{\partial p} - u \frac{\partial \log r}{\partial p} \right) \, ds \] in Bezug auf die ganze Begrenzung derselben und \[ = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u \, d \varphi \] in Bezug auf einen um $O_0$ beschriebenen Kreis. Aus dem ersten dieser Ausdr\"{u}cke ziehen wir folgenden \emph{Lehrsatz}. Wenn eine Function $u$ innerhalb einer die Ebene $A$ allenthalben einfach bedeckenden Fl\"{a}che $T$, allgemein zu reden, der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u }{\partial y^2} = 0 \] gen\"{u}gt und zwar so, dass \begin{description} \item[\textmd{1)}] die Punkte, in welchen diese Differentialgleichung nicht erf\"{u}llt ist, keinen Fl\"{a}chentheil, \item[\textmd{2)}] die Punkte, in welchen $u$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$ unstetig werden, keine Linie stetig erf\"{u}llen, \item[\textmd{3)}] f\"{u}r jeden Unstetigkeitspunkt zugleich mit der Entfernung $\varrho$ des Punktes $O$ von demselben die Gr\"{o}ssen $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial x}$, $\displaystyle \varrho \frac{\partial u}{\partial y}$ unendlich klein werden und \item[\textmd{4)}] bei $u$ eine durch Ab\"{a}nderung ihres Werthes in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeit ausgeschlossen ist, \end{description} \noindent so ist sie nothwendig nebst allen ihren Differentialquotienten f\"{u}r alle Punkte im Innern dieser Fl\"{a}che endlich und stetig. In der That, betrachten wir den Punkt $O_0$ als beweglich, so \"{a}ndern sich in dem Ausdrucke \[ \int \left( \log r \frac{\partial u }{\partial p} - u \frac{\partial \log r}{\partial p} \right) \, ds \] nur die Werthe $\log r$, $\displaystyle \varrho \frac{\partial \log r}{\partial x}$, $\displaystyle \varrho \frac{\partial \log r}{\partial y}$. Diese Gr\"{o}ssen aber sind f\"{u}r jedes Element der Begrenzung, so lange $O_0$ in Innern von $T$ bleibt, nebst allen ihren Differentialquotienten endliche und stetige Functionen von $x_0$,~$y_0$, da die Differentialquotienten durch gebrochene rationale Function dieser Gr\"{o}ssen ausgedr\"{u}ckt werden, die nur Potenzen von $r$ in Nenner enthalten. Dasselbe gilt daher auch f\"{u}r den Werth unsres Integrals und folglich f\"{u}r die Function $u_0$. Denn diese k\"{o}nnte unter den fr\"{u}heren Voraussetzungen nur in einzelnen Punkten, indem sie unstetig w\"{u}rde, einen davon verschiedenen Werth haben, welche M\"{o}glichkeit durch die Voraussetzung 4) unsers Lehrsatzes wegf\"{a}llt. \medbreak \centerline{11.} \nobreak\medskip Under denselben Voraussetzungen in Bezug auf $u$ und $T$, wie am Schlusse des vorigen Art., haben wir folgende S\"{a}tze: I. Wenn l\"{a}ngs einer Linie $u = 0$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p} = 0$ ist, so ist $u$ \"{u}berall $= 0$. Wir beweisen zun\"{a}chst, dass eine Linie $\lambda$, wo $u = 0$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p} = 0$ ist, nicht die Begrenzung eines Fl\"{a}chentheils $a$, wo $u$ positiv ist, bilden k\"{o}nne. Gesetzt, dies f\"{a}nde statt, so scheide man aus $a$ ein Stuck aus, welches eines Theils durch $\lambda$, andern Theils durch eine Kreislinie begrenzt wird und den Mittelpunkt $O_0$ dieses Kreises nicht enth\"{a}lt, welche Construction allemal m\"{o}glich ist. Man hat dann, wenn man die Polarcoordinaten von $O$ in Bezug auf $O_0$ durch $r$, $\varphi$ bezeichnet, durch die ganze Begrenzung dieses St\"{u}cks ausgedehnt \[ \int \log r \frac{\partial u }{\partial p} \, ds - \int u \frac{\partial \log r}{\partial p} \, ds = 0,\] also in Folge der Annahme auch f\"{u}r den ganzen ihr angeh\"{o}rigen Kreisbogen \[ \int u \, d \varphi + \log r \int \frac{\partial u }{\partial p} \, ds = 0,\] oder da \[ \int \frac{\partial u}{\partial p} \, ds = 0 \] ist, \[ \int u \, d \varphi = 0,\] was mit der Voraussetzung, dass $u$ im Innern von $a$ positiv sei, unvertr\"{a}glich ist. Auf \"{a}hnliche Art wird bewiesen, dass die Gleichungen $u = 0$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p} = 0$ nicht in einem Begrenzungstheile eines Fl\"{a}chenst\"{u}cks~$b$, wo $u$ negativ ist, stattfinden k\"{o}nnen. Wenn nun in der Fl\"{a}che $T$ in einer Linie $u = 0$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p} = 0$ ist und in irgend einem Theile derselben $u$ von Null verschieden w\"{a}re, so m\"{u}sste ein solcher Fl\"{a}chentheil offenbar entweder durch diese Linie selbst oder durch einen Fl\"{a}chentheil, wo $u = 0$ w\"{a}re, also jedenfalls durch eine Linie wo $u$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p} = 0$ w\"{a}re, begrenzt werden, was nothwendig auf eine der vorhin widerlegten Annahmen f\"{u}hrt. II. Wenn der Werth von $u$ und $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial p}$ l\"{a}ngs einer Linie gegeben ist, so ist $u$ dadurch in allen Theilen von $T$ bestimmt. Sind $u_1$ und $u_2$ irgend zwei bestimmte Functionen, welche den der Function $u$ auferlegten Bedingungen gen\"{u}gen, so gilt dies auch, wie sich durch Substitution in diese Bedingungen sofort ergiebt, f\"{u}r ihre Differenz $u_1 - u_2$. Stimmten nun $u_1$ und $u_2$ l\"{a}ngs einer Linie nebst ihren ersten Differentialquotienten nach $p$ \"{u}berein, in einem andern Fl\"{a}chentheile aber nicht, so w\"{u}rden l\"{a}ngs dieser Linie $u_1 - u_2 = 0$ und $\displaystyle \frac{\partial (u_1 - u_2)}{\partial p} = 0$ sein, ohne \"{u}berall $= 0$ zu sein, dem Satze~I. zuwider. III. Die Punkte im Innern von $T$, wo $u$ einen constanten Werth hat, bilden, wenn $u$ nicht \"{u}berall constant ist, nothwendig Linien, welche Fl\"{a}chentheile, wo $u$ gr\"{o}sser ist, von Fl\"{a}chentheilen, wo $u$ kleiner ist, scheiden. Dieser Satz ist aus folgenden zusammengesetzt: $u$ kann nicht in einem Punkte im Innern von $T$ ein Minimum oder ein Maximum haben; $u$ kann nicht \emph{nur} in einem Theile der Fl\"{a}che constant sein; die Linien, in denen $u = a$ ist, k\"{o}nnen nicht beiderseits Fl\"{a}chentheile begrenzen, wo $u - a$ dasselbe Zeichen hat; S\"{a}tze, deren Gegentheil, wie leicht zu sehen, allemal eine Verletzung der im vorigen Art.\ bewiesenen Gleichung \[ u_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u \, d \varphi \] oder \[ \int_0^{2\pi} (u - u_0) \, d \varphi = 0 \] herbeif\"{u}hren m\"{u}sste und folglich unm\"{o}glich ist. \medbreak \centerline{12.} \nobreak\medskip Wir wenden uns jetzt zur\"{u}ck zur Betrachtung einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse $w = u + vi$, welche, allgemein zu reden (d.~h.\ ohne eine Ausnahme in einzelnen Linien und Punkten auszuschliessen), f\"{u}r jeden Punkt $O$ der Fl\"{a}che $T$ Einen bestimmten mit der Lage desselben stetig und den Gleichungen \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \] gem\"{a}ss sich \"{a}ndernden Werth hat, und bezeichnen diese Eigenschaft von $w$ nach dem fr\"{u}her Festgestellten dadurch, dass wir $w$ eine Function von $z = x + yi$ nennen. Zur Vereinfachung des Folgenden setzen wir dabei im Voraus fest, dass bei einer Function von $z$ eine durch Ab\"{a}nderung ihres Werthes in einem einzelnen Punkte hebbare Unstetigkeit nicht vorkommen solle. Der Fl\"{a}che $T$ wird vorerst ein einfacher Zusammenhang und eine allenthalben einfache Ausbreitung \"{u}ber die Ebene $A$ beigelegt. \emph{Lehrsatz}. Wenn eine Function $w$ von $z$ eine Unterbrechung der Stetigkeit jedenfalls nicht l\"{a}ngs einer Linie erleidet und ferner f\"{u}r jeden beliebigen Punkt $O'$ der Fl\"{a}che, wo $z = z'$ sei, $w(z - z')$ mit unendlicher Ann\"{a}herung des Punktes~$O$ unendlich klein wird, so ist sie nothwendig nebst allen ihren Differentialquotienten in allen Punkten im Innern der Fl\"{a}che endlich und stetig. Die \"{u}ber die Ver\"{a}nderungen der Gr\"{o}sse $w$ gemachten Voraussetzungen zerfallen, wenn $z - z' = \varrho e^{\varphi i}$ gesetzt wird, f\"{u}r $u$ und $v$ in die folgenden: \[ \mbox{1)}\quad \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \] und \[ \mbox{2)}\quad \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \] f\"{u}r jeden Theil der Fl\"{a}che $T$; \begin{description} \item[\textmd{3)}] die Functionen $u$ und $v$ sind nicht l\"{a}ngs einer Linie unstetig; \item[\textmd{4)}] f\"{u}r jeden Punkt $O'$ werden mit der Entfernung $\varrho$ des Punktes $O$ von demselben $\varrho u$ und $\varrho v$ unendlich klein; \item[\textmd{5)}] f\"{u}r die Functionen $u$ und $v$ sind Unstetigkeiten, die durch Ab\"{a}nderung ihres Werthes in einzelnen Punkten gehoben werden k\"{o}nnten, ausgeschlossen. \end{description} In Folge der Voraussetzungen 2), 3), 4) ist f\"{u}r jeden Theil der Fl\"{a}che $T$ das \"{u}ber dessen ganze Begrenzung ausgedehnte Integral \[ \int \left( u \frac{\partial x}{\partial s} - v \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] nach Art.