\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{eufrak} \renewcommand{\leq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr <\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}} \renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large\bfseries Ein Beitrag zu den Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung eines fl\"{u}ssigen gleichartigen Ellipsoides.\\[12 pt] Bernhard Riemann\\[12 pt] [Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen. 1861.]\\[24 pt] \large\mdseries Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt] Preliminary Version: December 1998\\ Corrected: April 2000 \end{center} \newpage \setcounter{page}{1} \title{Ein Beitrag zu den Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung eines fl\"{u}ssigen gleichartigen Ellipsoides.} \author{Bernhard Riemann} \date{[Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen. 1861.]} \maketitle F\"{u}r die Untersuchungen \"{u}ber die Bewegung eines gleichartigen fl\"{u}ssigen Ellipsoides, dessen Elemente sich nach dem Gesetze der Schwere anziehen, hat \emph{Dirichlet} durch seine letzte von \emph{Dedekind} herausgegebene Arbeit auf \"{u}berraschende Weise eine neue Bahn gebrochen. Die Verfolgung dieser sch\"{o}nen Entdeckung hat f\"{u}r den Mathematiker ihren besondern Reiz, ganz abgesehen von der Frage nach den Gr\"{u}nden der Gestalt der Himmelsk\"{o}rper, durch welche diese Untersuchungen veranlasst worden sind. \emph{Dirichlet} selbst hat die L\"{o}sung der von ihm behandelten Aufgabe nur in den einfachsten F\"{a}llen vollst\"{a}ndig durchgef\"{u}hrt. F\"{u}r die weitere Ausf\"{u}hrung der Untersuchung ist es zweckm\"{a}ssig, den Differentialgleichungen f\"{u}r die Bewegung der fl\"{u}ssigen Masse eine von dem gew\"{a}hlten Anfangszeitpunkte unabh\"{a}ngige Form zu geben, was z.~B.\ dadurch geschehen kann, dass man die Gesetze aufsucht, nach welchen die Gr\"{o}sse der Hauptaxen des Ellipsoides und die relative Bewegung der fl\"{u}ssigen Masse gegen dieselben sich \"{a}ndert. Indem wir hier die Aufgabe in dieser Weise behandeln, werden wir zwar die \emph{Dirichlet}'sche Abhandlung voraussetzen, m\"{u}ssen aber dabei zur Vermeidung von Irrungen gleich bevorworten, dass es nicht m\"{o}glich gewesen ist, die dort gebrauchten Zeichen unver\"{a}ndert beizubehalten. \medbreak \centerline{1.} \nobreak\medskip Wir bezeichnen durch $a$,~$b$,~$c$ die Hauptaxen des Ellipsoides zur Zeit~$t$, ferner durch $x$,~$y$,~$z$ die Coordinaten eines Elements der fl\"{u}ssigen Masse zur Zeit~$t$ und die Anfangswerthe dieser Gr\"{o}ssen durch Anh\"{a}ngung des Index~$0$ und nehmen an, dass f\"{u}r die Anfangszeit die Hauptaxen des Ellipsoides mit den Coordinatenaxen zusammenfallen. Den Ausgangspunkt f\"{u}r die Untersuchung \emph{Dirichlet}'s bildet bekanntlich die Bemerkung, dass man den Differentialgleichungen f\"{u}r die Bewegung der Fl\"{u}ssigkeitstheile gen\"{u}gen kann, wenn man die Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ linearen Ausdr\"{u}cken von ihren Anfangswerthen gleichsetzt, in denen die Coefficienten blosse Functionen der Zeit sind. Diese Ausdr\"{u}cke setzen wir in die Form \begin{eqnarray} x &=& l \frac{x_0}{a_0} + m \frac{y_0}{b_0} + n \frac{z_0}{c_0}, \nonumber \\ \label{eqn-1.1} y &=& l' \frac{x_0}{a_0} + m' \frac{y_0}{b_0} + n' \frac{z_0}{c_0}, \\ z &=& l'' \frac{x_0}{a_0} + m'' \frac{y_0}{b_0} + n'' \frac{z_0}{c_0}. \nonumber \end{eqnarray} Bezeichnet man nun durch $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ die Coordinaten des Punktes $(x,y,z)$ in Bezug auf ein bewegliches Coordinatensystem, dessen Axen in jedem Augenblicke mit den Hauptaxen des Ellipsoides zusammenfallen, so sind bekanntlich $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ gleich linearen Ausdr\"{u}cken von $x$,~$y$,~$z$ \begin{eqnarray} \xi &=& \alpha x + \beta y + \gamma z, \nonumber \\ \label{eqn-1.2} \eta &=& \alpha' x + \beta' y + \gamma' z, \\ \zeta &=& \alpha'' x + \beta'' y + \gamma'' z, \nonumber \end{eqnarray} worin die Coefficienten die Cosinus der Winkel sind, welche die Axen des einen Systems mit den Axen des andern bilden, $\alpha = \cos \xi x$, $\beta = \cos \xi y$ etc., und zwischen diesen Coefficienten finden sechs Bedingungsgleichungen statt, welche sich daraus herleiten lassen, dass durch die Substitution dieser Ausdr\"{u}cke \[ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = x^2 + y^2 + z^2 \] werden muss. Da die Oberfl\"{a}che stets von denselben Fl\"{u}ssigkeitstheilchen gebildet wird, so muss \[ \frac{\xi^2}{a^2} + \frac{\eta^2}{b^2} + \frac{\eta^2}{c^2} = \frac{x_0^2}{a_0^2} + \frac{y_0^2}{b_0^2} + \frac{z_0^2}{c_0^2} \] sein; setzt man also \begin{eqnarray} \frac{\xi}{a} &=& \alpha_\prime \frac{x_0}{a_0} + \beta_\prime \frac{y_0}{b_0} + \gamma_\prime \frac{z_0}{c_0}, \nonumber \\ \label{eqn-1.3} \frac{\eta}{b} &=& \alpha_\prime' \frac{x_0}{a_0} + \beta_\prime' \frac{y_0}{b_0} + \gamma_\prime' \frac{z_0}{c_0}, \\ \frac{\zeta}{c} &=& \alpha_\prime'' \frac{x_0}{a_0} + \beta_\prime'' \frac{y_0}{b_0} + \gamma_\prime'' \frac{z_0}{c_0}, \nonumber \end{eqnarray} d.~h.\ bezeichnet man in den Ausdr\"{u}cken von $\displaystyle \frac{\xi}{a}$, $\displaystyle \frac{\eta}{b}$, $\displaystyle \frac{\zeta}{c}$ durch $\displaystyle \frac{x_0}{a_0}$, $\displaystyle \frac{y_0}{b_0}$, $\displaystyle \frac{z_0}{c_0}$, welche man durch Einsetzung der Werthe~(\ref{eqn-1.1}) in die Gleichungen~(\ref{eqn-1.2}) erh\"{a}lt, die Coefficienten durch $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$, so bilden diese Gr\"{o}ssen $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$ ebenfalls die Coefficienten einer orthogonalen Coordinatentransformation: sie k\"{o}nnen betrachtet werden als die Cosinus der Winkel, welche die Axen eines beweglichen Coordinatensystems der $\xi_\prime$,~$\eta_\prime$,~$\zeta_\prime$ mit den Axen des festen Coordinatensystems der $x$,~$y$,~$z$ bilden. Dr\"{u}ckt man die Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$ mit H\"{u}lfe der Gleichungen (\ref{eqn-1.2}) und (\ref{eqn-1.3}) in $\displaystyle \frac{x_0}{a_0}$, $\displaystyle \frac{y_0}{b_0}$, $\displaystyle \frac{z_0}{c_0}$ aus, so ergiebt sich \begin{eqnarray} l &=& a \alpha \alpha_\prime + b \alpha' \alpha_\prime' + c \alpha'' \alpha_\prime'', \nonumber \\ m &=& a \alpha \beta_\prime + b \alpha' \beta_\prime' + c \alpha'' \beta_\prime'', \nonumber \\ n &=& a \alpha \gamma_\prime + b \alpha' \gamma_\prime' + c \alpha'' \gamma_\prime'', \nonumber \\ l' &=& a \beta \alpha_\prime + b \beta' \alpha_\prime' + c \beta'' \alpha_\prime'', \nonumber \\ \label{eqn-1.4} m' &=& a \beta \beta_\prime + b \beta' \beta_\prime' + c \beta'' \beta_\prime'', \\ n' &=& a \beta \gamma_\prime + b \beta' \gamma_\prime' + c \beta'' \gamma_\prime'', \nonumber \\ l'' &=& a \gamma \alpha_\prime + b \gamma' \alpha_\prime' + c \gamma'' \alpha_\prime'', \nonumber \\ m'' &=& a \gamma \beta_\prime + b \gamma' \beta_\prime' + c \gamma'' \beta_\prime'', \nonumber \\ n'' &=& a \gamma \gamma_\prime + b \gamma' \gamma_\prime' + c \gamma'' \gamma_\prime''. \nonumber \end{eqnarray} Wir k\"{o}nnen daher die Lage der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen oder die Werthe der Gr\"{o}ssen $l, m,\ldots, n''$ zur Zeit~$t$ als abh\"{a}ngig betrachten von den Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ und der Lage zweier beweglichen Coordinatensysteme und k\"{o}nnen zugleich bemerken, dass durch Vertauschung dieser beiden Coordinatensysteme in dem Systeme der Gr\"{o}ssen $l$,~$m$,~$n$ die Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht werden, also $l$,~$m'$,~$n''$ unge\"{a}ndert bleiben, w\"{a}hrend von den Gr\"{o}ssen $m$ und $l'$, $n$ und $l''$, $n'$ und $m''$ jede in die andere \"{u}bergeht. Es wird nun unser n\"{a}chstes Gesch\"{a}ft sein, die Differentialgleichungen f\"{u}r die Ver\"{a}nderungen der Hauptaxen und die Bewegung dieser beiden Coordinatensysteme aus der in der \emph{Dirichlet}'schen Abhandlung (\S.~1, 1) angegebenen Grundgleichungen f\"{u}r die Bewegung der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen abzuleiten. \medbreak \centerline{2.