~9, III. $= 0$ und das Integral \[ \int\limits_{O_0}^O \left( u \frac{\partial x}{\partial s} - v \frac{\partial y}{\partial s} \right) \, ds \] erh\"{a}lt daher (nach Art.~9, IV.) durch jede von $O_0$ nach $O$ gehende Linie erstreckt denselben Werth und bildet, $O_0$ als fest gedacht, eine bis auf einzelne Punkte nothwendig stetige Function $U$ von $x$,~$y$, von welcher (und zwar nach 5) in jedem Punkte) der Differentialquotient $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x} = u$ und $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} = - v$ ist. Durch Substitution dieser Werthe f\"{u}r $u$ und $v$ aber gehen die Voraussetzungen 1), 3), 4), in die Bedingungen des Lehrsatzes am Schlusse des Art.~10 \"{u}ber. Die Function $U$ ist daher nebst allen ihren Differentialquotienten in allen Punkten von $T$ endlich und stetig und dasselbe gilt folglich auch von der complexen Function $\displaystyle w = \frac{\partial U}{\partial x} - \frac{\partial U}{\partial y} i$ und ihren nach $z$ genommenen Differentialquotienten. \medbreak \centerline{13.} \nobreak\medskip Es soll jetzt untersucht werden, was eintritt, wenn wir unter Beibehaltung der sonstigen Voraussetzungen des Art.~12 annehmen, dass f\"{u}r einen bestimmten Punkt $O'$ im Innern der Fl\"{a}che $(z - z') w = \varrho e^{\varphi i} w$ bei unendlicher Ann\"{a}herung des Punktes $O$ nicht mehr unendlich klein wird. In diesem Falle wird also $w$ bei unendlicher Ann\"{a}herung des Punktes $O$ an $O'$ unendlich gross, und wir nehmen an, dass, wenn die Gr\"{o}sse $w$ nicht mit $\displaystyle \frac{1}{\varrho}$ von gleicher Ordnung bleibt, d.~h.\ der Quotient beider sich einer endlichen Grenze n\"{a}hert, wenigstens die Ordnungen beider Gr\"{o}ssen in einem endlichen Verh\"{a}ltnisse zu einander stehen, so dass sich eine Potenz von $\varrho$ angeben l\"{a}sst, deren Product in $w$ f\"{u}r ein unendlich kleines $\varrho$ entweder unendlich klein wird oder endlich bleibt. Ist $\mu$ der Exponent einer solchen Potenz und $n$ die n\"{a}chst gr\"{o}ssere ganze Zahl, so wird die Gr\"{o}sse $(z - z')^n w = \varrho^n e^{n\varphi i} w$ mit $\varrho$ unendlich klein, und es ist daher $(z - z')^{n-1} w$ eine Function von $z$ (da $\displaystyle \frac{d(z - z')^{n-1} w}{dz}$ von $dz$ unabh\"{a}ngig ist), welche in diesem Theile der Fl\"{a}che den Voraussetzungen des Art.~12 gen\"{u}gt und folglich im Punkte $O'$ endlich und stetig ist. Bezeichnen wir ihren Werth im Punkte $O'$ mit $a_{n-1}$, so ist $(z - z')^{n-1} w - a_{n-1}$ eine Function, die in diesem Punkte stetig und $= 0$ ist und folglich mit $\varrho$ unendlich klein wird, woraus man nach Artikel~12 schliesst, dass $\displaystyle (z - z')^{n-2} w - \frac{a_{n-1}}{z - z'}$ eine im Punkte $O'$ stetige Function ist. Durch Forsetzung dieses Verfahrens wird offenbar $w$ mittelst Subtraction eines Ausdruckes von der Form \[ \frac{a_1}{z - z'} + \frac{a_2}{(z - z')^2} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{(z - z')^{n-1}} \] in eine Function verwandelt, welche im Punkte $O'$ endlich und stetig bleibt. Wenn daher unter den Voraussetzungen des Art.~12 die Aenderung eintritt, dass bei unendlicher Ann\"{a}herung von $O$ an einen Punkt $O'$ im Innern der Fl\"{a}che $T$ die Function $w$ unendlich gross wird, so ist die Ordnung dieses unendlich Grossen (eine im verkehrten Verh\"{a}ltnisse der Entfernung wachsende Gr\"{o}sse als ein unendlich Grosses erster Ordnung betrachtet) wenn sie endlich ist, nothwendig eine ganze Zahl; und ist diese Zahl $= m$, so kann die Function $w$ durch Hinzuf\"{u}gung einer Function, welche $2m$ willk\"{u}rliche Constanten enth\"{a}lt, in eine in diesem Punkte $O'$ stetige verwandelt werden. \medskip {\footnotesize Anm. Wir betrachten eine Function als Eine willk\"{u}rliche Constante enthaltend, wenn die m\"{o}glichen Arten, sie zu bestimmen, ein stetiges Gebiet von Einer Dimension umfassen.\par} \medbreak \centerline{14.} \nobreak\medskip Die im Art.~12 und 13 in Bezug auf die Fl\"{a}che~$T$ gemachten Beschr\"{a}nkungen sind f\"{u}r die G\"{u}ltigkeit der gewonnenen Resultate nicht wesentlich. Offenbar kann man jeden Punkt im Innern einer beliebigen Fl\"{a}che mit einem St\"{u}cke derselben umgeben, welches die dort vorausgesetzten Eigenschaften besitzt, mit alleiniger Ausnahme des Falles, wo dieser Punkt ein Windungspunkt der Fl\"{a}che ist. Um diesen Fall zu untersuchen, denken wir uns die Fl\"{a}che~$T$ oder ein beliebiges St\"{u}ck derselben, welches einen Windungspunkt $(n - 1) \,$\-ter Ordnung $O'$, wo $z = z' = x' + y' i$ sei, enth\"{a}lt, mittelst der Function $\displaystyle \zeta = (z - z')^{\frac{1}{n}}$ auf einer andern Ebene $\Lambda$ abgebildet, d.~h.\ wir denken uns den Werth der Function $\zeta = \xi + \eta i$ im Punkte~$O$ durch einen Punkt $\Theta$, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi$,~$\eta$ sind, in dieser Ebene vertreten, und betrachten $\Theta$ als Bild des Punktes $O$. Auf diesem Wege erh\"{a}lt man als Abbildung dieses Theils der Fl\"{a}che~$T$ eine zusammenh\"{a}ngende \"{u}ber $\Lambda$ ausgebreitete Fl\"{a}che, die im Punkte $\Theta'$, dem Bilde des Punktes $O'$, keinen Windungspunkt hat, wie sogleich gezeigt werden soll. Zur Fixirung der Vorstellungen denke man sich um den Punkt~$O$ in der Ebene~$A$ mit dem Halbmesser~$R$ einen Kreis beschrieben und parallel mit der $x$-Axe einen Durchmesser gezogen, wo also $z - z'$ reelle Werthe annehmen wird. Das durch diesen Kreis ausgeschiedene den Windingspunkt umgebende St\"{u}ck der Fl\"{a}che $T$ wird dann zu beiden Seiten des Durchmessers in $n$, wenn $R$ hinreichend klein gew\"{a}hlt wird, abgesondert verlaufende halbkreisf\"{o}rmige Fl\"{a}chenst\"{u}cke zerfallen. Wir bezeichnen auf derjenigen Seite des Durchmessers, wo $y - y'$ positiv ist, diese Fl\"{a}chenst\"{u}cke durch $a_1, a_2 \,\ldots\, a_n$, auf der entgegengesetzten Seite durch $a_1', a_2' \,\ldots\, a_n'$, und nehmen an, dass f\"{u}r negative Werthe von $z - z'$ $a_1, a_2 \,\ldots\, a_n$ der Reihe nach mit $a_1', a_2' \,\ldots\, a_n'$, f\"{u}r positive dagegen mit $a_n', a_1' \,\ldots\, a_{n-1}'$ verbunden seien, so dass ein den Punkt $O'$ (im erforderlichen Sinne) umkreisender Punkt der Reihe nach die Fl\"{a}chen $a_1, a_1', a_2, a_2' \,\ldots\, a_n, a_n'$ durchl\"{a}uft und durch $a_n'$ wieder in $a_1$ zur\"{u}ckgelangt, welche Annahme offenbar gestattet ist. F\"{u}hren wir nun f\"{u}r beide Ebenen Poloarcoordinaten ein, indem wir $z - z' = \varrho e^{\varphi i}$, $\zeta = \sigma e^{\psi i}$ setzen, und w\"{a}hlen zur Abbildung des Fl\"{a}chenst\"{u}cks $a_1$ denjenigen Werth von $\displaystyle (z - z')^{\frac{1}{n}} = \varrho^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\varphi}{n}i}$, welchen letzterer Ausdruck unter der Annahme $0 \leq \varphi \leq \pi$ erh\"{a}lt, so wird f\"{u}r alle Punkte von $a_1$ $\displaystyle \sigma \leq R^{\frac{1}{n}}$ und $\displaystyle 0 \leq \psi \leq \frac{\pi}{n}$; die Bilder derselben in der Ebene $\Lambda$ fallen also s\"{a}mmtlich in einen von $\psi = 0$ bis $\displaystyle \psi = \frac{\pi}{n}$ sich erstreckenden Sector eines um $\Theta'$ mit dem Radius $\displaystyle R^{\frac{1}{n}}$ beschriebenen Kreises, und zwar entspricht jedem Punkte von $a_1$ Ein zugleich mit demselben stetig fortr\"{u}ckender Punkt dieses Sectors und umgekehrt, woraus folgt, dass die Abbildung der Fl\"{a}che $a_1$ eine zusammenh\"{a}ngende einfach \"{u}ber diesen Sector ausgebreitete Fl\"{a}che ist. Auf \"{a}hnliche Art erh\"{a}lt man f\"{u}r die Fl\"{a}che $a_1'$ als Abbildung einen von $\displaystyle \psi = \frac{\pi}{n}$ bis $\displaystyle \psi = \frac{2\pi}{n}$, for $a_2$ einen von $\displaystyle \psi = \frac{2\pi}{n}$ bis $\displaystyle \psi = \frac{3\pi}{n}$, endlich f\"{u}r $a_n'$ einen von $\displaystyle \psi = \frac{2n - 1}{n}\pi$ bis $\displaystyle \psi = 2\pi$ sich erstreckenden Sector, wenn man $\varphi$ f\"{u}r jeden Punkt dieser Fl\"{a}chen der Reihe nach zwischen $\pi$ und $2\pi$, $2\pi$ und $3\pi$ \dots\ $(2n - 1)\pi$ und $2n\pi$ w\"{a}hlt, was immer und nur auf eine Weise m\"{o}glich ist. Diese Sectoren schliessen sich aber in derselben Folge an einander, wie die Fl\"{a}chen $a$ und $a'$, und zwar so, dass den hier zusammenstossenden Punkten auch dort zusammenstossende Punkte entsprechen; sie k\"{o}nnen daher zu einer zusammenh\"{a}ngenden Abbildung eines den Punkt $O'$ einschliessenden St\"{u}ckes der Fl\"{a}che~$T$ zusammengef\"{u}gt werden, und diese Abbilding ist offenbar eine \"{u}ber die Ebene $\Lambda$ einfach ausgebreitete Fl\"{a}che. Eine ver\"{a}nderliche Gr\"{o}sse, die f\"{u}r jeden Punkt~$O$ einen bestimmten Werth hat, hat dies auch f\"{u}r jeden Punkt $\Theta$ und umgekehrt, da jedem $O$ nur ein $\Theta$ und jedem $\Theta$ nur ein $O$ entspricht; ist sie ferner eine Function von $z$, so ist sie dies auch von $\zeta$, indem, wenn $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von $dz$, auch $\displaystyle \frac{dw}{d\zeta}$ von $d\zeta$ unabh\"{a}ngig ist, und umgekehrt. Es ergiebt sich hieraus, dass auf alle Functionen $w$ von $z$ auch im Windungspunkte $O'$ die S\"{a}tze der Art.~12 und 13 angewandt werden k\"{o}nnen, wenn man sie als Functionen von $\displaystyle (z - z')^{\frac{1}{n}}$ betrachtet. Dies liefert folgenden Satz: Wenn eine Function $w$ von $z$ bei unendlicher Ann\"{a}herung von $O$ an einen Windungspunkt $(n - 1) \,$\-ter Ordnung $O'$ unendlich wird, so ist dieses unendlich Grosse nothwendig von gleicher Ordnung mit einer Potenz der Entfernung, deren Exponent ein Vielfaches von $\displaystyle \frac{1}{n}$ ist, und kann, wenn dieser Exponent $\displaystyle = - \frac{m}{n}$ ist, durch Hinzuf\"{u}gung eines Ausdrucks von der Form \[ \frac{a_1}{(z - z')^{\frac{1}{n}}} + \frac{a_2}{(z - z')^{\frac{2}{n}}} + \cdots + \frac{a_m}{(z - z')^{\frac{m}{n}}},\] wo $a_1, a_2 \,\ldots\, a_m$ willk\"{u}rliche complexe Gr\"{o}ssen sind, in eine im Punkte $O'$ stetige verwandelt werden. Dieser Satz enh\"{a}lt als Corollar, dass die Function~$w$ im Punkte~$O'$ stetig ist, wenn $\displaystyle (z - z')^{\frac{1}{n}} w$ bei unendlicher Ann\"{a}herung des Punktes $O$ an $O'$ unendlich klein wird. \medbreak \centerline{15.} \nobreak\medskip Denken wir uns jetzt eine Function von $z$, welche f\"{u}r jeden Punkt~$O$ der beliebig \"{u}ber $A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che~$T$ einen bestimmten Werth hat und nicht \"{u}berall constant ist, geometrisch dargestellt, so dass ihr Werth $w = u + vi$ im Punkte~$O$ durch einen Punkt~$Q$ der Ebene~$B$ vertreten wird, dessen rechtwinklige Coordinaten $u$,~$v$ sind, so ergiebt sich Folgendes: I. Die Gesammtheit der Punkte~$Q$ kann betrachtet werden als eine Fl\"{a}che $S$ bildend, in welcher jedem Punkte Ein bestimmter mit ihm stetig in $T$ fortr\"{u}ckender Punkt $O$ entspricht. Um dieses zu beweisen, ist offenbar nur der Nachweis erforderlich, dass die Lage des Punktes~$Q$ mit der des Punktes~$O$ sich allemal (und zwar, allgemein zu reden, stetig) \"{a}ndert. Dieser ist in dem Satze enthalten: Eine Function $w = u + vi$ von $z$ kann nicht l\"{a}ngs einer Linie constant sein, wenn sie nicht \"{u}berall constant ist. Beweis: H\"{a}tte $w$ l\"{a}ngs einer Linie einen constanten Werth $a + bi$ so w\"{a}ren $u - a$ und $\displaystyle \frac{\partial (u - a)}{\partial p}$, welches $\displaystyle = - \frac{\partial v}{\partial s}$, f\"{u}r diese Linie und \[ \frac{\partial^2 (u - a)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 (u - a)}{\partial y^2} \] \"{u}berall $= 0$; es m\"{u}sste also nach Art.~11, I.\ $u - a$ und folglich, da \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x},\] auch $v - b$ \"{u}berall $= 0$ sein, gegen die Voraussetzung. II. In Folge der in I. gemachten Voraussetzung kann zwischen den Theilen von $S$ nicht ein Zusammenhang Statt finden ohne einen Zusammenhang der entsprechenden Theile von $T$; umgekehrt kann \"{u}berall, wo in $T$ Zusammenhang Statt findet und $w$ stetig ist, der Fl\"{a}che $S$ ein entsprechender Zusammenhang beigelegt werden. Dieses vorausgesetzt entspricht die Begrenzung von $S$ einestheils der Begrenzung von $T$, anderntheils den Unstetigkeitsstellen; ihre inneren Theile aber sind, einzelne Punkte ausgenommen, \"{u}berall schlicht \"{u}ber $B$ ausgebreitet, d.~h.\ es findet nirgends eine Spaltung in auf einander liegende Theile und nirgends eine Umfaltung Statt. Ersters k\"{o}nnte, da $T$ \"{u}berall einen entsprechenden Zusammenhang besitzt, offenbar nur eintreten, wenn in $T$ eine Spaltung vork\"{a}me---der Annahme zuwider---; Letzteres soll sogleich bewiesen werden. Wir beweisen zuv\"{o}rderst, dass ein Punkt~$Q'$, wo $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ endlich ist, nicht in einer Falte der Fl\"{a}che $S$ liegen kann. In der That, umgeben wir den Punkt~$O'$, welcher $Q'$ entspricht, mit einem St\"{u}cke der Fl\"{a}che~$T$ von beliebiger Gestalt und unbestimmten Dimensionen, so m\"{u}ssen (nach Art.~3) die Dimensionen desselben stets so klein angenommen werden k\"{o}nnen, dass die Gestalt des entsprechenden Theils von $S$ beliebig wenig abweicht, und folglich so klein, dass die Begrenzung desselben aus der Ebene~$B$ ein $Q'$ einschliessendes St\"{u}ck ausscheidet. Dies aber ist unm\"{o}glich, wenn $Q'$ in einer Falte der Fl\"{a}che $S$ liegt. Nun kann $\displaystyle \frac{dw}{dz}$, als Function von $z$, nach I.\ nur in einzelnen Punkten $= 0$, und, da $w$ in den in Betracht kommenden Punkten von $T$ stetig ist, nur in den Windungspunkten dieser Fl\"{a}che unendlich werden; folglich etc.\ w.~z.~b.~w. III. Die Fl\"{a}che $S$ ist folglich eine Fl\"{a}che, f\"{u}r welche die im Art.~5 f\"{u}r $T$ gemachten Voraussetzungen zutreffen; und in dieser Fl\"{a}che hat f\"{u}r jeden Punkt~$Q$ die unbestimmte Gr\"{o}sse $z$ Einen bestimmten Werth, welcher sich mit der Lage von $Q$ stetig und so \"{a}ndert, dass $\displaystyle \frac{dz}{dw}$ von der Richtung der Orts\"{a}nderung unabh\"{a}ngig ist. Es bildet daher in dem fr\"{u}her festgelegten Sinne $z$ eine stetige Function der ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse $w$ f\"{u}r das durch $S$ dargestellte Gr\"{o}ssengebiet. Hieraus folgt ferner: Sind $O'$ und $Q'$ zwei entsprechende innere Punkte der Fl\"{a}chen $T$ und $S$ und in denselben $z = z'$, $w = w'$, so n\"{a}hert sich, wenn keiner von ihnen ein Windungspunkt ist, bei unendlicher Ann\"{a}herung von $O$ an $O'$ $\displaystyle \frac{w - w'}{z - z'}$ einer endlichen Grenze, und die Abbilding ist daselbst eine in den kleinsten Theilen \"{a}hnliche; wenn aber $Q'$ ein Windungspunkt $(n - 1) \,$\-ter, $O'$ ein Windungspunkt $(m - 1) \,$\-ter Ordnung ist, so n\"{a}hert sich $\displaystyle \frac{(w - w')^{\frac{1}{n}}}{(z - z')^{\frac{1}{m}}}$ bei unendlicher Ann\"{a}herung von $O$ an $O'$ einer endlichen Grenze, und f\"{u}r die anstossenden Fl\"{a}chentheile findet eine Abbildungsart Statt, die sich leicht aus Art.~14 ergiebt. \nobreak\medskip \asterisktriangle \medbreak \centerline{16.} \nobreak\medskip \emph{Lehrsatz}. Sind $\alpha$ und $\beta$ zwei beliebige Functionen von $x$,~$y$, f\"{u}r welche das Integral \[ \int \left[ \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT \] durch alle Theile der beliebig \"{u}ber $A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che $T$ ausgedehnt einen endlichen Werth hat, so erh\"{a}lt das Integral bei Aenderung von $\alpha$ um stetige oder doch nur in einzelnen Punkten unstetige Functionen, die am Rande $= 0$ sind, immer f\"{u}r eine dieser Functionen einen Minimumwerth und, wenn man durch Ab\"{a}nderung in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeiten ausschliesst, nur f\"{u}r Eine. Wir bezeichnen durch $\lambda$ eine unbestimmte stetige oder doch nur in einzelnen Punkten unstetige Function, welche am Rande $= 0$ ist und f\"{u}r welche das Integral \[ L= \int \left( \left( \frac{\partial \lambda}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \lambda}{\partial y} \right)^2 \right) \, dT \] \"{u}ber die ganze Fl\"{a}che ausgedehnt einen endlichen Werth erh\"{a}lt, durch $\omega$ eine unbestimmte der Functionen $\alpha + \lambda$, endlich das \"{u}ber die ganze Fl\"{a}che erstreckte Integral \[ \int \left[ \left( \frac{\partial \omega}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \omega}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT \] durch $\Omega$. Die Gesammtheit der Functionen $\lambda$ bildet ein zusammenh\"{a}ngendes in sich abgeschossenes Gebiet, indem jede dieser Functionen stetig in jede andere \"{u}bergehen, sich aber nicht einer l\"{a}ngs einer Linie unstetigen unendlich ann\"{a}hen kann, ohne dass $L$ unendlich wird (Art.