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Offenbar ist es erlaubt, in jenen Gleichungen statt der Derivirten nach den Anfangswerthen der Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$, welche dort durch $a$,~$b$,~$c$ bezeichnet sind, die Derivirten nach den Gr\"{o}ssen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ zu setzen; denn die hierdurch gebildeten Gleichungen lassen sich als Aggregate von jenen darstellen und umgekehrt. Wir erhalten dadurch wenn wir f\"{u}r $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \xi},\enspace \frac{\partial y}{\partial \eta},\enspace \ldots,\enspace \frac{\partial z}{\partial \zeta}$ ihre Werthe einsetzen, \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \xi} - \frac{\partial P}{\partial \xi}, \nonumber \\ \label{eqn-2.1} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha' + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta' + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma' &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \eta} - \frac{\partial P}{\partial \eta}, \\ \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha'' + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta'' + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma'' &=& \varepsilon \frac{\partial V}{\partial \zeta} - \frac{\partial P}{\partial \zeta}, \nonumber \end{eqnarray} worin $V$ das Potential, $P$ den Druck im Punkte $x$,~$y$,~$z$ zur Zeit~$t$ und $\varepsilon$ die Constante bezeichnet, welche die Anziehung zwischen zwei Masseneinheiten in der Entfernungseinheit ausdr\"{u}ckt. Es handelt sich nun zun\"{a}chst darum, die Gr\"{o}ssen links vom Gleichheitszeichen in die Form linearer Functionen von den Gr\"{o}ssen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu setzen, wozu einige Vorbereitungen n\"{o}thig sind. Durch Differentiation der Gleichungen~(\ref{eqn-1.2}) erh\"{a}lt man, wenn man zur Abk\"{u}rzung \begin{eqnarray} \frac{\partial x}{\partial t} \alpha + \frac{\partial y}{\partial t} \beta + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma &=& \xi', \nonumber \\ \label{eqn-2.2} \frac{\partial x}{\partial t} \alpha' + \frac{\partial y}{\partial t} \beta' + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma' &=& \eta', \\ \frac{\partial x}{\partial t} \alpha'' + \frac{\partial y}{\partial t} \beta'' + \frac{\partial z}{\partial t} \gamma'' &=& \zeta' \nonumber \end{eqnarray} setzt, \begin{eqnarray*} \frac{\partial \xi}{\partial t} &=& \frac{d\alpha }{dt} x + \frac{d\beta }{dt} y + \frac{d\gamma }{dt} z + \xi', \\ \frac{\partial \eta}{\partial t} &=& \frac{d\alpha' }{dt} x + \frac{d\beta' }{dt} y + \frac{d\gamma' }{dt} z + \eta', \\ \frac{\partial \zeta}{\partial t} &=& \frac{d\alpha''}{dt} x + \frac{d\beta'' }{dt} y + \frac{d\gamma''}{dt} z + \zeta' \end{eqnarray*} und wenn man hierin $x$, $y$, $z$ wieder durch $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ausdr\"{u}ckt \begin{eqnarray*} \frac{\partial \xi}{\partial t} &=& \left( \frac{d\alpha }{dt} \alpha + \frac{d\beta }{dt} \beta + \frac{d\gamma }{dt} \gamma \right) \xi + \left( \frac{d\alpha }{dt} \alpha' + \frac{d\beta }{dt} \beta' + \frac{d\gamma }{dt} \gamma' \right) \eta \\ & & + \left( \frac{d\alpha }{dt} \alpha'' + \frac{d\beta }{dt} \beta'' + \frac{d\gamma }{dt} \gamma'' \right) \zeta + \xi',\\ \frac{\partial \eta}{\partial t} &=& \left( \frac{d\alpha' }{dt} \alpha + \frac{d\beta' }{dt} \beta + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma \right) \xi + \left( \frac{d\alpha' }{dt} \alpha' + \frac{d\beta' }{dt} \beta' + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma' \right) \eta \\ & & + \left( \frac{d\alpha' }{dt} \alpha'' + \frac{d\beta' }{dt} \beta'' + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma'' \right) \zeta + \eta',\\ \frac{\partial \zeta}{\partial t} &=& \left( \frac{d\alpha''}{dt} \alpha + \frac{d\beta'' }{dt} \beta + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma \right) \xi + \left( \frac{d\alpha''}{dt} \alpha' + \frac{d\beta'' }{dt} \beta' + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma' \right) \eta \\ & & + \left( \frac{d\alpha''}{dt} \alpha'' + \frac{d\beta'' }{dt} \beta'' + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma'' \right) \zeta + \zeta'. \end{eqnarray*} Nun giebt aber die Differentiation der bekannten Gleichungen \[ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1,\quad \alpha \alpha' + \beta \beta' + \gamma \gamma' = 0, \mbox{ etc.} \] \begin{eqnarray*} \alpha \frac{d\alpha }{dt} + \beta \frac{d\beta }{dt} + \gamma \frac{d\gamma }{dt} &=& 0,\\ \alpha' \frac{d\alpha' }{dt} + \beta' \frac{d\beta' }{dt} + \gamma' \frac{d\gamma' }{dt} &=& 0,\\ \alpha'' \frac{d\alpha''}{dt} + \beta'' \frac{d\beta'' }{dt} + \gamma'' \frac{d\gamma''}{dt} &=& 0, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray} \frac{d\alpha' }{dt} \alpha'' + \frac{d\beta' }{dt} \beta'' + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma'' &=& - \left( \frac{d\alpha''}{dt} \alpha' + \frac{d\beta'' }{dt} \beta' + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma' \right), \nonumber \\ \label{eqn-2.3} \frac{d\alpha''}{dt} \alpha + \frac{d\beta'' }{dt} \beta + \frac{d\gamma''}{dt} \gamma &=& - \left( \frac{d\alpha }{dt} \alpha'' + \frac{d\beta }{dt} \beta'' + \frac{d\gamma }{dt} \gamma'' \right), \\ \frac{d\alpha }{dt} \alpha' + \frac{d\beta }{dt} \beta' + \frac{d\gamma }{dt} \gamma' &=& - \left( \frac{d\alpha' }{dt} \alpha + \frac{d\beta' }{dt} \beta + \frac{d\gamma' }{dt} \gamma \right), \nonumber \end{eqnarray} und es wird folglich, wenn man diese letzteren drei Gr\"{o}ssen durch $p$, $q$, $r$ bezeichnet, \begin{eqnarray} \xi' &=& \frac{\partial \xi}{\partial t} - r \eta + q \zeta, \nonumber \\ \label{eqn-2.4} \eta' &=& r \xi + \frac{\partial \eta}{\partial t} - p \zeta, \\ \zeta' &=& - q \xi + p \eta + \frac{\partial \zeta}{\partial t}. \nonumber \end{eqnarray} Durch ein ganz \"{a}hnliches Verfahren ergiebt sich aus den Gleichungen~(\ref{eqn-2.2}) \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma &=& \frac{\partial \xi'}{\partial t} - r \eta' + q \zeta', \nonumber \\ \label{eqn-2.5} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha' + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta' + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma' &=& r \xi' + \frac{\partial \eta'}{\partial t} - p \zeta', \\ \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \alpha'' + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \beta'' + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \gamma'' &=& - q \xi' + p \eta' + \frac{\partial \zeta'}{\partial t}, \nonumber \end{eqnarray} und aus den Gleichungen Art.~1, (\ref{eqn-1.3}), wenn $p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ die Gr\"{o}ssen bezeichnen, welche von den Functionen $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$ ebenso abh\"{a}ngen, wie die Gr\"{o}ssen $p$,~$q$,~$r$ von den Functionen $\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$ \begin{eqnarray} \frac{\displaystyle \partial \frac{\xi}{a}}{\partial t} &=& r_\prime \frac{\eta}{b} - q_\prime \frac{\zeta}{c}, \nonumber \\ \label{eqn-2.6} \frac{\displaystyle \partial \frac{\eta}{b}}{\partial t} &=& p_\prime \frac{\zeta}{c} - r_\prime \frac{\xi}{a}, \\ \frac{\displaystyle \partial \frac{\zeta}{c}}{\partial t} &=& q_\prime \frac{\xi}{a} - p_\prime \frac{\eta}{b}. \nonumber \end{eqnarray} Setzt man die Werthe $\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t}$, $\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t}$, $\displaystyle \frac{\partial \zeta}{\partial t}$ aus (\ref{eqn-2.6}) in (\ref{eqn-2.4}) ein, so erh\"{a}lt man \begin{eqnarray} \xi' &=& \frac{da}{dt} \frac{\xi}{a} + (a r_\prime - b r) \frac{\eta}{b} + (c q - a q_\prime) \frac{\zeta}{c}, \nonumber \\ \label{eqn-2.7} \eta' &=& (a r - b r_\prime) \frac{\xi}{a} + \frac{db}{dt} \frac{\eta}{b} + (b p_\prime - c p) \frac{\zeta}{c}, \\ \zeta' &=& (c q_\prime - a q) \frac{\xi}{a} + (b p - c p_\prime) \frac{\eta}{b} + \frac{dc}{dt} \frac{\zeta}{c}. \nonumber \end{eqnarray} Was die geometrische Bedeutung dieser Gr\"{o}ssen betrifft, so sind, wie leicht ersichtlich ist, $\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ die Geschwindigkeitscomponenten des Punktes $x$,~$y$,~$z$ der fl\"{u}ssigen Masse parallel den Axen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$; $\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t}$, $\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t}$, $\displaystyle \frac{\partial \zeta}{\partial t}$ die ebenso zerlegten relativen Geschwindigkeiten gegen das Coordinatensystem der $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$; ferner in den Gleichungen~(\ref{eqn-2.1}) die Gr\"{o}ssen auf der linken Seite die Beschleunigungen und die auf der rechten die beschleunigenden Kr\"{a}fte parallel diesen Axen; endlich sind $p$,~$q$,~$r$ die augenblicklichen Rotationen des Coordinatensystems der $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ um seine Axen und $p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ haben dieselbe Bedeutung f\"{u}r das Coordinatensystem der $\xi_\prime$,~$\eta_\prime$,~$\zeta_\prime$. \medbreak \centerline{3.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Wenn man nun die Werthe der Gr\"{o}ssen, $\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ aus (\ref{eqn-2.7}) in die Gleichungen (\ref{eqn-2.5}) substituirt und mit H\"{u}lfe der Gleichungen (\ref{eqn-2.6}) die Derivirten von $\displaystyle \frac{\xi}{a}$, $\displaystyle \frac{\eta}{b}$, $\displaystyle \frac{\zeta}{c}$ wieder durch die Gr\"{o}ssen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ausdr\"{u}ckt, so nehmen die Gr\"{o}ssen auf der linken Seite der Gleichungen~(\ref{eqn-2.1}) die Form linearer Ausdr\"{u}cke von den Gr\"{o}ssen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ an. Auf der rechten Seite hat $V$ die Form \[ H - A \xi^2 - B \eta^2 - C \zeta^2,\] worin $H$, $A$, $B$, $C$ auf bekannte Weise von den Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$ abh\"{a}ngen; und man gen\"{u}gt ihnen daher, wenn an der Oberfl\"{a}che der Druck den constanten Werth~$Q$ hat, indem man \[ P = Q + \sigma \left( 1 - \frac{\xi^2}{a^2} - \frac{\eta^2}{b^2} - \frac{\zeta^2}{c^2} \right) \] setzt und die zehn Functionen der Zeit $a$,~$b$,~$c$; $p$,~$q$,~$r$; $p_\prime$,~$q_\prime$,~$r_\prime$ und $\sigma$ so bestimmt, dass die neun Coefficienten der Gr\"{o}ssen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ auf beiden Seiten einander gleich werden und zugleich die aus der Incompressibilit\"{a}t folgende Bedingungsgleichung $a b c = a_0 b_0 c_0$ befriedigt wird. Durch Gleichsetzung der Coefficienten von $\displaystyle \frac{\xi}{a}$, $\displaystyle \frac{\eta}{b}$ in der ersten und von $\displaystyle \frac{\xi}{a}$ in der zweiten Gleichung ergiebt sich \[ \frac{d^2 a}{dt^2} + 2b r r_\prime + 2 c q q_\prime - a(r^2 + r_\prime^2 + q^2 + q_\prime^2) = 2 \frac{\sigma}{a} - 2 \varepsilon a A,\] \begin{eqnarray*} a \frac{dr}{dt} - b \frac{dr_\prime}{dt} + 2 \frac{da}{dt} r - 2 \frac{db}{dt} r_\prime + a p q + b p_\prime q_\prime - 2 c p q_\prime &=& 0,\\ a \frac{dr_\prime}{dt} - b \frac{dr}{dt} + 2 \frac{da}{dt} r_\prime - 2 \frac{db}{dt} r + a p_\prime q_\prime + b p q - 2 c p_\prime q &=& 0. \end{eqnarray*} Aus diesen Gleichungen erh\"{a}lt man die sechs \"{u}brigen durch cyclische Versetzung der Axen, oder auch durch beliebige Vertauschungen, wenn man nur dabei beachtet, dass durch Vertauchung zweier Axen nicht bloss die ihnen entsprechenden Gr\"{o}ssen vertauscht werden, sondern zugleich die sechs Gr\"{o}ssen $p, q,\ldots, r_\prime$ ihr Zeichen \"{a}ndern. Man kann diesen Gleichungen eine f\"{u}r die weitere Untersuchung bequemere Form geben, wenn man statt der Gr\"{o}ssen $p$,~$p_\prime$; $q$,~$q_\prime$; $r$,~$r_\prime$ ihre halben Summen und Differenzen \[ u = \frac{p + p_\prime}{2},\quad v = \frac{q + q_\prime}{2},\quad w = \frac{r + r_\prime}{2},\] \[ u' = \frac{p - p_\prime}{2},\quad v' = \frac{q - q_\prime}{2},\quad w' = \frac{r - r_\prime}{2},\] als unbekannte Functionen einf\"{u}hrt. Dadurch wird das System von Gleichungen, welchen die zehn unbekannten Functionen der Zeit gen\"{u}gen m\"{u}ssen \newpage \begingroup \def\theequation{$\alpha$} \begin{equation} \label{eqn-3.alpha} \left\{ \!\!\! \begin{array}{c} \displaystyle (a - c) v^2 + (a + c) v'^2 + (a - b) w^2 + (a + b) w'^2 - \frac{1}{2} \frac{d^2 a}{dt^2} = \varepsilon a A - \frac{\sigma}{a},\\[12 pt] \displaystyle (b - a) w^2 + (b + a) w'^2 + (b - c) u^2 + (b + c) u'^2 - \frac{1}{2} \frac{d^2 b}{dt^2} = \varepsilon b B - \frac{\sigma}{b},\\[12 pt] \displaystyle (c - b) u^2 + (c + b) u'^2 + (c - a) v^2 + (c + a) v'^2 - \frac{1}{2} \frac{d^2 c}{dt^2} = \varepsilon c C - \frac{\sigma}{c},\\[12 pt] \displaystyle (b - c) \frac{du}{dt} + 2 \frac{d(b - c)}{dt} u + (b + c - 2a) v w + (b + c + 2a) v' w' = 0,\\[12 pt] \displaystyle (b + c) \frac{du'}{dt} + 2 \frac{d(b + c)}{dt} u' + (b - c + 2a) v w' + (b - c - 2a) v' w = 0,\\[12 pt] \displaystyle (c - a) \frac{dv}{dt} + 2 \frac{d(c - a)}{dt} v + (c + a - 2b) w u + (c + a + 2b) w' u' = 0,\\[12 pt] \displaystyle (c + a) \frac{dv'}{dt} + 2 \frac{d(c + a)}{dt} v' + (c - a + 2b) w u' + (c - a - 2b) w' u = 0,\\[12 pt] \displaystyle (a - b) \frac{dw}{dt} + 2 \frac{d(a - b)}{dt} w + (a + b - 2c) u v + (a + b + 2c) u' v' = 0,\\[12 pt] \displaystyle (a + b) \frac{dw'}{dt} + 2 \frac{d(a + b)}{dt} w' + (a - b + 2c) u v' + (a - b - 2c) u' v = 0,\\[12 pt] a b c = a_0 b_0 c_0. \end{array} \right. \end{equation} \endgroup Die Werthe von $A$, $B$, $C$ ergeben sich aus dem bekannten Ausdrucke f\"{u}r $V$ \[ V = H - A \xi^2 - B \eta^2 - C \zeta^2 = \pi \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \left( 1 - \frac{\xi^2}{a^2 + s} - \frac{\eta^2}{b^2 + s} - \frac{\zeta^2}{c^2 + s} \right),\] worin \[ \Delta = \sqrt{\vphantom{\biggl(}} \left( 1 + \frac{s}{a^2} \right) \left( 1 + \frac{s}{b^2} \right) \left( 1 + \frac{s}{c^2} \right).\] Nach ausgef\"{u}hrter Integration dieser Differentialgleichungen hat man noch, um die Functionen $\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$ zu bestimmen, die allgemeine L\"{o}sung $\theta$,~$\theta'$,~$\theta''$ der Differentialgleichungen \begingroup \def\theequation{$\beta$} \begin{equation} \label{eqn-3.beta} \frac{d\theta}{dt} = r \theta' - q \theta'',\quad \frac{d\theta'}{dt} = - r \theta + p \theta'',\quad \frac{d\theta''}{dt} = q \theta - p \theta' \end{equation} \endgroup zu suchen,---von welchen, wie aus Art.~2, (\ref{eqn-2.3}) hervorgeht, $\alpha$,~$\alpha'$,~$\alpha''$; $\beta$,~$\beta'$,~$\beta''$; $\gamma$,~$\gamma'$,~$\gamma''$ die drei particularen Ausl\"{o}sungen sind, die f\"{u}r $t = 0$ die Werthe $1$,~$0$,~$0$; $0$,~$1$,~$0$; $0$,~$0$,~$1$ annehmen,---und zur Bestimmung der Functionen $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$ die allgemeine L\"{o}sung der simultanen Differentialgleichungen \begingroup \def\theequation{$\gamma$} \begin{equation} \label{eqn-3.gamma} \frac{d\theta_\prime}{dt} = r_\prime \theta_\prime' - q_\prime \theta_\prime'',\quad \frac{d\theta_\prime'}{dt} = - r_\prime \theta_\prime + p_\prime \theta_\prime'',\quad \frac{d\theta_\prime''}{dt} = q_\prime \theta_\prime - p_\prime \theta_\prime'. \end{equation} \endgroup \medbreak \centerline{4.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Es fragt sich nun, welche H\"{u}lfsmittel f\"{u}r die Integration dieser Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}), (\ref{eqn-3.beta}), (\ref{eqn-3.gamma}) die allgemeinen hydrodynamischen Principien darbieten, aus denen \emph{Dirichlet} sieben Intergrale erster Ordnung der durch die Functionen $l, m,\ldots, n''$ zu erf\"{u}llenden Differentialgleichungen (\S.~1.~(a)) sch\"{o}pfte. Die aus ihnen fliessenden Gleichungen lassen sich mit H\"{u}lfe der oben f\"{u}r $\xi'$,~$\eta'$,~$\zeta'$ gegebenen Ausdr\"{u}cke leicht herleiten. Der Satz von der Erhaltung der Fl\"{a}chen giebt \begin{eqnarray} (b - c)^2 u + (b + c)^2 u' &=& g = \alpha g^0 + \beta h^0 + \gamma k^0, \nonumber \\ \label{eqn-4.1} (c - a)^2 v + (c + a)^2 v' &=& h = \alpha' g^0 + \beta' h^0 + \gamma' k^0, \\ (a - b)^2 w + (a + b)^2 w' &=& k = \alpha'' g^0 + \beta'' h^0 + \gamma'' k^0, \nonumber \end{eqnarray} worin die Constanten $g^0$, $h^0$, $k^0$, die Anfangswerthe von $g$, $h$, $k$, mit den Constanten $\EuFrak{R}$, $\EuFrak{R'}$, $\EuFrak{R''}$ in der Abhandlung von \emph{Dirichlet} \"{u}bereinkommen, er liefert also das aus den sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) leicht zu best\"{a}tigende Resultat, dass $\theta = g$, $\theta' = h$, $\theta'' = k$ eine L\"{o}sung der Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) ist. Aus dem \emph{Helmholtz}'schen Princip der Erhaltung der Rotation folgen die Gleichungen \begin{eqnarray} (b - c)^2 u + (b + c)^2 u' &=& g_\prime = \alpha_\prime g_\prime^0 + \beta_\prime h_\prime^0 + \gamma_\prime k_\prime^0, \nonumber \\ \label{eqn-4.2} (c - a)^2 v + (c + a)^2 v' &=& h_\prime = \alpha_\prime' g_\prime^0 + \beta_\prime' h_\prime^0 + \gamma_\prime' k_\prime^0, \\ (a - b)^2 w + (a + b)^2 w' &=& k_\prime = \alpha_\prime'' g_\prime^0 + \beta_\prime'' h_\prime^0 + \gamma_\prime'' k_\prime^0, \nonumber \end{eqnarray} in welchen die Constanten $g_\prime^0$, $h_\prime^0$, $k_\prime^0$ den Gr\"{o}ssen $BC \EuFrak{A}$, $CA \EuFrak{B}$, $AB \EuFrak{C}$ der genannten Abhandlung gleich sind. Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft endlich giebt ein Integral erster Ordnung der Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) \begingroup \def\theequation{\Roman{equation}} \setcounter{equation}{0} \begin{equation} \label{eqn-4.I} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{da}{dt} \right)^2 + \left( \frac{db}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2 \right) \\[12pt] + (b - c)^2 u^2 + (c - a)^2 v^2 + (a - b)^2 w^2 \\ + (b + c)^2 u_\prime^2 + (c + a)^2 v_\prime^2 + (a + b)^2 w_\prime^2 \end{array} \right\} = 2 \varepsilon H + \mathrm{const.} \end{equation} Aus den Gleichungen (\ref{eqn-4.1}) und (\ref{eqn-4.2}) folgen zun\"{a}chst noch zwei Integrale der Gleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) \begin{equation} \label{eqn-4.II} g^2 + h^2 + k^2 = \mathrm{const.} = \omega^2, \end{equation} \begin{equation} \label{eqn-4.III} g_\prime^2 + h_\prime^2 + k_\prime^2 = \mathrm{const.} = \omega_\prime^2. \end{equation} Ferner lassen sich von den Gleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) zwei Integrale \begin{equation} \label{eqn-4.IV} \theta^2 + \theta'^2 + \theta''^2 = \mathrm{const.}, \end{equation} \begin{equation} \label{eqn-4.V} \theta g + \theta' h + \theta'' k = \mathrm{const.