~17); f\"{u}r jedes $\lambda$ erh\"{a}lt nun, $\omega = \alpha + \lambda$ gesetzt, $\Omega$ einen endlichen Werth, der mit $L$ zugleich unendlich wird, sich mit der Gestalt von $\lambda$ stetig \"{a}ndert, aber nie unter Null herabsinken kann; folglich hat $\Omega$ wenigstens f\"{u}r Eine Gestalt der Function $\omega$ ein Minimum. Um den zweiten Theil unseres Satzes zu beweisen, sei $u$ eine der Functionen $\omega$, welche $\Omega$ einen Minimumwerth ertheilt, $h$ eine unbestimmte in der ganzen Fl\"{a}che constante Gr\"{o}sse, so dass $u + h \lambda$ den der Function $\omega$ vorgeschriebenen Bedingungen gen\"{u}gt. Der Werth von $\Omega$ f\"{u}r $\omega = u + h \lambda$, welcher \begin{eqnarray*} &=& \int \left[ \left( \frac{\partial u }{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u }{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT \\ & &+ 2 h \int \left[ \left( \frac{\partial u }{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial x} + \left( \frac{\partial u }{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial y} \right] \, dT \\ & &+ h^2 \int \left( \left( \frac{\partial \lambda}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \lambda}{\partial y} \right)^2 \right) \, dT \\ &=& M + 2 N h + L h^2 \end{eqnarray*} wird, muss alsdann f\"{u}r jedes $\lambda$ (nach dem Begriffe des Minimums) gr\"{o}sser als $M$ werden, sobald $h$ nur hinreichend klein genommen ist. Dies erfordert aber, dass f\"{u}r jedes $\lambda$ $N = 0$ sei; denn andernfalls w\"{u}rde \[ 2 N h + L h^2 = L h^2 \left( 1 + \frac{2N}{Lh} \right) \] negativ werden, wenn $h$ dem $N$ entgegengesetzt und abgesehen vom Zeichen $\displaystyle < \frac{2N}{L}$ angenommen w\"{u}rde. Der Werth von $\Omega$ f\"{u}r $\omega = u + \lambda$, in welcher Form offenbar alle m\"{o}glichen Werthe von $\omega$ enthalten sind, wird daher $= M + L$, und folglich kann, da $L$ wesentlich positiv ist, $\Omega$ f\"{u}r keine Gestalt der Function $\omega$ einen kleinern Werth erhalten, als f\"{u}r $\omega = u$. Findet nun f\"{u}r eine andere $u'$ der Functionen $\omega$ ein Minimumwerth $M'$ von $\Omega$ statt, so muss von diesem offenbar dasselbe gelten, man hat also $M' \leq M$ und $M \leq M'$, folglich $M = M'$. Bringt man aber $u'$ auf die Form $u + \lambda'$, so erh\"{a}lt man f\"{u}r $M'$ den Ausdruck $M + L'$, wenn $L'$ den Werth von $L$ f\"{u}r $\lambda = \lambda'$ bezeichnet, und die Gleichung $M = M'$ giebt $L' = 0$. Dies ist nur m\"{o}glich, wenn in allen Fl\"{a}chentheilen \[ \frac{\partial \lambda'}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial \lambda'}{\partial y} = 0 \] ist, und es hat daher, so weit $\lambda'$ stetig ist, diese Function nothwending einen constanten und folglich, da sie am Rande $= 0$ und nicht l\"{a}ngs einer Linie unstetig ist, h\"{o}chstens in einzelnen Punkten einen von Null verschiedenen Werth. Zwei der Functionen $\omega$, welche $\Omega$ einem Minimumwerth ertheilen, k\"{o}nnen also nur in einzelnen Punkten von einander verschieden sein, und wenn in der Function~$u$ alle durch Ab\"{a}nderung in einzelnen Punkten hebbaren Unstetigkeiten beseitigt werden, ist diese vollkommen bestimmt. \medbreak \centerline{17.} \nobreak\medskip Es soll jetzt der Beweis nachgeliefert werden, dass $\lambda$ unbeschadet der Endlichkeit von $L$ sich nicht einer l\"{a}ngs einer Linie unstetigen Function $\gamma$ unendlich ann\"{a}hern k\"{o}nne, d.~h.\ wird die Function $\lambda$ der Bedingung unterworfen, ausserhalb eines die Unstetigkeitslinie einschliessenden Fl\"{a}chentheils $T'$ mit $\gamma$ \"{u}bereinzustimmen, so kann $T'$ stets so klein angenommen werden, das $L$ gr\"{o}sser als eine beliebig gegebene Gr\"{o}sse $C$ werden muss. Wir bezeichnen, $s$ und $p$ in Bezug auf die Unstetigkeitslinie in der gewohnten Bedeutung genommen, f\"{u}r ein unbestimmtes $s$ die Kr\"{u}mmung, eine auf der Seite der positiven $p$ convexe als positiv betrachtet, durch $\kappa$, den Werth von $p$ an der Grenze von $T'$ auf der positiven Seite durch $p_1$, auf der negativen Seite durch $p_2$ und die entsprechenden Werthe von $\gamma$ durch $\gamma_1$ und $\gamma_2$. Betrachten wir nun irgend einen stetig gekr\"{u}mmten Theil dieser Linie, so liefert der zwischen den Normalen in den Endpunkten enthaltene Theil von $T'$, wenn er sich nicht bis zu den Kr\"{u}mmungsmittelpunkten erstreckt, zu $L$ den Beitrag \[ \int ds \int_{p_2}^{p_1} dp \, (1 - \kappa p) \left[ \left( \frac{\partial \lambda}{\partial p} \right)^2 + \left( \frac{\partial \lambda}{\partial s} \right)^2 \frac{1}{(1 - \kappa p)^2} \right];\] den kleinste Werth des Ausdrucks \[ \int_{p_2}^{p_1} \left( \frac{\partial \lambda}{\partial p} \right)^2 (1 - \kappa p) \, dp \] bei den festen Grenzwerthen $\gamma_1$ und $\gamma_2$ von $\lambda$ findet sich aber nach bekannten Regeln \[ = \frac{(\gamma_1 - \gamma_2)^2 \kappa}{\log (1 - \kappa p_2) - \log (1 - \kappa p_1)},\] und folglich wird jener Beitrag nothwendig, wie auch $\lambda$ innerhalb $T'$ angenommen werden m\"{o}ge, \[ > \int \frac{(\gamma_1 - \gamma_2)^2 \kappa \, ds}{\log (1 - \kappa p_2) - \log (1 - \kappa p_1)}.\] Die Function $\gamma$ w\"{a}re f\"{u}r $p = 0$ stetig, wenn der gr\"{o}sste Werth, den $(\gamma_1 - \gamma_2)^2$ f\"{u}r $\pi_1 > p_1 > 0$ und $\pi_2 < p_2 < 0$ erhalten kann, mit $\pi_1 - \pi_2$ unendlich klein w\"{u}rde; wir k\"{o}nnen folglich f\"{u}r jeden Werth von $s$ eine endliche Gr\"{o}sse $m$ so annehmen, dass, wie klein auch $\pi_1 - \pi_2$ angenommen werden m\"{o}ge, stets innerhalb der durch $\pi_1 > p_1 \geq 0$ und $\pi_2 < p_2 \leq 0$ (wo die Gleichheiten sich gegenseitig ausschliessen) ausgedr\"{u}ckten Grenzen Werthe von $p_1$ und $p_2$ enthalten sind, f\"{u}r welche $(\gamma_1 - \gamma_2)^2 > m$ wird. Nehmen wir ferner unter dem fr\"{u}heren Beschr\"{a}nkungen eine Gestalt von $T'$ beliebig an, indem wir $p_1$ und $p_2$ bestimmte Werthe $P_1$ und $P_2$ beilegen, und bezeichnen den Werth des durch in Betracht gezogenen Theil der Unstetigkeitslinie ansgedehnten Integrals \[ \int \frac{m \kappa \, ds}{\log (1 - \kappa P_2) - \log (1 - \kappa P_1)} \] durch $a$, so k\"{o}nnen wir offenbar \[ \int \frac{(\gamma_1 - \gamma_2)^2 \kappa \, ds}{\log (1 - \kappa p_2) - \log (1 - \kappa p_1)} > C \] machen, indem wir $p_1$ und $p_2$ f\"{u}r jeden Werth von $s$ so annehmen, dass den Ungleichheiten \[ p_1 < \frac{1 - (1 - \kappa P_1)^{\frac{a}{C}}}{\kappa},\quad p_2 > \frac{1 - (1 - \kappa P_2)^{\frac{a}{C}}}{\kappa},\quad \hbox{und}\quad (\gamma_1 - \gamma_2)^2 > m \] gen\"{u}gt wird. Dies aber hat zur Folge, dass, wie auch $\lambda$ innerhalb $T'$ angenommen werden m\"{o}ge, der aus dem in Betracht gezogenen St\"{u}cke von $T'$ stammende Theil von $L$ und folglich um so mehr $L$ selbst $> C$ wird, w.~z.~b.~w. \medbreak \centerline{18.} \nobreak\medskip Nach Art.~16 haben wir f\"{u}r die dort festgelegte Function~$u$ und f\"{u}r irgend eine der Functionen~$\lambda$ \[ N = \int \left[ \left( \frac{\partial u }{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial x} + \left( \frac{\partial u }{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial y} \right] \, dT,\] durch die ganze Fl\"{a}che~$T$ ausgedehnt, $= 0$. Aus dieser Gleichung sollen jetzt weitere Schl\"{u}sse gezogen werden. Scheidet man aus der Fl\"{a}che~$T$ ein die Unstetigkeitsstellen von $u$, $\beta$, $\lambda$ einschliessendes St\"{u}ck $T'$ aus, so findet sich der von dem \"{u}brigen St\"{u}cke~$T''$ herr\"{u}hrende Theil von $N$ mit H\"{u}lfe der Art.~7, 8, wenn man $\displaystyle \left( \frac{\partial u }{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right) \lambda$ f\"{u}r $X$ und $\displaystyle \left( \frac{\partial u }{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right) \lambda$ f\"{u}r $Y$ setzt, \[ = - \int \lambda \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \, dT - \int \left( \frac{\partial u }{\partial p} + \frac{\partial \beta }{\partial s} \right) \lambda \, ds.