} \end{equation} \endgroup angeben, wodurch ihre Integration \emph{allgemein} auf eine Quadratur zur\"{u}ckgef\"{u}hrt wird. Zur Aufstellung ihrer allgemeinen L\"{o}sung ist es jedoch, da sie linear und homogen sind, nur n\"{o}thig, noch zwei von der L\"{o}sung $g$, $h$, $k$ verschiedene \emph{particulare} L\"{o}sungen zu suchen, f\"{u}r welchen Zweck man die willk\"{u}rlichen Constanten in diesen beiden Integralgleichungen so w\"{a}hlen kann, dass sich die Rechnung vereinfacht. Giebt man beiden den Werth Null, so hat man \setcounter{equation}{2} \begin{equation} \label{eqn-4.3} \theta' h + \theta'' k = - g \theta, \end{equation} und ferner erh\"{a}lt man, wenn man diese Gleichung quadrirt und dazu die Gleichung \[ - \theta'^2 - \theta''^2 = \theta^2 \] multiplicirt mit $h^2 + k^2$, addirt \[ - (\theta' k - \theta'' h)^2 = \omega^2 \theta^2,\] folglich \begin{equation} \label{eqn-4.4} \theta' k - \theta'' h = \omega i \theta. \end{equation} Durch Aufl\"{o}sung dieser beiden linearen Gleichungen (\ref{eqn-4.3}) und (\ref{eqn-4.4}) findet sich \begin{equation} \label{eqn-4.5} \theta' = - \frac{-gh + k \omega i}{h^2 + k^2} \theta, \end{equation} \begin{equation} \label{eqn-4.6} \theta'' = - \frac{-gk - h \omega i}{h^2 + k^2} \theta \end{equation} und durch Einsetzung dieser Werthe in die erste der Gleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) \[ \frac{1}{\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{\displaystyle -g \frac{dg}{dt}}{h^2 + k^2} + \frac{rk + qh}{h^2 + k^2} \omega i,\] \begin{equation} \label{eqn-4.7} \log \theta = {\textstyle\frac{1}{2}} \log (h^2 + k^2) + \omega i \int \frac{qh + rk}{h^2 + k^2} \, dt + \mathrm{const.} \end{equation} Aus dieser in (\ref{eqn-4.5}), (\ref{eqn-4.6}) und (\ref{eqn-4.7}) enthaltenen L\"{o}sung der Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.beta}) erh\"{a}lt man eine dritte, indem man f\"{u}r $\sqrt{-1}$ \"{u}berall $- \sqrt{-1}$ setzt, und es ist dann leicht aus den gefundenen drei particularen L\"{o}sungen die Ausdr\"{u}cke f\"{u}r die Functionen $\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$ zu bilden. Die geometrische Bedeutung jeder reellen L\"{o}sung der Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.beta}) besteht darin, dass sie, mit einem geeigneten constanten Factor multiplicirt, die Cosinus der Winkel ausdr\"{u}ckt, welche die Axen der $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zur Zeit~$t$ mit einer festen Linie machen. Diese feste Linie wird f\"{u}r die erste der drei eben gefundenen L\"{o}sungen durch die Normale auf der unver\"{a}nderlichen Ebene der ganzen bewegten Masse gebildet, f\"{u}r den reellen und den imagin\"{a}ren Bestandtheil der beiden andern durch zwei in dieser Ebene enthaltene und auf einander senkrechte Linien. Die Cosinus der Winkel zwischen den Axen und jener Normalen sind demnach $\displaystyle \frac{g}{\omega}$, $\displaystyle \frac{h}{\omega}$, $\displaystyle \frac{k}{\omega}$; die Lage der Axen gegen diese Normale ergiebt sich also nach Aufl\"{o}sung der Gleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) ohne weitere Integration und zur vollst\"{a}ndigen Bestimmung ihrer Lage gen\"{u}gt eine einzige Quadratur, z.~B.\ die Integration \[ \omega \int\limits_0^t \frac{qh + rk}{h^2 + k^2} \, dt,\] welche die Drehung der durch die Normale und die Axe der $\xi$ gehenden Ebene um die Normale giebt. Ganz Aehnliches gilt von den Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.gamma}). Man kann auf demselben Wege aus den beiden Integralen \begingroup \def\theequation{\Roman{equation}} \setcounter{equation}{5} \begin{equation} \label{eqn-4.VI} \theta_\prime^2 + \theta_\prime'^2 + \theta_\prime''^2 = \mathrm{const.}, \end{equation} \begin{equation} \label{eqn-4.VII} \theta_\prime g_\prime + \theta_\prime' h_\prime + \theta_\prime'' k_\prime = \mathrm{const.} \end{equation} \endgroup ihre allgemeine L\"{o}sung und folglich auch die Werthe der Gr\"{o}ssen $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$ zur Zeit~$t$ ableiten, und es wird dabei nur eine Quadratur erforderlich sein. Es ergiebt sich dann schliesslich der Ort eines beliebigen Fl\"{u}ssigkeitstheilchens zur Zeit~$t$ aus den oben (Art.~1, (\ref{eqn-1.1}) und (\ref{eqn-1.4})) f\"{u}r die Gr\"{o}ssen $x$,~$y$,~$z$ und die Functionen $l, m,\ldots,n''$ gegebenen Ausdr\"{u}cken. \medbreak \centerline{5.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Wir wollen uns jetzt Rechenschaft dar\"{u}ber geben, was durch die Zur\"{u}ckf\"{u}hrung der Differentialgleichungen zwischen den Functionen $l, m,\ldots, n''$ (der Differentialgleichungen (a) \S.~1 bei \emph{Dirichlet}) auf unsere Differentialgleichungen f\"{u}r das Gesch\"{a}ft der Integration gewonnen ist. Das System der Differentialgleichungen (a) ist von der sechszehnten Ordnung, und man kennt von denselben sieben Integrale erster Ordnung, wodurch es auf ein System der neunten Ordnung zur\"{u}ckgef\"{u}hrt wird. Das System~(\ref{eqn-3.alpha}) ist nur von der zehnten Ordnung, und man kennt von demselben noch drei Integrale erster Ordnung. Durch die hier bewirkte Umformung jener Differentialgleichung ist also die Ordnung des noch zu integrirenden Systems von Differentialgleichungen um zwei Einheiten erniedrigt, und man hat statt dessen nur schliesslich noch zwei Quadraturen auszuf\"{u}hren. Diese Umformung leistet also dasselbe, wie die Auffindung von zwei Integralen erster Ordnung. Wir bemerken indess ausdr\"{u}cklich, dass hierdurch unsere Form der Differentialgleichungen nur f\"{u}r die Integration und die wirkliche Bestimmung der Bewegung einen Vorzug erh\"{a}lt. F\"{u}r die allgemeinsten Untersuchungen \"{u}ber diese Bewegung ist dagegen diese Form der Differentialgleichungen weniger geeignet, nicht bloss, weil ihre Herleitung weniger einfach ist, sondern auch deshalb, weil der Fall der Gleichheit zweier Axen eine besondere Betrachtung erfordert. Bei Gleichheit zweier Axen tritt n\"{a}mlich der besondere Umstand ein, dass die ihnen zu gebende Lage durch die Gestalt der fl\"{u}ssigen Masse nicht v\"{o}llig bestimmt ist; sie h\"{a}ngt dann im Allgemeinen auch von der augenblicklichen Bewegung ab und bleibt nur dann willk\"{u}rlich, wenn diese Bewegung so beschaffen ist, dass die Axen fortw\"{a}hrend einander gleich bleiben. Die Untersuchung dieses Falles ist zwar immer leicht und bedarf daher keiner weiteren Ausf\"{u}hrung, kann aber in speciellen F\"{a}llen noch wieder besondere Formen annehmen, und die allgemeinen Untersuchungen, wie z.~B.\ der allgemeine Nachweis der M\"{o}glichkeit der Bewegung (\S.~2 bei \emph{Dirichlet}), w\"{u}rden daher wegen der Menge von besonders zu behandelnden F\"{a}llen ziemlich weitl\"{a}ufig werden. Ehe wir zur Behandlung von speciellen F\"{a}llen schreiten, in welchen sich die Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) integriren lassen, ist es zweckm\"{a}ssig, zu bemerken, dass in einer L\"{o}sung dieser Differentialgleichungen, wie unmittelbar aus der Form dieser Gleichungen hervorgeht, jede Zeichen\"{a}nderung der Functionen $u, v,\ldots, w'$ zul\"{a}ssig ist, bei welcher $u v w$, $u v' w'$, $u' v w'$, $u' v' w$ unge\"{a}ndert bleiben. Es k\"{o}nnen also erstens die Zeichen der Functionen $u'$, $v'$, $w'$ gleichzeitig ge\"{a}ndert werden, und dadurch werden die Gr\"{o}ssen $\alpha, \beta,\ldots, \gamma''$ mit den Gr\"{o}ssen $\alpha_\prime, \beta_\prime,\ldots, \gamma_\prime''$, also in dem System der Gr\"{o}ssen $l, m,\ldots, n''$ die Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht. Zweitens k\"{o}nnen gleichzeitig zwei der Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ mit den entgegengesetzten Zeichen versehen werden, und diese Aenderung l\"{a}sst sich auf eine Aenderung in dem Zeichen einer Coordinatenaxe zur\"{u}ckf\"{u}hren, wobei die Bewegung in eine ihr symmetrisch gleiche \"{u}bergeht. In dieser Bemerkung ist der von \emph{Dedekind} gefundene Reciprocit\"{a}tssatz enthalten. \medbreak \centerline{6.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Wir wollen nun den Fall untersuchen, in welchem eins der Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ fortw\"{a}hrend gleich Null ist, also z.~B.\ $u = u' = 0$; die geometrische Bedeutung dieser Voraussetzung ist diese, dass die Hauptaxe stets in der unver\"{a}nderlichen Ebene der ganzen bewegten Masse liegt und die augenblickliche Rotationsaxe auf dieser Hauptaxe senkrecht steht. Aus den sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) folgt sogleich, dass in diesem Falle die Gr\"{o}ssen \begingroup \def\theequation{$\mu$} \begin{equation} \label{eqn-6.mu} (c - a)^2 v,\quad (c + a)^2 v',\quad (a - b)^2 w,\quad (a + b)^2 w' \end{equation} constant sind und die Gleichungen \def\theequation{$\nu$} \begin{equation} \label{eqn-6.nu} \begin{array}{c} (b + c - 2a) v w + (b + c + 2a) v' w' = 0,\\ (b - c + 2a) v w' + (b - c - 2a) v' w = 0 \end{array} \end{equation} \endgroup stattfinden m\"{u}ssen. \setcounter{equation}{0} Bei der weiteren Untersuchung ist zu unterscheiden, ob noch ein zweites der drei Gr\"{o}ssenpaare Null ist oder nicht, und wir k\"{o}nnen im Allgemeinen nur noch bemerken, dass in Folge der Gleichungen~(\ref{eqn-6.mu}) die Gr\"{o}ssen $h$, $k$, $h_\prime$, $k_\prime$ constant sind und folglich auch die Winkel zwischen den Hauptaxen und der unver\"{a}nderlichen Ebene der ganzen bewegten Masse, und dass dann ferner aus der Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.beta}) und (\ref{eqn-3.gamma}) die Verh\"{a}ltnissgleichungen \[ g : h : k = p : q : r \] \[ g_\prime : h_\prime : k_\prime = p_\prime : q_\prime : r_\prime \] folgen, wodurch die L\"{o}sungen dieser Gleichungen sich vereinfachen. \medbreak {\noindent \itshape \normalsize Erster Fall. Nur eins der drei Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ ist gleich Null.