\] In Folge der der Function~$\lambda$ auferlegten Grenzbedingung wird der auf das mit $T$ gemeinschaftliche Begrenzungsst\"{u}ck von $T''$ bez\"{u}gliche Theil von \[ \int \left( \frac{\partial u }{\partial p} + \frac{\partial \beta }{\partial s} \right) \lambda \, ds \] gleich $0$, so dass $N$ betrachtet werden kann als zusammengesetzt aus dem Integral \[ - \int \lambda \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \, dT \] in Bezug auf $T''$ und \[ \int \left[ \left( \frac{\partial u }{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial x} + \left( \frac{\partial u }{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right) \frac{\partial \lambda}{\partial y} \right] \, dT + \int \left( \frac{\partial u }{\partial p} + \frac{\partial \beta }{\partial s} \right) \lambda \, ds \] in Bezug auf $T'$. Offenbar w\"{u}rde nun, wenn $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ in irgend einem Theile der Fl\"{a}che~$T$ von $0$ verscheiden w\"{a}re, $N$ ebenfalls einen von $0$ verschiedenen Werth erhalten, sobald man $\lambda$, was frei steht, innerhalb $T'$ gleich $0$ und innerhalb $T''$ so w\"{a}hlte, dass $\displaystyle \lambda \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)$ \"{u}berall dasselbe Zeichen h\"{a}tte. Ist aber $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ in allen Theilen von $T$ $= 0$, so verschwindet der von $T''$ herr\"{u}hrende Bestandtheil von $N$ f\"{u}r jedes $\lambda$, und die Bedingung $N = 0$ ergiebt dann, dass die auf die Unstetigkeitsstellen bez\"{u}glichen Bestandtheile $= 0$ werden. F\"{u}r die Functionen $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial \beta}{\partial y}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial \beta}{\partial x}$ haben wir daher, wenn wir erstere $= X$ und letztere $= Y$ setzen, nicht bloss allgemein zu reden die Gleichung \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0,\] sondern es wird auch durch die ganze Begrenzung irgend eines Theils von $T$ erstreckt \[ \int \left( X \frac{\partial x}{\partial p} + Y \frac{\partial y}{\partial p} \right) \, ds = 0,\] in so fern dieser Ausdruck \"{u}berhaupt einen bestimmten Werth hat. Zerlegen wir also (nach Art.~9, V) die Fl\"{a}che~$T$, wenn sie einen mehrfachen Zusammenhang besitzt, durch Querschnitte in eine einfach zusammenh\"{a}ngende $T^*$, so hat das Integral \[ - \int_{O_0}^O \left( \frac{\partial u}{\partial p} + \frac{\partial \beta}{\partial s} \right) \, ds \] f\"{u}r jede im Innern von $T^*$ von $O_0$ nach $O$ gehende Linie denselben Werth und bildet, $O_0$ als fest gedacht, eine Function von $x$,~$y$, welche in $T^*$ \"{u}berall eine stetige und l\"{a}ngs eines Querschnitts beiderseits eine gleiche Aenderung erleidet. Diese Function $\nu$ zu $\beta$ hinzugef\"{u}gt, liefert uns eine Function $v = \beta + \nu$, von welcher der Differentialquotient $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y}$ und $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$ ist. Wir haben daher folgenden \emph{Lehrsatz}. Ist in einer zusammenh\"{a}ngenden, durch Querschnitte in eine einfach zusammenh\"{a}ngende $T^*$ zerlegten Fl\"{a}che $T$ eine complexe Function $\alpha + \beta i$ von $x$,~$y$ gegeben, f\"{u}r welche \[ \int \left[ \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT \] durch die ganze Fl\"{a}che ausgedehnt einen endlichen Werth hat, so kann sie immer und nur auf Eine Art in eine Function von $z$ verwandelt werden durch Hinzuf\"{u}gung einer Function $\mu + \nu i$ von $x$,~$y$, welche folgenden Bedingungen gen\"{u}gt: \begin{description} \item[\textmd{1)}] $\mu$ ist am Rande $= 0$ oder doch nur in einzelnen Punkten davon verschieden, $\nu$ in einem Punkte beliebig gegeben, \item[\textmd{2)}] die Aenderungen von $\mu$ sind in $T$, von $\nu$ in $T^*$ nur in einzelnen Punkten und nur so unstetig, dass \[ \int \left[ \left( \frac{\partial \mu}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mu}{\partial y} \right)^2 \right] \, dT \quad\mbox{und}\quad \int \left[ \left( \frac{\partial \nu}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \nu}{\partial y} \right)^2 \right] \, dT \] durch die ganze Fl\"{a}che erstreckt endlich bleiben, und letztere l\"{a}ngs der Querschnitte beiderseits gleich. \end{description} Die Zul\"{a}nglichkeit der Bedingung zur Bestimmung von $\mu + \nu i$ folgt daraus, dass $\mu$, durch welches $\nu$ bis auf eine additive Constante bestimmt ist, stets zugleich ein Minimum des Integrals $\Omega$ liefert, da, $u = \alpha + \mu$ gesetzt, offenbar f\"{u}r jedes $\lambda$ $N = 0$ wird; eine Eigenschaft, die nach Art.~16 nur Einer Function zukommen kann. \medbreak \centerline{19.} \nobreak\medskip Die Principien, welche dem Lehrsatz am Schusse des vorigen Art.\ zu Grunde liegen, er\"{o}ffnen den Weg, \emph{bestimmte} Functionen einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse (unabh\"{a}ngig von einem Ausdrucke f\"{u}r dieselben) zu untersuchen. Zu Orientirung auf diesem Felde wird ein Ueberschlag \"{u}ber den Umfang der zur Bestimmung einer solchen Function innerhalb eines gegebenen Gr\"{o}ssengebiets erforderlichen Bedingungen dienen. Halten wir uns zun\"{a}chst an einen bestimmten Fall, so kann, wenn die \"{u}ber $A$ ausgebreitete Fl\"{a}che, durch welche dies Gr\"{o}ssengebiet dargestellt wird, eine einfach zusammenh\"{a}ngende ist, die Function $w = u + vi$ von $z$ folgenden Bedingungen gem\"{a}ss bestimmt werden: \begin{description} \item[\textmd{1)}] f\"{u}r $u$ ist in allen Begrenzungspunkten ein Werth gegeben, der sich f\"{u}r eine unendlich kleine Orts\"{a}nderung um eine unendlich kleine Gr\"{o}sse von derselben Ordnung, \"{u}brigens aber beliebig \"{a}ndert.\footnote{An sich sind die Aenderungen dieses Werthes nur der Beschr\"{a}nkung unterworfen, nicht l\"{a}ngs eines \emph{Theils} der Begrenzung unstetig zu sein; eine weitere Beschr\"{a}nkung ist nur gemacht, um hier unn\"{o}thige Weitl\"{a}ufigkeiten zu vermeiden.} \item[\textmd{2)}] der Werth von $v$ ist in irgend einem Punkte beliebig gegeben; \item[\textmd{3)}] die Function soll in allen Punkten endlich und stetig sein. \end{description} Durch diese Bedingungen aber ist sie vollkommen bestimmt. In der That folgt dies aus dem Lehrsatze des vorigen Art., wenn man, was immer m\"{o}glich sein wird, $\alpha + \beta i$ so bestimmt, dass $\alpha$ am Rande dem gegebenen Werth gleich und in der ganzen Fl\"{a}che f\"{u}r jede unendlich kleine Orts\"{a}nderung die Aenderung von $\alpha + \beta i$ unendlich klein von derselben Ordnung ist. Es kann also, allgemein to reden, $u$ am Rande als eine ganz willk\"{u}rliche Function von $s$ gegeben werden, und dadurch ist $v$ \"{u}berall mit bestimmt; umgekehrt kann aber auch $v$ in jedem Begrenzungspunkte beliebig angenommen werden, woraus dann der Werth von $u$ folgt. Der Spielraum f\"{u}r die Wahl der Werthe von $w$ am Rande umfasst daher eine Mannigfaltigkeit von Einer Dimension f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt, und die vollst\"{a}ndige Bestimmung derselben erfordert f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt Eine Gleichung, wobei es indess nicht wesentlich sein wird, dass jede dieser Gleichungen sich auf den Werth Eines Gliedes in Einem Begrenzungspunkte allein bezieht. Es wird diese Bestimmung auch so geschehen k\"{o}nnen, das f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt Eine mit der Lage dieses Punktes ihre Form stetig \"{a}ndernde, beide Gleider enthaltende Gleichung gegeben ist, oder f\"{u}r mehrere Theile der Begrenzung gleichzeitig so, dass jedem Punkte eines dieser Theile $n - 1$ bestimmte Punkte, aus jedem der \"{u}brigen Theile einer, zugesellt und f\"{u}r je $n$ solcher Punkte gemeinschaftlich $n$ mit ihrer Lage stetig ver\"{a}nderliche Gleichungen gegeben sind. Diese Bedingungen, deren Gesammtheit eine stetige Mannigfaltigkeit bildet und welche durch Gleichungen zwischen willk\"{u}rlichen Functionen ausgedr\"{u}ckt werden, werden aber, um f\"{u}r die Bestimmung einer im Innern des Gr\"{o}ssengebiets \"{u}berall stetigen Function zul\"{a}ssig und hinreichend zu sein, allgemein zu reden, noch einer Beschr\"{a}nkung oder Erg\"{a}nzung durch einzelne Bedingungsgleichungen---Gleichungen f\"{u}r willk\"{u}rliche Constanten---bed\"{u}rfen, indem bis auf diese sich die Genauigkeit unserer Sch\"{a}tzung offenbar nicht erstreckt. F\"{u}r den Fall, wo das Gebiet der Ver\"{a}nderlichkeit der Gr\"{o}sse~$z$ durch eine mehrfach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}che dargestellt wird, erleiden diese Betrachtungen keine wesentliche Ab\"{a}nderung, indem die Anwendung des Lehrsatzes in Art.~18 eine bis auf die Aenderungen beim Ueberschreiten der Querschnitte ebenso wie vorhin beschaffene Function liefert---Aenderungen, welche $= 0$ gemacht werden k\"{o}nnen, wenn die Grenzbedingungen eine der Anzahl der Querschnitte gleiche Anzahl verf\"{u}gbarer Constanten enthalten. Der Fall, wo im Innern l\"{a}ngs einer Linie auf Stetigkeit verzichtet wird, ordnet sich dem vorigen unter, wenn man diese Linie als einen Schnitt der Fl\"{a}che betrachtet. Wenn endlich in einem einzelnen Punkte eine Verletzung der Stetigkeit, also nach Art.~12 ein Unendlichwerden der Function, zugelassen wird, so kann unter Beibehaltung der sonstigen in unserm Anfangsfalle gemachten Voraussetzungen f\"{u}r diesen Punkt eine Function von $z$, nach deren Subtraction die zu bestimmende Function stetig werden soll, beliebig gegeben werden; dadurch aber ist sie v\"{o}llig bestimmt. Denn nimmt man die Gr\"{o}sse $\alpha + \beta i$ in einem beliebig kleinen um den Unstetigkeitspunkt beschriebenen Kreise gleich dieser gegebenen Function, \"{u}brigens aber den fr\"{u}heren Vorschriften gem\"{a}ss an, so wird das Integral \[ \int \left( \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right) \, dT \] \"{u}ber diesen Kreis erstreckt $= 0$, \"{u}ber den \"{u}brigen Theil erstreckt einer endlichen Gr\"{o}sse gleich, und man kann also den Lehrsatz des vorigen Art.\ anwenden, wodurch man eine Function mit den verlangten Eigenschaften erh\"{a}lt. Hieraus kann man mit H\"{u}lfe des Lehrsatzes im Art.~13 folgern, dass im Allgemeinen, wenn in einem einzelnen Unstetigkeitspunkte die Function unendlich gross von der Ordnung $n$ werden darf, eine Anzahl von $2n$ Constanten verf\"{u}gbar wird. Geometrisch dargestellt liefert (nach Art.~15) eine Function~$w$ einer innerhalb eines gegebenen Gr\"{o}ssengebiets von zwei Dimensionen ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse $z$ von einer gegebenen $A$ bedeckenden Fl\"{a}che~$T$ ein ihr in den kleinsten Theilen, einzelne Punkte ausgenommen, \"{a}hnliches, $B$ bedeckendes Abbild~$S$. Die Bedingungen, welche so eben zur Bestimmung der Function hinreichend und nothwendig befunden worden sind, beziehen sich auf ihren Werth entweder in Begrenzungs- oder in Unstetigkeitspunkten; sie erscheinen also (Art.~15) s\"{a}mmtlich als Bedingungen f\"{u}r die Lage der Begrenzung von $S$, und zwar geben sie f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt Eine Bedingungsgleichung. Bezieht sich jede derselben nur auf Einen Begrenzungspunkt, so werden sie durch eine Schaar von Curven repr\"{a}sentirt, von denen f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt Eine den geometrischen Ort bildet. Werden zwei mit einander stetig fortr\"{u}ckende Begrenzungspunkte gemeinschaftlich zwei Bedingungsgleichungen unterworfen, so entsteht dadurch zwischen zwei Begrenzungstheilen eine solche Abh\"{a}ngigkeit, dass, wenn die Lage des einen willk\"{u}rlich angenommen wird, die Lage des andern daraus folgt. Aehnlicher Weise ergiebt sich f\"{u}r andere Formen der Bedingungsgleichungen eine geometrische Bedeutung, was wir indess nicht weiter verfolgen wollen. \medbreak \centerline{20.} \nobreak\medskip Die Einf\"{u}hrung der complexen Gr\"{o}ssen in die Mathematik hat ihren Ursprung und n\"{a}chsten Zweck in der Theorie einfacher\footnote{Wir betrachten hier als Elementaroperationen, Addition und Subtraction, Multiplication und Division, Integration und Differentiation, und ein Abh\"{a}ngigkeitsgesetz als desto \emph{einfacher}, durch je weniger Elementaroperationen die Abh\"{a}ngigkeit bedingt wird. In der That lassen sich durch eine endlich Anzahl dieser Operationen alle bis jetzt in der Analysis benutzten Functionen definiren.} durch Gr\"{o}ssenoperationen ausgedr\"{u}ckter Abh\"{a}ngigkeitsgesetze zwischen ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen. Wendet man n\"{a}mlich diese Abh\"{a}ngigkeitsgesetze in einem erweiterten Umfange an, indem man den ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen, auf welche sie sich beziehen, complexe Werthe giebt, so tritt eine sonst versteckt bleibende Harmonie und Regelm\"{a}ssigkeit hervor. Die F\"{a}lle, in denen dies geschehen ist, umfassen zwar bis jetzt erst ein kleines Gebiet---sie lassen sich fast s\"{a}mmtlich auf diejenigen Abh\"{a}ngigkeitsgesetze zwischen zwei ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen zur\"{u}ckf\"{u}hren, wo die eine entweder eine algebraische\footnote{D.~h.\ wo zwischen beiden eine algebraische Gleichung Statt findet.} Function der andern ist oder eine solche Function, deren Differentialquotient eine algebraische Function ist---, aber beinahe jede Schritt, der hier gethan ist, hat nicht bloss den ohne H\"{u}lfe der complexen Gr\"{o}ssen gewonnenen Resultaten eine einfachere, geschlossenere Gestalt gegeben, sondern auch zu neuen Entdeckungen die Bahn gebrochen, wozu die Geschichte der Untersuchungen \"{u}ber algebraische Functionen, Kreis- oder Exponentialfunctionen, elliptische und Abel'sche Functionen den Beleg liefert. Es soll kurz andgedeutet werden, was durch unsere Untersuchung f\"{u}r die Theories solcher Functionen gewonnen ist. Die bisherigen Methoden, diese Functionen zu behandeln, legten stets als Definition einen \emph{Ausdruck} der Function zu Grunde, wodurch ihr Werth f\"{u}r \emph{jeden} Werth ihres Argumentes gegeben wurde; durch unsere Untersuchung ist gezeigt, dass, in Folge des allgemeinen Charakters einer Function einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse, in einer Definition dieser Art ein Theil der Bestimmungsst\"{u}cke eine Folge der \"{u}brigen ist, und zwar ist der Umfang der Bestimmungsst\"{u}cke auf die zur Bestimmung nothwendigen zur\"{u}ckgef\"{u}hrt worden. Dies vereinfacht die Behandlung derselben wesentlich. Um z.~B. die Gleichheit zweier Ausdr\"{u}cke derselben Function zu beweisen, musste man sonst den einen in den andern transformiren, d.~h.\ zeigen, dass beide f\"{u}r jeden Werth der ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}sse \"{u}bereinstimmen; jetzt gen\"{u}gt der Nachweis ihrer Uebereinstimmung in einem weit geringern Umfange. Eine Theorie dieser Functionen auf den hier gelieferten Grundlagen w\"{u}rde die Gestaltung der Function (d.~h.\ ihren Werth f\"{u}r jeden Werth ihres Arguments) unabh\"{a}ngig von einer Bestimmungsweise derselben durch Gr\"{o}ssenoperationen festlegen, indem zu dem allgemeinen Begriffe einer Function einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse nur die zur Bestimmung der Function nothwendigen Merkmale hinzugef\"{u}gt w\"{u}rden, und dann erst zu den verschiedenen Ausdr\"{u}cken deren die Function f\"{a}hig ist \"{u}bergehen. Der gemeinsame Charakter einer Gattung von Functionen, welche auf \"{a}hnliche Art durch Gr\"{o}ssenoperationen ausgedr\"{u}ckt werden, stellt sich dann dar in der Form der ihnen auferlegten Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen. Wird z.~B.\ das Gebiet der Ver\"{a}nderlichkeit der Gr\"{o}sse~$z$ \"{u}ber die ganze unendliche Ebene~$A$ einfach oder mehrfach erstreckt, und innerhalb derselben der Function nur in einzelnen Punkten eine Unstetigkeit, und zwar nur ein Unendlichwerden, dessen Ordnung endlich ist, gestattet (wobei f\"{u}r ein unendliches $z$ diese Gr\"{o}sse selbst, f\"{u}r jeden endlichen Werth $z'$ derselben aber $\displaystyle \frac{1}{z - z'}$ als ein unendlich Grosses erster Ordnung gilt), so ist die Function nothwendig algebraisch, und umgekehrt erf\"{u}llt diese Bedingung jede algebraische Function. Die Ausf\"{u}hrung dieser Theorie, welche, wie bemerkt, einfache durch Gr\"{o}ssenoperationen bedingte Abh\"{a}ngigkeitsgesetze ins Licht zu setzen bestimmt ist, unterlassen wir indess jetzt, da wir die Betrachtung des Ausdruckes einer Function gegenw\"{a}rtig ausschliessen. Aus demselben Grunde befassen wir uns hier auch nicht damit, die Brauchbarkeit unserer S\"{a}tze als Grundlagen einer \emph{allgemeinen} Theorie dieser Abh\"{a}ngigkeitsgesetze darzuthun, wozu der Beweis erfordert wird, dass der hier zu Grunde gelegte Begriff einer Function einer ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}sse mit dem einer durch Gr\"{o}ssenoperationen ausdr\"{u}ckbaren Abh\"{a}ngigkeit\footnote{Es wird darunter jede durch eine endliche oder unendliche Anzahl der vier einfachsten Rechnungsoperationen, Addition und Subtraction, Multplication und Division, ausdr\"{u}ckbare Abh\"{a}ngigkeit begriffen. Der Ausdruck Gr\"{o}ssenoperationen soll (im Gegensatze zu Zahlenoperationen) solche Rechnungsoperationen andeuten, bei denen die Commensurabilit\"{a}t der Gr\"{o}ssen nicht in Betracht kommt.