} \nobreak\medskip Wenn weder zugleich $v$ und $v'$, noch zugleich $w$ und $w'$ Null sind, folgt aus den Gleichungen (\ref{eqn-6.mu}) und (\ref{eqn-6.nu}) \begin{equation} \label{eqn-6.1} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{v'^2}{v^2} = \frac{(2a - b - c)(2a + b - c)}{(2a + b + c)(2a - b + c)} = \left( \frac{a - c}{a + c} \right)^4 \mathrm{const.},\\[12 pt] \displaystyle \frac{w'^2}{w^2} = \frac{(2a - b - c)(2a - b + c)}{(2a + b + c)(2a + b - c)} = \left( \frac{a - b}{a + b} \right)^4 \mathrm{const.}, \end{array} \end{equation} woraus sich mit Hinzuziehung von \[ abc = \mathrm{const.} \] ergiebt, dass $a$, $b$, $c$ und folglich auch $v$, $v'$, $w$, $w'$ constant sind. Setzen wir nun \begin{equation} \label{eqn-6.2} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{v^2 }{(2a + b + c)(2a - b + c)} = \frac{v'^2}{(2a - b - c)(2a + b - c)} = S,\\[12 pt] \displaystyle \frac{w^2 }{(2a + b + c)(2a + b - c)} = \frac{w'^2}{(2a - b - c)(2a - b + c)} = T, \end{array} \end{equation} so erhalten wir aus den drei ersten Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) die drei Gleichungen \begin{equation} \label{eqn-6.3} (4 a^2 - b^2 - 3 c^2) S + (4 a^2 - 3 b^2 - c^2) T = \frac{\varepsilon A}{2} - \frac{\sigma^2}{2 a^2}, \end{equation} \begin{equation} \label{eqn-6.4} \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle (b^2 - c^2) T = \frac{\varepsilon B}{2} - \frac{\sigma^2}{2 b^2}, \\[12 pt] \displaystyle (c^2 - b^2) S = \frac{\varepsilon C}{2} - \frac{\sigma^2}{2 c^2}. \end{array} \right. \end{equation} Um hieraus die Werthe von $S$, $T$ und $\sigma$ abzuleiten, beide man aus den Gleichungen~(\ref{eqn-6.4}) die Gleichungen \[ b^2 T + c^2 S = \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s) (c^2 + s)},\] \[ T + S = \frac{\sigma}{2 b^2 c^2} - \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s) (c^2 + s)},\] und substituire diese Werthe in der Gleichung (\ref{eqn-6.3}) \[ (4 a^2 - b^2 - c^2) (T + S) - 2 (b^2 T + c^2 S) = \frac{\varepsilon A}{2} - \frac{\sigma}{2 a^2},\] wodurch man \begin{equation} \label{eqn-6.5} \frac{D\sigma}{2 a^2 b^2 c^2} = \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \left( \frac{2s + 4 a^2 - b^2 - c^2}{(b^2 + s)(c^2 + s)} + \frac{1}{a^2 + s} \right) \end{equation} erh\"{a}lt, wenn zur Abk\"{u}rzung \begin{equation} \label{eqn-6.6} 4 a^4 - a^2 (b^2 + c^2) + b^2 c^2 = D \end{equation} gesetzt wird. Durch Einsetzung des Werthes von $\sigma$ in die Gleichungen (\ref{eqn-6.4}) findet sich dann \begin{eqnarray} \label{eqn-6.7} \frac{b^2 - c^2}{b^2 - a^2} DS &=& \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s)} \left( \frac{4 a^2 - c^2 + b^2}{c^2 + s} - \frac{b^2}{a^2 + s} \right),\\ \label{eqn-6.8} \frac{c^2 - b^2}{c^2 - a^2} DT &=& \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (c^2 + s)} \left( \frac{4 a^2 - b^2 + c^2}{b^2 + s} - \frac{c^2}{a^2 + s} \right). \end{eqnarray} Es bleibt nun noch zu untersuchen, welchen Bedingungen $a$, $b$, $c$ gen\"{u}gen m\"{u}ssen, damit sich aus den Gleichungen (\ref{eqn-6.7}) und (\ref{eqn-6.8}) und den Gleichungen~(\ref{eqn-6.2}) f\"{u}r $v$, $v'$, $w$, $w'$ reelle Werthe ergeben. Damit $\displaystyle \left( \frac{v'}{v} \right)^2$ und $\displaystyle \left( \frac{w'}{w} \right)^2$ nicht negativ werden, ist es nothwendig und hinreichend, dass die Gr\"{o}sse \[ (4 a^2 - (b + c)^2)(4 a^2 - (b - c)^2) \geq 0 \] sei. Es muss also $a^2$ entweder $\displaystyle \geq \left( \frac{b + c}{2} \right)^2$ oder $\displaystyle \leq \left( \frac{b - c}{2} \right)^2$ sein. Wenn $\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$, m\"{u}ssen die Gr\"{o}ssen $S$ und $T$ beide $\geq 0$ sein, damit die Gleichungen (\ref{eqn-6.2}) f\"{u}r $v$, $v'$, $w$, $w'$ reelle Werthe liefern. Man kann nun aber leicht zeigen, dass, wenn $\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$, $D$ und die beiden Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (\ref{eqn-6.7}) und (\ref{eqn-6.8}) immer positiv sind. Man hat dazu nur n\"{o}thig, $D$ in die Form zu setzen \[ a^2 (4 a^2 - (b + c)^2) + bc (2 a^2 + bc) \] und das in (\ref{eqn-6.7}) enthaltene Integral in die Form \[ \frac{\varepsilon \pi}{2 a^2 b^2 c^2} \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta^3} ((4 a^2 - c^2) s + a^2 (4 a^2 + b^2 - c^2) - b^2 c^2),\] und dann zu bemerken, dass aus $\displaystyle a \geq \frac{b + c}{2}$ die folgenden Ungleichheiten fliessen: $4 a^2 - (b + c)^2 \geq 0$, $4 a^2 - c^2 > 0$, ferner \[ 4 a^2 + b^2 - c^2 \geq (b + c)^2 + b^2 - c^2 = 2b (b + c),\] und folglich \[ a^2 (4 a^2 + b^2 - c^2) \geq 2b (b + c) a^2 \geq {\textstyle\frac{1}{2}} b (b + c)^3 > b^2 c^2.\] Aus diesen Ungleichheiten folgt, dass sowohl $D$, als das betrachtete Integral nur positive Bestandtheile hat, und dasselbe gilt auch von dem Integral auf der rechten Seite der Gleichung~(\ref{eqn-6.8}), welches aus diesem durch Vertauschung von $b$ und $c$ erhalten wird. Lassen wir nun $a$ die Werthe von $\displaystyle \frac{b + c}{2}$ bis $\infty$ durchlaufen, so wird, wenn $b > c$, $T$ immer positiv bleiben, $S$ aber nur so lange $a < b$. Die Bedingungen f\"{u}r diesen Fall sind also, wenn $b$ die gr\"{o}ssere der beiden Axen $b$ und $c$ bezeichnet, \begingroup \def\theequation{\Roman{equation}} \setcounter{equation}{0} \begin{equation} \label{eqn-6.I} \frac{b + c}{2} \leq a \leq b. \end{equation} F\"{u}r die Untersuchung des zweiten Falles, wenn $\displaystyle a^2 \leq \left( \frac{b - c}{2} \right)^2$, wollen wir annehmen, dass $b$ die gr\"{o}ssere der beiden Axen $b$ und $c$ sei, so dass $\displaystyle a \leq \frac{b - c}{2}$. Es muss dann, damit $v$, $v'$, $w$, $w'$ reell werden, $S \leq 0$ und $T \geq 0$ sein. Da aus den Ungleichheiten \[ b^2 \geq (2a + c)^2 > 4a^2 + c^2 \] hervorgeht, dass das Integral auf der rechten Seite der Gleichung~(\ref{eqn-6.8}) in unserm Falle stets negativ ist, so wird die letztere Bedingung $T \geq 0$ nur erf\"{u}llt werden, wenn $D (c^2 - a^2) \geq 0$, also $c^2$ entweder $\displaystyle < \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2}$, oder $\geq a^2$ ist. Dieser Fall spaltet sich also wieder in zwei F\"{a}lle, und diese sind, da $\displaystyle \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2} < a^2$, durch einen endlichen Zwischenraum getrennt, so dass von einem zum andern kein stetiger Uebergang stattfindet. Da das Integral in der Gleichung~(\ref{eqn-6.7}), so lange $c^2 \leq a^2$ ist, wegen der beiden Ungleichheiten $c^2 + s \leq a^2 + s$, $4 a^2 - c^2 + b^2 > b^2$ nur positiv sein kann, so reduciren sich die zu erf\"{u}llenden Bedingungen im ersten dieser F\"{a}lle auf $\displaystyle a \leq \frac{b - c}{2}$ oder \begin{equation} \label{eqn-6.II} c \leq b - 2a \quad\mbox{und}\quad c^2 < \frac{a^2 (b^2 - 4 a^2)}{b^2 - a^2} \end{equation} und im zweiten auf \begin{equation} \label{eqn-6.III} a \leq \frac{b - c}{2} \quad\mbox{und}\quad \int\limits_0^\infty \frac{s \, ds}{\Delta (b^2 + s)} \left( \frac{4 a^2 - c^2 + b^2}{c^2 + s} - \frac{b^2}{a^2 + s} \right) \leq 0. \end{equation} \endgroup Es ist leicht zu sehen, dass das Integral auf der linken Seite der letzten Ungleichheit, wenn $a$ die Werthe von $0$ bis $c$ durchl\"{a}uft, negativ bleibt, so lange $\displaystyle a \leq \frac{c}{2}$ ist, w\"{a}hrend er f\"{u}r $a = c$ einen positiven Werth annimmt; die genaue Bestimmung der Grenzen aber, innerhalb deren diese Ungleichheit erf\"{u}llt ist, h\"{a}ngt, wie man sieht, von der Aufl\"{o}sung einer transcendenten Gleichung ab. In Bezug auf das Zeichen von $\sigma$, welches bekanntlich entscheidet, ob die Bewegung ohner \"{a}ussern Druck m\"{o}glich ist, k\"{o}nnen wir bemerken, dass sich der oben gefundene Werth dieser Gr\"{o}sse in die Form \[ \frac{\varepsilon \pi}{D} \int\limits_0^\infty \frac{3 s^2 + 6 a^2 s + D}{\Delta^3} \, ds \] setzten l\"{a}sst, und also in den F\"{a}llen I und III, wo $D > 0$, jedenfalls positiv ist, f\"{u}r einen negativen Werth von $D$ aber, wenigstens so lange dieser Werth absolut genommen unter einer gewissen Grenze liegt, negativ wird. \medbreak \centerline{7.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip {\noindent \itshape \normalsize Zweiter Fall. Zwei der Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ sind gleich Null.} \nobreak\medskip Wir haben nun noch den Fall zu behandeln, wenn zwei der Gr\"{o}ssenpaare $u$,~$u'$; $v$,~$v'$; $w$,~$w'$ fortw\"{a}hrend Null sind, und also nur um eine Hauptaxe eine Rotation stattfindet. Wenn ausser $u$ und $u'$ auch $v$ und $v'$ fortw\"{a}hrend Null sind, so reduciren sich die Gleichungen (\ref{eqn-6.mu}) und (\ref{eqn-6.nu}) auf \[ (a - b)^2 w = \mathrm{const.} = \tau \quad\mbox{und}\quad (a + b)^2 w' = \mathrm{const.} = \tau' \] und die ersten drei Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) liefern daher die Gleichungen \begin{eqnarray} \frac{\tau^2}{(a - b)^3} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^3} - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 a}{dt^2} &=& \varepsilon a A - \frac{\sigma}{a}, \nonumber \\ \label{eqn-7.1} \frac{\tau^2}{(b - a)^3} + \frac{\tau'^2}{(b + a)^3} - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 b}{dt^2} &=& \varepsilon b B - \frac{\sigma}{b}, \\ - {\textstyle\frac{1}{2}} \frac{d^2 c}{dt^2} &=& \varepsilon c C - \frac{\sigma}{c}, \nonumber \end{eqnarray} welche verbunden mit \[ abc = a_0 b_0 c_0 \] die Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$ und $\sigma$ als Functionen der Zeit bestimmen. Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft giebt f\"{u}r diese Differentialgleichungen das Integral erster Ordnung \begin{equation} \label{eqn-7.2} {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{da}{dt} \right)^2 + \left( \frac{db}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2 \right) + \frac{\tau^2}{(a - b)^2} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^2} = 2 \varepsilon H + \mathrm{const.}, \end{equation} woraus unmittelbar hervorgeht, dass wenn $\tau$ nicht Null ist, die Hauptaxen $a$ und $b$ nie einander gleich werden k\"{o}nnen. Ausser den schon von \emph{Mac Laurin} und \emph{Dirichlet} untersuchten F\"{a}llen, wenn $a = b$, l\"{a}sst noch der Fall, wenn die Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ constant sind, eine Bestimmung der Bewegung in geschlossenen Ausdr\"{u}cken zu. In diesem Falle erh\"{a}lt man aus (\ref{eqn-7.1}) durch Elimination von $\sigma$ die beiden Gleichungen \begin{equation} \label{eqn-7.3} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\tau'^2}{(b + a)^3} + \frac{\tau^2}{(b - a)^3} = \frac{\varepsilon \pi}{b} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \frac{(b^2 - c^2) s}{(b^2 + s)(c^2 + s)} = K,\\ \displaystyle \frac{\tau'^2}{(b + a)^3} - \frac{\tau^2}{(b - a)^3} = \frac{\varepsilon \pi}{a} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \frac{(a^2 - c^2) s}{(a^2 + s)(c^2 + s)} = L, \end{array} \end{equation} worin die Integrale auf der rechten Seite durch $K$ und $L$ bezeichnet werden m\"{o}gen; sie lassen sich auch in die Form setzen \begin{eqnarray} \label{eqn-7.4} w'^2 &=& \frac{\tau'^2}{(b + a)^4} = \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \left( \frac{s + ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)} - \frac{c^2}{ab (c^2 + s)} \right), \\ \label{eqn-7.5} w^2 &=& \frac{\tau^2}{(b - a)^4} = \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \left( \frac{s - ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)} + \frac{c^2}{ab (c^2 + s)} \right). \end{eqnarray} Nehmen wir an, dass $b$, wie in den fr\"{u}her betrachteten F\"{a}llen, die gr\"{o}ssere der beiden Axen $a$ und $b$ bezeichne, so liefern diese beiden Gleichungen dann und auch nur dann f\"{u}r $\tau^2$ und $\tau'^2$ positive Werthe, wenn $K$ positiv und abgesehen vom Zeichen gr\"{o}sser als $L$ ist; und es ist klar, dass die erste Bedingung erf\"{u}llt ist, so lange $c < b$. Der zweiten Bedingung wird gen\"{u}gt, wenn $c = a$, also $L = 0$ ist, und folglich auch, da $K$ und $L$ sich mit $c$ stetig \"{a}ndern, innerhalb eines endlichen Gebiets zu beiden Seiten dieses Werthes. Dieses erstreckt sich aber nicht bis zu den Werthen $b$ und $0$; denn f\"{u}r $c = b$ w\"{u}rde $\tau'^2$ negativ werden, f\"{u}r ein unendlich kleines $c$ aber $\tau^2$, da dann \[ \frac{K}{c} = \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\displaystyle s^{\frac{1}{2}} (1 + s)^{\frac{3}{2}} \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} s \right)^{\frac{1}{2}}},\quad \frac{L}{c} = \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\displaystyle s^{\frac{1}{2}} (1 + s)^{\frac{3}{2}} \left( 1 + \frac{a^2}{b^2} s \right)^{\frac{1}{2}}} \] und folglich $L > K$ wird. W\"{a}chst $b$, w\"{a}hrend $a$ und $c$ endlich bleiben, in's Unendliche, so kann $L$ nur dann kleiner als $K$ bleiben, wenn zugleich $a^2 - c^2$ in's Unendliche abnimmt; beide Grenzen f\"{u}r $c$ sind also dann nur unendlich wenig von $a$ verschieden. Wenn dagegen $b$ seiner unteren Grenze $a$ unendlich nahe kommt, so convergirt die obere Grenze f\"{u}r $c$, wo $\tau'^2 = 0$ wird, gegen $a$, die untere Grenze aber gegen einen Werth, f\"{u}r welchen das Integral auf der rechten Seite von (\ref{eqn-7.5}) verschwindet. Zur Bestimmung dieses Werthes erh\"{a}lt man, wenn man $\displaystyle \frac{c}{a} = \sin \psi$ setzt, die Gleichung \[ (-5 + 2 \cos 2 \psi + \cos 4 \psi)(\pi - 2 \psi) + 10 \sin 2 \psi + 2 \sin 4 \psi = 0,\] und diese hat zwischen $\psi = 0$ und $\displaystyle \psi = \frac{\pi}{2}$ nur eine Wurzel, welche \[ \frac{c}{a} = 0,303327\ldots \] giebt. F\"{u}r $b = a$ kann freilich $c$ jeden Werth zwischen $0$ und $b$ annehmen, da dann $\tau^2$ wegen des Factors $b - a$ immer Null wird. Man erh\"{a}lt dann den von \emph{Mac Laurin} untersuchten Fall, w\"{a}hrend sich f\"{u}r $w^2 = w'^2$ die beiden von \emph{Jacobi} und \emph{Dedekind} gefundenen F\"{a}lle ergeben. Der eben behandelte Fall f\"{a}llt f\"{u}r $b = a$ mit der Falle (\ref{eqn-6.I}) des vorigen Artikels zusammen und, wenn \[ \frac{w^2 }{(b + c + 2a)(b - c + 2a)} = \frac{w'^2}{(b + c - 2a)(b - c - 2a)},\] mit dem Falle~(\ref{eqn-6.III}). Von den bisher gefundenen vier F\"{a}llen, in denen das fl\"{u}ssige Ellipsoid w\"{a}hrend der Bewegung seine Form nicht \"{a}ndert, h\"{a}ngen also diese drei F\"{a}lle stetig unter einander zusammen, w\"{a}hrend der Fall~(\ref{eqn-6.II}) isolirt bleibt. \medbreak \centerline{8.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Die Untersuchung, ob ausser diesen vier F\"{a}llen noch andere vorhanden sind, in denen die Hauptaxen w\"{a}hrend der Bewegung constant bleiben, f\"{u}hrt auf eine ziemlich weitl\"{a}ufige Rechnung, welche wir nur kurz andeuten wollen, da sie nur ein negatives Resultat liefert. Aus der Voraussetzung, dass $a$, $b$, $c$, constant sind, kann man zun\"{a}chst leicht folgern, dass $\sigma$ constant ist, indem man die drei ersten Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}), multiplicirt mit $a$, $b$, $c$, zu einander addirt und dann die Integralgleichung~\ref{eqn-4.I}, Art.~4. also den Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft, benutzt. Durch Differentiation dieser drei Gleichungen erh\"{a}lt man dann ferner, wenn man die Werthe von $\displaystyle \frac{du}{dt}$, $\displaystyle \frac{du'}{dt},\ldots$, $\displaystyle \frac{dw'}{dt}$, aus den sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) einsetzt, die drei Gleichungen \begin{eqnarray} (b - c) u ( v w - v' w' ) + (b + c) u' ( v' w - v w' ) &=& 0, \nonumber \\ \label{eqn-8.1} (c - a) v ( w u - w' u' ) + (c + a) v' ( w' u - w u' ) &=& 0, \\ (a - b) w ( u v - u' v' ) + (a + b) w' ( u' v - u v' ) &=& 0, \nonumber \end{eqnarray} von denen eine eine Folge der \"{u}brigen ist. I. Wenn nun keine von den sechs Gr\"{o}ssen $u, u',\ldots, w'$ Null ist, folgt aus diesen Gleichungen die Gleichheit der folgenden drei Gr\"{o}ssenpaare, deren Werthe wir durch $2a'$, $2b'$, $2c'$ bezeichnen wollen: \begin{eqnarray*} (a - c) \frac{v}{v'} + (a + c) \frac{v'}{v} &=& (a - b) \frac{w}{w'} + (a + b) \frac{w'}{w} = 2 a',\\ (b - a) \frac{w}{w'} + (b + a) \frac{w'}{w} &=& (b - c) \frac{u}{u'} + (b + c) \frac{u'}{u} = 2 b',\\ (c - b) \frac{u}{u'} + (c + b) \frac{u'}{u} &=& (c - a) \frac{v}{v'} + (c + a) \frac{v'}{v} = 2 c'. \end{eqnarray*} Es ergiebt sich dann $a'^2 - b'^2 = a^2 - b^2$, $b'^2 - c'^2 = b^2 - c^2$, so dass wir \[ a a - a' a' = b b - b' b' = c c - c' c' = \theta \] setzen k\"{o}nnen, und aus den drei ersten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) \[ 2 \varpi a' = \mathrm{const.},\quad 2 \chi b' = \mathrm{const.},\quad 2 \varrho c' = \mathrm{const.},\] wenn wir $v v' + w w'$, $w w' + u u'$, $u u' + v v'$ zur Abk\"{u}rzung durch $\varpi$, $\chi$, $\varrho$ bezeichnen. Aus diesen Gleichungen und der aus den Integralgleichungen \ref{eqn-4.II} und \ref{eqn-4.III} leicht herzuleitenden Gleichung \[ (a^2 - b^2)(a^2 - c^2) \varpi + (b^2 - a^2)(b^2 - c^2) \chi + (c^2 - b^2)(c^2 - b^2) \varrho = {\textstyle\frac{1}{4}} (\omega^2 - \omega_\prime^2) \] folgt, wenn nicht $a = b = c$, dass $\theta$ und folglich $u, u',\ldots, w'$ constant sein m\"{u}ssen. Es ergiebt sich aber leicht, dass dann die sechs letzten Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) nicht erf\"{u}llt werden k\"{o}nnen; und hierdurch ist, wenn nicht alle drei Axen einander gleich sind, die Unzul\"{a}ssigkeit der Annahme, dass $u, u',\ldots, w'$ s\"{a}mmtlich von Null verschieden sind, erwiesen. Die Annahme $a = b = c$ w\"{u}rde auf den Fall einer ruhenden Kugel f\"{u}hren; $u'$, $v'$, $w'$ ergeben sich $= 0$, $u$, $v$, $w$ aber bleiben ganz willk\"{u}rlich, was davon herr\"{u}hrt, dass die Lage der Axen in jedem Augenblicke willk\"{u}rlich ge\"{a}ndert werden kann. II. Es bleibt also nur die Annahme \"{u}brig, dass eine der Gr\"{o}ssen $u, u',\ldots, w'$ Null ist, und diese zieht, wie wir gleich sehen werden, immer die fr\"{u}her untersuchte Voraussetzung nach sich, dass eins der drei Gr\"{o}ssenpaare $u$, $u'$; $v$, $v'$; $w$, $w'$ verschwinde. 1. Wenn eine der Gr\"{o}ssen $u'$, $v'$, $w'$, z.~B.