} v\"{o}llig zusammenf\"{a}llt. \medbreak \centerline{21.} \nobreak\medskip Es wird jedoch zur Erl\"{a}uterung unserer allgemeinen S\"{a}tze ein ausgef\"{u}hrtes Beispiel ihrer Anwendung von Nutzen sein. Die im vorigen Artikel bezeichnete Anwendung derselben ist, obwohl die bei ihre Aufstellung zun\"{a}chst beabsichtigte, doch nur eine specielle. Denn wenn die Abh\"{a}ngigkeit durch eine endliche Anzahl der dort als Elementaroperationen betrachteten Gr\"{o}ssenoperationen bedingt ist, so enth\"{a}lt die Function nur eine endliche Anzahl von Parametern, was f\"{u}r die Form eines Systems von einander unabh\"{a}ngiger Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen, die zu ihrer Bestimmung hinreichen, der Erfolg hat, dass unter ihnen l\"{a}ngs einer Linie in jedem Punkte willk\"{u}rlich zu bestimmende Bedingungen gar nicht vorkommen k\"{o}nnen. F\"{u}r unsern jetzigen Zweck schien es daher geeigneter, nicht ein dorther entnommenes Beispiel zu w\"{a}hlen, sondern vielmehr ein solches, wo die Function der complexen Ver\"{a}nderlichen von einer willk\"{u}rlichen Function abh\"{a}ngt. Zur Veranschaulichung und bequemeren Fassung geben wir demselben die am Schlusse des Art.~19 gebrauchte geometrische Einkleidung. Es erscheint dann als eine Untersuchung \"{u}ber die M\"{o}glichkeit, von einer gegebenen Fl\"{a}che ein zusammenh\"{a}ngendes in den kleinsten Theilen \"{a}hnliches Abbild zu liefern, dessen Gestalt gegeben ist, wo also in obiger Form ausgedr\"{u}ckt, f\"{u}r jeden Begrenzungspunkt des Abbildes eine Ordscurve, und zwar f\"{u}r alle dieselbe, ausserdem aber (Art.~5) der Sinn der Begrenzung und die Windungspunkte desselben gegeben sind. Wir beschr\"{a}nken uns auf die L\"{o}sung dieser Aufgabe in dem Falle, wo jedem Punkte der einen Fl\"{a}che nur Ein Punkt der andern entsprechen soll und die Fl\"{a}chen einfach zusammenh\"{a}ngend sind, f\"{u}r welchen Fall sie in folgenden Lehrsatz enthalten ist. Zwei gegebene einfach zusammenh\"{a}ngende ebene Fl\"{a}chen k\"{o}nnen stets so auf einander bezogen werden, dass jedem Punkte der einen Ein mit ihm stetig fortr\"{u}ckender Punkt der anderen entspricht und ihre entsprechenden kleinsten Theile \"{a}hnlich sind; und zwar kann zu Einem innern Punkte und zu Einem Begrenzungspunkte der entsprechende beliebig gegeben werden; dadurch aber ist f\"{u}r all Punkte die Beziehung bestimmt. Wenn zwei Fl\"{a}chen $T$ und $R$ auf eine dritte $S$ so bezogen sind, dass zwischen den entsprechenden kleinsten Theilen Aehnlichkeit Statt findet, so ergiebt sich daraus eine Beziehung zwischen den Fl\"{a}chen~$T$ und $R$, von welcher offenbar dasselbe gilt. Die Aufgabe, zwei beliebige Fl\"{a}chen auf einander so zu beziehen, dass Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen Statt findet, ist dadurch auf die zur\"{u}ckgef\"{u}hrt, jede beliebige Fl\"{a}che durch Eine bestimmte in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich abzubilden. Wir haben hiernach, wenn wir in der Ebene~$B$ um den Punkt, wo $w = 0$ ist, mit dem Radius~$1$ einen Kreis~$K$ beschreiben, um unsern Lehrsatz darzuthun, nur n\"{o}thig zu beweisen: Eine beliebige einfach zusammenh\"{a}ngende~$A$ bedeckende Fl\"{a}che~$T$ kann durch den Kreis~$K$ stets zusammenh\"{a}ngend und in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich abgebildet werden und zwar nur auf Eine Art so, dass dem Mittelpunkte ein beliebig gegebener innerer Punkt $O_0$ und einem beliebig gegebenen Punkte der Peripherie ein beliebig gegebeber Begrenzungspunkt $O'$ der Fl\"{a}che $T$ entspricht. Wir bezeichnen die bestimmten Bedeutungen von $z$, $Q$ f\"{u}r die Punkte $O_0$, $O'$ durch entsprechende Indices und beschreiben in $T$ um $O_0$ als Mittelpunkt einen beliebigen Kreis $\Theta$, welcher sich nicht bis zur Begrenzung von $T$ erstreckt und keinen Windungspunkt enth\"{a}lt. F\"{u}hren wir Polarcoordinaten ein, indem wir $z - z_0 = r e^{\varphi i}$ setzen, so wird die Function $\log (z - z_0) = \log r + \phi i$. Der reelle Werth \"{a}ndert sich daher im ganzen Kreise mit Ausnahme des Punktes $O_0$, wo er unendlich wird, stetig. Der imagin\"{a}re aber erh\"{a}lt, wenn \"{u}berall unter den m\"{o}glichen Werthen von $\varphi$ der kleinste positive gew\"{a}hlt wird, l\"{a}ngs des Radius, wo $z - z_0$ reelle positive Werthe annimmt, auf der einen Seite den Werth~$0$, auf der andern den Werth $2\pi$, \"{a}ndert sich aber dann in allen \"{u}brigen Punkten stetig. Offenbar kann dieser Radius durch eine ganz beliebige vom Mittelpunkte nach der Peripherie gezogene Linie~$l$ ersetzt werden, so dass die Function $\log (z - z_0)$ beim Uebertritt des Punktes $O$ von der negativen (d.~h.\ wo nach Art.~8 $p$ negativ wird) auf die positive Seite dieser Linie eine pl\"{o}tzliche Verminderung um $2\pi i$ erleidet, \"{u}brigens aber sich mit dessen Lage im ganzen Kreise $\Theta$ stetig \"{a}ndert. Nehmen wir nun die complexe Function $\alpha + \beta i$ von $x$,~$y$ im Kreise $\Theta = \log (z - z_0)$, ausserhalb desselben aber, indem wir $l$ beliebig bis an den Rand verl\"{a}ngern, so an, dass sie \begin{description} \item[\textmd{1)}] an der Peripherie von $\Theta = \log (z - z_0)$, am Rande von $T$ bloss imagin\"{a}r wird, \item[\textmd{2)}] beim Uebertritt von der negativen auf die positive Seite der Linie $l$ sich um $-2\pi i$, sonst aber bei jeder unendlich kleinen Orts\"{a}nderung um eine unendlich kleine Gr\"{o}sse von derselben Ordnung \"{a}ndert, \end{description} was immer m\"{o}glich sein wird, so erh\"{a}lt das Integral \[ \int \left( \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right) \, dT,\] \"{u}ber $\Theta$ ausgedehnt den Werth Null, \"{u}ber den ganzen \"{u}brigen Theil erstreckt einen endlichen Werth, und es kann daher $\alpha + \beta i$ durch Hinzuf\"{u}gung einer bis auf einen bloss imagin\"{a}ren constanten Rest bestimmten stetigen Function von $x$,~$y$, welche am Rande bloss imagin\"{a}r ist, in eine Function $t = m + ni$ von $z$ verwandelt werden. Der reelle Theil $m$ dieser Function wird am Rande $= 0$, im Punkte $O_0 = - \infty$ und \"{a}ndert sich im ganzen \"{u}brigen $T$ stetig. F\"{u}r jeden zwischen $O$ und $-\infty$ liegenden Werth $a$ von $m$ zerf\"{a}llt daher $T$ durch eine Linie, wo $m = a$ ist, in Theile, wo $m < a$ ist und die $O_0$ im Innern enthalten, einerseits und anderseits in Theile, wo $m > a$ ist und deren Begrenzung theils durch den Rand von $T$, theils durch Linien, wo $m = a$ ist, gebildet wird. Die Ordnung des Zusammenhangs der Fl\"{a}che~$T$ wird durch diese Zerf\"{a}llung entweder nicht ge\"{a}ndert oder erniedrigt, die Fl\"{a}che zerf\"{a}llt daher, da diese Ordnung $= -1$ ist entweder in zwei St\"{u}cke von der Ordnung des Zusammenhangs $0$ und $-1$, oder in mehr als zwei St\"{u}cke. Lezteres aber ist unm\"{o}glich, weil dann wenigstens in Einem dieser St\"{u}cke $m$ \"{u}berall endlich und stetig und in allen Theilen der Begrenzung constant sein m\"{u}sste, folglich entweder in einem Fl\"{a}chentheil einen constanten Werth, oder irgendwo---in einem Punkte oder l\"{a}ngs einer Linie---einen Maximum- oder Minimumwerth haben m\"{u}sste, gegen Art.~11, III. Die Punkte, wo $m$ constant ist, bilden also in sich zur\"{u}cklaufende allenthalben einfache Linien, welche ein den Punkt $O_0$ einschliessendes St\"{u}ck begrenzen, und zwar nimmt $m$ nach Innen zu nothwendig ab, woraus folgt, dass bei einem positiven Umlaufe (wo nach Art.