\ $u' = 0$ ist, folgen aus (\ref{eqn-8.1}) die Gleichungen \[ (b - c) u v w = 0,\quad (b - c) u v' w' = 0 \] und diese lassen nur eine von den folgenden Annahmen zu: erstens die fr\"{u}her untersuchte Voraussetzung, zweitens $b = c$, drittens $v = 0$ und $w' = 0$ oder $v' = 0$ und $w = 0$, was nicht wesentlich verschieden ist. Wenn $b = c$, bleibt $u$ ganz willk\"{u}rlich und kann also auch $= 0$ gesetzt werden, wodurch der fr\"{u}her untersuchte Fall eintritt. Wenn $v = 0$ und $w' = 0$, erh\"{a}lt man aus den Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) \begin{eqnarray*} (b - c - 2a) u v' w &=& 0,\\ (c + a - 2b) u v' w &=& 0,\\ (a - b + 2c) u v' w &=& 0, \end{eqnarray*} und, wenn man die erste dieser Gleichungen zur zweiten addirt, \[ - (a + b) u v' w = 0;\] es muss also ausser den Gr\"{o}ssen $u'$, $v$, $w'$ noch eine der Gr\"{o}ssen $u$, $v'$, $w$ Null sein, wodurch wieder der fr\"{u}her untersuchte Fall eintritt. 2. Wenn endlich eine der Gr\"{o}ssen $u$, $v$, $w$, z.~B. $u = 0$ ist, folgt aus den Gleichungen~(\ref{eqn-8.1}) \[ u' v' w = 0,\quad u' v w' = 0 \] und diese Gleichungen f\"{u}hren entweder zu unserer fr\"{u}heren Voraussetzung, oder zu der Annahme, $u' = v' = w' = 0$, welche von der eben untersuchten $u' = v = w' = 0$ nicht wesentlich verschieden ist, oder endlich zu der Annahme $u = v = w = 0$. Unter dieser Voraussetzung aber geben die Differentialgleichungen (\ref{eqn-3.alpha}) $v' w' = w' u' = u' v' = 0$, und es m\"{u}ssen also noch zwei von den Gr\"{o}ssen $u'$, $v'$, $w'$ Null sein, was wieder den fr\"{u}her behandelten Fall liefert. Es hat sich also ergeben, dass mit der Best\"{a}ndigkeit der Gestalt nothwendig eine Best\"{a}ndigkeit des Bewegungszustandes verbunden ist d.~h., dass allemal, wenn die fl\"{u}ssige Masse fortw\"{a}hrend denselben K\"{o}rper bildet, auch die relative Bewegung aller Theile dieses K\"{o}rpers immerfort dieselbe bleibt. Die absolute Bewegung im Raume kann man sich in diesem Falle aus zwei einfacheren zusammengesetzt denken, indem man sich zuerst der fl\"{u}ssigen Masse eine innere Bewegung ertheilt denkt, bei welcher sich die Fl\"{u}ssigkeitstheilchen in \"{a}hnlichen, parallelen und auf einem Hauptschnitte senkrechten Ellipsen bewegen, und dann dem ganzen System eine gleichf\"{o}rmige Rotation um eine in diesem Hauptschnitte liegende Axe. Wenn dieser Hauptschnitt, wie oben angenommen, senkrecht zur Hauptaxe $a$ ist, so sind die Cosinus der Winkel zwischen der Umdrehungsaxe und den Hauptaxen $0$, $\displaystyle \frac{h}{\omega}$, $\displaystyle \frac{k}{\omega}$ und die Umdrehungszeit $\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{q^2 + r^2}}$. Ferner sind $0$, $\displaystyle b \frac{h_\prime}{\omega_\prime}$, $\displaystyle c \frac{k_\prime}{\omega_\prime}$ die auf die Hauptaxen bezogenen Coordinaten des Endpunkts der augenblicklichen Rotationsaxe, und bei der innern Bewegung sind die elliptischen Bahnen der Fl\"{u}ssigkeitstheilchen der in diesem Punkte an das Ellipsoid gelegten Tangentialebene parallel, so dass ihre Mittelpunkte in dieser Rotationsaxe liegen. Die Theilchen bewegen sich in diesen Bahnen so, dass die nach den Mittelpunkten gezogenen Radienvectoren in gleichen Zeiten gleiche Fl\"{a}chen durchstreichen, und durchlaufen sie in der Zeit $\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt{q_\prime^2 + r_\prime^2}}$. \medbreak \centerline{9.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Wir kehren jetzt zur\"{u}ck zur Betrachtung der Bewegung der fl\"{u}ssigen Masse in dem Falle, wenn $u$,~$u'$; $v$,~$v'$ fortw\"{a}hrend Null sind und also nur um eine Hauptaxe eine Rotation stattfindet, und bemerken zun\"{a}chst, dass sich den Gleichungen~(\ref{eqn-7.1}) Art.~7, nach welchen sich die Hauptaxen in diesem Falle \"{a}ndern, noch eine andere anschaulichere mechanische Bedeutung geben l\"{a}sst. Man kann sie n\"{a}mlich betrachten als die Gleichungen f\"{u}r die Bewegung eines materiellen Punktes $(a, b, c)$ von der Masse~$1$, der gezwungen ist auf einer durch die Gleichung $abc = \mathrm{const.}$ bestimmten Fl\"{a}che zu bleiben und von Kr\"{a}ften getrieben wird, deren Potentialfunction der Gr\"{o}sse \[ \frac{\tau^2}{(a - b)^2} + \frac{\tau'^2}{(a + b)^2} - 2 \varepsilon H \] dem Werthe nach gleich und dem Zeichen nach entgegengesetzt ist. Bezeichnen wir diese Gr\"{o}sse mit $G$, so lassen sich die Gleichungen f\"{u}r beide Bewegungen in die Form setzen: \begin{equation} \label{eqn-9.1} \frac{d^2 a}{dt^2} \, \delta a + \frac{d^2 b}{dt^2} \, \delta b + \frac{d^2 c}{dt^2} \, \delta c + \delta G = 0 \end{equation} f\"{u}r alle unendlich kleinen Werthe von $\delta a$, $\delta b$, $\delta c$, welche der Bedingung $a b c = \mathrm{const.}$ gen\"{u}gen; und der Satz von der Erhaltung der mechanischen Kraft giebt \[ {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{da}{dt} \right)^2 + \left( \frac{db}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dc}{dt} \right)^2 \right) + G = \mathrm{const.},\] wonach der von der Form\"{a}nderung der fl\"{u}ssigen Masse unabh\"{a}ngige Theil der mechanischen Kraft $= G$ ist. Damit $a$, $b$, $c$ und folglich Form und Bewegungszustand des fl\"{u}ssigen Ellipsoids constant bleiben, wenn $\displaystyle \frac{da}{dt}$, $\displaystyle \frac{db}{dt}$, $\displaystyle \frac{dc}{dt}$ Null sind, ist es offenbar nothwendig und hinreichend, dass die Variation erster Ordnung der Function~$G$ von den ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$, zwischen welchen die Bedingung $a b c = \mathrm{const.}$ stattfindet, verschwinde, was auf die Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) oder (\ref{eqn-7.4}) und (\ref{eqn-7.5}) des Art.~7 f\"{u}hrt. Diese Best\"{a}ndigkeit des Bewegungszustandes wird aber nur eine labile sein, wenn der Werth der Function kein Minimumwerth ist; es lassen sich dann immer beliebig kleine Aenderungen des Zustandes der fl\"{u}ssigen Masse angeben, welche eine v\"{o}llige Aenderung desselben zur Folge haben. Die directe Untersuchung der Variation zweiter Ordnung f\"{u}r den Fall, wenn die Variation erster Ordnung der Function~$G$ verschwindet, w\"{u}rde sehr verwickelt werden; es l\"{a}sst sich jedoch die Frage, ob die Function f\"{u}r diesen Fall einen Minimumwerth habe, auf folgendem Wege entscheiden. Zun\"{a}chst l\"{a}sst sich leicht zeigen, dass die Function immer, welche Werthe auch $\tau^2$, $\tau'^2$ und $a$, $b$, $c$ haben m\"{o}gen, f\"{u}r ein System von Werthen der unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen ein Minimum haben m\"{u}sse; es folgt dies offenbar aus den drei Umst\"{a}nden, dass erstens die Function~$G$ f\"{u}r den Grenzfall, wenn die Axen unendlich klein oder unendlich gross werden, sich einem Grenzwerth n\"{a}hert, der nicht negativ ist, dass zweitens sich immer Werthe von $a$, $b$, $c$ angeben lassen, f\"{u}r welche $G$ negativ wird und das drittens $G$ nie negative unendlich werden kann. Diese drei Eigenschaften der Function~$G$ ergeben sich aber aus bekannten Eigenschaften der Function~$H$. Die Function~$H$ erh\"{a}lt ihren gr\"{o}ssten Werth in dem Fall, wenn die fl\"{u}ssige Masse die Gestalt einer Kugel annimmt, n\"{a}mlich den Werth $2 \pi \varrho^2$, wenn $\varrho$ den Radius dieser Kugel, also $\root 3 \of {abc}$ bezeichnet; ferner wird $H$ unendlich klein, wenn eine der Axen unendlich gross und folglich wenigstens Eine andere unendliche klein wird, jedoch so, dass, wenn $b$ in's Unendliche w\"{a}chst, $Hb$ nicht unendlich klein wird, und folglich in der Function~$G$, wenn nicht zugleich $a$ in's Unendliche w\"{a}chst, der negative Bestandtheil schliesslich immer den positiven \"{u}berwiegt. Wenn $\tau^2$ nicht Null ist, muss schon unter den Werthen von $a$, $b$, $c$, welche der Bedingung $b > a$ gen\"{u}gen, ein Werthensystem enthalten sein, f\"{u}r welches die Function ein Minimum wird; denn dann sind die obigen drei Bedingungen, aus welchen die Existenz eines Minimums folgt, schon f\"{u}r dieses Gr\"{o}ssengebiet erf\"{u}llt, da $G$ auch f\"{u}r den Grenzfall $a = b$ nicht negativ wird. Man kann nun ferner untersuchen, wie viele L\"{o}sungen die Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) Art.~7 zulassen, welche das Verschwinden der Variation erster Ordnung bedingen. Diese Untersuchung l\"{a}sst sich leicht f\"{u}hren, wenn man die Werthe der aus ihnen sich ergebenden Ausdr\"{u}cke f\"{u}r $\tau^2$ und $\tau'^2$ auch f\"{u}r complexe Werthe der Gr\"{o}ssen $a$, $b$, $c$ in Betracht zieht. Wir k\"{o}nnen jedoch diese Untersuchung in die gegenw\"{a}rtige Abhandlung nicht aufnehmen und m\"{u}ssen uns begn\"{u}gen, das Resultat derselben anzugeben, dessen wir in der Folge bed\"{u}rfen. Wenn $\tau^2$ nicht Null ist, lassen die Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) auf jeder Seite von $b = a$ nur Eine L\"{o}sung zu; die Variation erster Ordnung verschwindet also auf jeder Seite dieser Gleichung nur f\"{u}r ein Werthensystem und die Function~$G$ muss f\"{u}r dieses ihr Minimum haben, welches wir durch $G^*$ bezeichnen wollen. Wenn $\tau^2$ Null ist, verschwindet die Variation erster Ordnung immer f\"{u}r $b = a$ und einen Werth von $c$, der f\"{u}r $\tau'^2 = 0$ gleich $a$ ist und mit wachsendem $\tau'^2$ best\"{a}ndig abnimmt. Die Variation zweiter Ordnung l\"{a}sst sich f\"{u}r dieses Werthensystem leicht in die Form eines Aggregats von $(\delta a + \delta b)^2$ und $(\delta a - \delta b)^2$ setzen, und hierin ist der Coefficient von $(\delta a + \delta b)^2$ immer positiv, da die Function, wie aus den fr\"{u}heren Untersuchungen bekannt ist, unter allen Werthen, die sie f\"{u}r $b = a$ annehmen kann, hier ihren kleinsten Werth hat. Der Coefficient von $(\delta a - \delta b)^2$ aber ist \[ \frac{\varepsilon \pi}{2} \int\limits_0^\infty \frac{ds}{\Delta} \left( \frac{s - ab}{(a^2 + s)(b^2 + s)} + \frac{c^2}{ab (c^2 + s)} \right),\] also nur positiv, wenn $\displaystyle \frac{c}{a} > 0,303327\ldots$ und folglich $\tau'^2 < \varepsilon \pi \varrho^4 \mathbin{.