~8 $s$ w\"{a}chst) $n$ soweit es stetig ist, stets zunimmt, und also, da es nur beim Uebertritt von der negativen auf die positive Seite der Linie~$l$ eine pl\"{o}tzliche Aenderung um $-2\pi$ erleidet\footnote{Da die Linie~$l$ von einem im Innern des St\"{u}cks gelegenen Punkte bis zu einem \"{a}ussern f\"{u}hrt, so muss sie, wenn sie dessen Begrenzung mehrmals schneidet, Einmal mehr von Innen nach Aussen, als von Aussen nach Innen gehen, und die Summe der pl\"{o}tzlichen Aenderungen von $n$ w\"{a}hrend eines positiven Umlaufs ist daher stets $= - 2 \pi$.}, jedem Werth zwischen $0$ und $2\pi$ Einmal von einem Vielfachen von $2\pi$ abgesehen gleich wird. Setzen wir nun $e^t = w$, so werden $e^m$ und $n$ Polarcoordinaten des Punktes~$Q$ in Bezug auf den Mittelpunkt des Kreises~$K$. Die Gesammtheit der Punkte~$Q$ bildet dann offenbar eine \"{u}ber $K$ allenthalben einfach ausgebreitete Fl\"{a}che~$S$; der Punkt $Q_0$ derselben f\"{a}llt auf den Mittelpunkt des Kreises; der Punkt $Q'$ aber kann vermittelst der in $n$ noch verf\"{u}gbaren Constante auf einen beliebig gegebenen Punkt der Peripherie ger\"{u}ckt werden, w.~z.~b.~w. In dem Falle, wo der Punkt $O_0$ ein Windungspunkt $(n-1) \,$\-ter Ordnung ist, gelangt man, wenn nur $\log (z - z_0)$ durch $\displaystyle \frac{1}{n} \log (z - z_0)$ ersetzt wird, durch ganz \"{a}hnliche Schl\"{u}sse zum Ziele, deren weitere Ausf\"{u}hrung man indess aus Art.~14 leicht erg\"{a}nzen wird. \medbreak \centerline{21.} \nobreak\medskip Die vollst\"{a}ndige Durchf\"{u}hrung der Untersuchung des vorigen Artikels f\"{u}r den allgemeinern Fall, wo Einem Punkte der einen Fl\"{a}che mehrere Punkte der andern entsprechen sollen, und ein einfacher Zusammenhang f\"{u}r dieselben nicht vorausgesetzt wird, unterlassen wir hier, zumal da, aus geometrischem Gesichtspunkte aufgefasst, unsere ganze Untersuchung sich in einer allgemeinern Gestalt h\"{a}tte f\"{u}hren lassen. Die Beschr\"{a}nkung auf ebene, einzelne Punkte ausgenommen, schlichte Fl\"{a}chen, ist n\"{a}mlich f\"{u}r dieselbe nicht wesentlich; vielmehr gestattet die Aufgabe, eine beliebig gegebene Fl\"{a}che auf einer andern beliebig gegebenen in den kleinsten Theilen \"{a}hnlich abzubilden, eine ganz \"{a}hnliche Behandlung. Wir begn\"{u}gen uns, hier\"{u}ber auf zwei \emph{Gauss}'sche Abhandlungen, die zu Art.~3 citirte und die disquis.\ gen.\ circa superf.\ art.~13, zu verweisen. \vfill\eject \centerline{\large\textit{Inhalt}\footnote{[Diese Inhalts\"{u}bersicht r\"{u}hrt fast vollst\"{a}ndig von Riemann her.]}.} \nobreak\medskip \begin{enumerate} \item Eine ver\"{a}nderliche complexe Gr\"{o}sse $w = u + vi$ heisst eine Function einer andern ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}sse $z = x + yi$, wenn sie mit ihr sich so \"{a}ndert, dass $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von $dz$ unabh\"{a}ngig ist. Diese Definition wird begr\"{u}ndet durch die Bemerkung, dass dies immer stattfindet, wenn die Abh\"{a}ngigkeit der Gr\"{o}sse $w$ von $z$ durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist. \item Die Werthe der ver\"{a}nderlichen complexen Gr\"{o}ssne $z$ und $w$ werden dargestellt durch die Punkte $O$ und $Q$ zweier Ebenen $A$ und $B$, ihre Abh\"{a}ngigkeit von einander als eine Abbildung der einen Ebene auf die andere. \item Ist die Abh\"{a}ngigkeit eine solche (Art.~1), dass $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von $dz$ unabh\"{a}ngig ist, so findet zwischen dem Original und seinem Bilde Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen statt. \item Die Bedingung, dass $\displaystyle \frac{dw}{dz}$ von $dz$ unabh\"{a}ngig ist, ist identisch mit folgenden: $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$. Aus ihnen folgen $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$, $\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$. \item Als Ort des Punktes $O$ wird f\"{u}r die Ebene $A$ eine begrenzte \"{u}ber dieselbe ausgebreitete Fl\"{a}che~$T$ substituirt. Windungspunkte dieser Fl\"{a}che. \item Ueber den Zusammenhang einer Fl\"{a}che. \item Das Integral $\displaystyle \int \left( \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} \right) \, dT$, durch die ganze Fl\"{a}che $T$ erstreckt, ist gleich $\displaystyle - \int (X \cos \xi + Y \cos \eta) \, ds$ durch ihre ganze Begrenzung, wenn $X$ und $Y$ beliebige in allen Punkten von $T$ stetige Functionen von $x$ und $y$ sind. \item Einf\"{u}hrung der Coordinaten $s$ und $p$ des Punktes $O$ in Bezug auf eine beliebige Linie. Die gegenseitige Abh\"{a}ngigkeit des Vorzeichens von $ds$ und $dp$ wird so festgesetzt, dass $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial p}$ ist. \item Anwendung des Satzes im Art.~7, wenn in allen Fl\"{a}chentheilen \[ \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} = 0 \] ist. \item Bedingungen, unter welchen im Innern einer $A$ einfach bedeckenden Fl\"{a}che~$T$ eine Function~$u$, welche, allgemein zu reden, der Gleichung $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ gen\"{u}gt, nebst allen ihren Differentialquotienten \"{u}berall endlich und stetig ist. \item Eigenschaften einer solchen Function. \item Bedingungen, unter welchen im Innern einer $A$ einfach bedeckenden einfach zusammenh\"{a}ngenden Fl\"{a}che~$T$ eine Function~$w$ von $z$ \"{u}berall nebst allen ihren Differentialquotienten endlich und stetig ist. \item Unstetigkeiten einer solchen Function in einem inneren Punkte. \item Ausdehnung der S\"{a}tze der Art.~12 und 13 auf Punkte im Innern einer beliebigen ebenen Fl\"{a}che. \item Allgemeine Eigenschaften der Abbildung einer in der Ebene~$A$ ausgebreiteten Fl\"{a}che~$T$ auf eine in der Ebene~$B$ ausgebreitete Fl\"{a}che~$S$, durch welche die Werthe einer Function~$w$ von $z$ geometrisch dargestellt werden. \item Das Integral $\displaystyle \int \left[ \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT$, durch die ganze Fl\"{a}che~$T$ erstreckt, erh\"{a}lt bei Aenderung von $\alpha$ um stetige oder doch nur in einzelnen Punkten unstetige Functionen, die am Rande $= 0$ sind, immer f\"{u}r Eine einem Minimumswerth und wenn man durch Ab\"{a}nderung in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeiten ausschliesst, nur f\"{u}r Eine. \item Begr\"{u}ndung eines in vorigen Art.\ vorausgesetzten Satzes mittelst der Grenzmethode. \item Ist in einer beliebigen zusammenh\"{a}ngenden, durch Querschnitte in eine einfach zusammenh\"{a}ngende $T^*$ zerlegten ebenen Fl\"{a}che~$T$ eine Function $\alpha + \beta i$ von $x$,~$y$ gegeben, f\"{u}r welche \[ \int \left[ \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial \beta }{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \alpha}{\partial y} + \frac{\partial \beta }{\partial x} \right)^2 \right] \, dT,\] durch die ganze Fl\"{a}che erstreckt, endlich ist, so kann sie immer und nur auf eine Art in eine Function von $z$ verwandelt werden durch Hinzuf\"{u}gung einer Function $\mu + \nu i$ von $x$,~$y$, welche so bedingt ist: 1) $\mu$ ist am Rande $= 0$, $\nu$ in Einem Punkte gegeben. 2) Die Aenderungen von $\mu$ sind in $T$, die von $\nu$ in $T^*$ nur in einzelnen Punkten und nur so unstetig, dass $\displaystyle \int \left[ \left( \frac{\partial \mu}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mu}{\partial y} \right)^2 \right] \, dT$ und $\displaystyle \int \left[ \left( \frac{\partial \nu}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \nu}{\partial y} \right)^2 \right] \, dT$ durch die ganze Fl\"{a}che endlich bleiben und letztere an den Querschnitten beiderseits gleich. \item Ueberschlag \"{u}ber die hinreichenden und nothwendigen Bedingungen zur Bestimmung einer Function complexen Arguments innerhalb eines gegebenen Gr\"{o}ssengebiets. \item Die fr\"{u}here Bestimmungsweise eine Function durch Gr\"{o}ssenoperationen enth\"{a}lt \"{u}berfl\"{u}ssige Bestandtheile. Durch die hier durchgef\"{u}hrten Betrachtungen ist der Umfang der Bestimmungsst\"{u}cke einer Function auf das nothwendige Mass zur\"{u}ckgef\"{u}hrt. \item Zwei gegebene einfach zusammenh\"{a}ngende Fl\"{a}chen k\"{o}nnen stets so auf einander bezogen werden, dass jedem Punkte der einen Ein mit ihm stetigfortr\"{u}ckender Punkt der andern entspricht und ihre entsprechenden kleinsten Theile \"{a}hnlich sind; und zwar kann zu Einem inneren Punkt und zu Einem Begrenzungspunkt der entsprechende beliebig gegeben werden. Dadurch ist f\"{u}r alle Punkte die Beziehung bestimmt. \item Schlussbemerkungen. \end{enumerate} \end{document}