} 8,64004\ldots$, aber negativ, wenn $\displaystyle \frac{c}{a}$ diesen Werth \"{u}berschreitet. Die Function~$G$ hat also f\"{u}r dieses Werthensystem nur im ersten Falle ein Minimum ($G^*$), und die Untersuchung der Gleichungen~(\ref{eqn-7.3}) zeigt, dass die Variation erster Ordnung dann nur f\"{u}r dieses Werthensystem verschwindet; in letztern Falle aber hat sie einen Sattelwerth; sie muss dann nothwendig noch f\"{u}r zwei Werthensysteme ein Minimum ($G^*$) haben, und aus der Untersuchung der Gleichungen (\ref{eqn-7.3}) folgt, dass die Variation erster Ordnung nur noch f\"{u}r zwei Werthensysteme verschwindet, welche durch Vertauschung von $b$ und $a$ aus einander erhalten werden. Aus dieser Untersuchung ergiebt sich also, dass in dem schon seit \emph{Mac Laurin} bekannten Falle der Rotation eines abgeplatteten Umdrehungsellipsoids um seine kleinere Axe die Best\"{a}ndigkeit des Bewegungszustandes nur labil ist, sobald das Verh\"{a}ltniss der kleinern Axe zu den andern kleiner ist als $0,303327\ldots$; bei der geringsten Verschiedenheit der beiden andern w\"{u}rde in diesem Falle die fl\"{u}ssige Masse Form und Bewegungszustand v\"{o}llig \"{a}ndern und ein fortw\"{a}hrendes Schwanken um den Zustand eintreten, welcher dem Minimum der Function~$G$ entspricht. Dieser besteht in einer gleichf\"{o}rmigen Umdrehung eines ungleichaxigen Ellipsoids um seine kleinste Axe verbunden mit einer gleichgerichteten innern Bewegung, bei welcher die Theilchen sich in einander \"{a}hnlichen zur Umdrehungsaxe senkrechten Ellipsen bewegen. Die Umlaufszeit ist dabei der Umdrehungszeit gleich, so dass jedes Theilchen schon nach einer halben Umdrehung des Ellipsoids in seine Anfangslage zur\"{u}ckkehrt. \medbreak \centerline{10.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Wenn die mechanische Kraft des Systems, \[ {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{da}{dt} \right)_0^2 + \left( \frac{db}{dt} \right)_0^2 + \left( \frac{dc}{dt} \right)_0^2 \right) + G_0 = \Omega,\] welche offenbar nicht kleiner als $G^*$ sein kann, negativ ist, so kann die Form des Ellipsoids nur innerhalb eines endlichen durch die Ungleichheit $G \leq \Omega$ begrenzten Gebiets fortw\"{a}hrend schwanken. F\"{u}r den Fall, dass $\Omega - G^*$ als unendlich klein betrachtet werden kann, k\"{o}nnen wir diese Schwankungen leicht untersuchen. Denken wir uns in der Function~$G$ f\"{u}r $c$ seinen Werth aus der Gleichung $abc = a_0 b_0 c_0$ substituirt, so giebt die Gleichung~(\ref{eqn-9.1}) des vorigen Artikels \[ \frac{d^2 a}{dt^2} - \frac{c}{a} \frac{d^2 c}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial a} = 0,\quad \frac{d^2 b}{dt^2} - \frac{c}{b} \frac{d^2 c}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial b} = 0.\] Die Werthe von $a$, $b$, $c$ k\"{o}nnen nun stets nur unendlich wenig von den Werthen, die dem Minimum von $G$ entsprechen, abweichen, und wenn wir die Abweichungen zur Zeit~$t$ mit $\delta a$, $\delta b$, $\delta c$ bezeichnen und die Glieder h\"{o}herer Ordnung vernachl\"{a}ssigen, so erhalten wir zwischen diesen die Gleichungen \begin{eqnarray} \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta c}{c} &=& 0, \nonumber \\ \label{eqn-10.1} \frac{d^2 \delta a}{dt^2} - \frac{c}{a} \frac{d^2 \delta c}{dt^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial a^2} \, \delta a + \frac{\partial^2 G}{\partial a \, \partial b} \, \delta b &=& 0, \\ \frac{d^2 \delta b}{dt^2} - \frac{c}{b} \frac{d^2 \delta c}{dt^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial b^2} \, \delta b + \frac{\partial^2 G}{\partial a \, \partial b} \, \delta a &=& 0, \nonumber \end{eqnarray} welchen man bekanntlich gen\"{u}gen kann, wenn man \[ \frac{d^2 \delta a}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta a,\quad \frac{d^2 \delta b}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta b,\] also auch \[ \frac{d^2 \delta c}{dt^2} = - \mu \mu \, \delta c \] setzt und dann die Constante $\mu \mu$ so bestimmt, dass Eine eine Folge der \"{u}brigen wird. Die letztere Bedingung f\"{u}r $\mu \mu$ kommt mit der Bedingung \"{u}berein, den Ausdruck zweiten Grades von den Gr\"{o}ssen $\delta a$, $\delta b$ \[ 2 \, \delta^2 G - \mu \mu ( \delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2) \] zu einem Quadrat eines linearen Ausdrucks von diesen Gr\"{o}ssen zu machen; und dieser gen\"{u}gen, da $\delta^2 G$ und $\delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2$ wesentlich positiv sind, immer zwei positive Werthe von $\mu \mu$, welche einander gleich werden, wenn $\delta^2 G$ und $\delta a^2 + \delta b^2 + \delta c^2$ sich nur durch einen constanten Factor unterscheiden. Diese beiden Werthe von $\mu \mu$ geben zwei L\"{o}sungen der Differentialgleichungen~(\ref{eqn-10.1}), bei denen sich $\delta a$, $\delta b$, $\delta c$ einer periodischen Function der Zeit von der Form $\sin (\mu t + \mathrm{const.})$ proportional \"{a}ndern, und aus denen sich ihre allgemeine L\"{o}sung zusammensetzen l\"{a}sst. Jede einzeln genommen liefert periodische unendlich kleine Oscillationen der Gestalt und des Bewegungszustandes. Hieraus w\"{u}rde freilich nur folgen, dass es zwei Arten von Oscillationen giebt, welche sich desto mehr periodischen n\"{a}hern, je kleiner sie sind; es ergiebt sich jedoch die Existenz von endlichen periodischen Schwingungen aus folgender Betrachtung. Wenn $\Omega$ negativ ist, muss offenbar $a$ einen und denselben Werth mehr als einmal annehmen, und betrachten wir die Bewegung von dem Augenblicke an, wo $a$ einem solchen Werth zum erstenmal annimmt, so wird die Bewegung durch die Anfangswerthe $\displaystyle \frac{da}{dt}$, $\displaystyle \frac{db}{dt}$ und $b$ v\"{o}llig bestimmt sein; es sind also auch die Werthe, welche diese Gr\"{o}ssen erhalten, wenn $a$ sp\"{a}ter wieder diesen Werth annimmt, Functionen von ihren Anfangswerthen. Diese Functionen wollen wir zusammengenommen durch $\chi$ bezeichnen. Die Bewegung wird periodisch sein, wenn ihre Werthe den Anfangswerthen gleich sind. In Folge der Gleichung $a b c = \mathrm{const.}$ und des Satzes von der lebendigen Kraft m\"{u}ssen aber, wenn $b$ und $\displaystyle \frac{da}{dt}$ ihre Anfangswerthe wieder annehmen, auch $c$, $\displaystyle \frac{db}{dt}$ und $\displaystyle \frac{dc}{dt}$ wieder ihren Anfangswerthen gleich werden. Es sind also hierzu nur zwei Bedingungen zu erf\"{u}llen; und man kann, indem man die Derivirten der Functionen $\chi$ f\"{u}r den Fall unendlich kleiner Schwingungen bildet, zeigen, dass diese Bedingungsgleichungen sich nicht widersprechen und innerhalb eines endlichen Gebiets reelle Wurzeln haben. Die Gr\"{o}ssen $a$,~$b$,~$c$ lassen sich f\"{u}r diesen Fall periodischer Schwingungen als Function der Zeit durch \emph{Fourier}'sche Reihen ausdr\"{u}cken, in welchen freilich s\"{a}mmtliche Constanten, den von \emph{Dirichlet} behandelten Fall ausgenommen, nur n\"{a}herungsweise bestimmt werden k\"{o}nnen. Dieses kann z.~B. dadurch geschehen, das man die oben f\"{u}r den Fall unendlich kleiner Schwingungen gemachte Entwicklung auf Glieder h\"{o}herer Ordnung ausdehnt. Es schien uns der M\"{u}he werth, diese Bewegungen, welche den Bewegungen, bei denen Gestalt und Bewegungszustand constant sind, an Einfachheit zun\"{a}chst stehen, wenigstens einer oberfl\"{a}chlichen Betrachtung zu unterwerfen. Wir wollen nun die Untersuchung, welche wir im vorigen Artikel f\"{u}r den Fall, wenn nur um eine Hauptaxe eine Rotation stattfindet, ausgef\"{u}hrt haben, auf alle der \emph{Dirichlet}'schen Voraussetzung gen\"{u}genden Bewegungen ausdehnen. \medbreak \centerline{11.} \setcounter{equation}{0} \nobreak\medskip Um f\"{u}r diesen Zweck die Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) in eine \"{u}bersichtlichere Form zu bringen, wollen wir statt der Gr\"{o}ssen $u, v,\ldots, w'$ die Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ einf\"{u}hren und die Bedeutung von $G$ dahin verallgemeinern, dass wir dadurch den Ausdruck \begin{eqnarray*} & &{\textstyle\frac{1}{4}} \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \mathbin{\phantom{+}} \left( \frac{g + g_\prime}{b - c} \right)^2 + \left( \frac{h + h_\prime}{c - a} \right)^2 + \left( \frac{k + k_\prime}{a - b} \right)^2 \\[12 pt] \displaystyle + \left( \frac{g - g_\prime}{b + c} \right)^2 + \left( \frac{h - h_\prime}{c + a} \right)^2 + \left( \frac{k - k_\prime}{a + b} \right)^2 \end{array} \right\} \\ & &\qquad - 2 \varepsilon \pi \int\limits_0^\infty \frac{a_0 b_0 c_0 \, ds}{\sqrt{(a^2 + s)(b^2 + s)(c^2 + s)}}, \end{eqnarray*} also auch jetzt den von der Form\"{a}nderung unabh\"{a}ngigen Theil der mechanischen Kraft bezeichnen. Es wird dann \[ \begin{array}{c} \displaystyle p = \frac{\partial G}{\partial g},\quad q = \frac{\partial G}{\partial h},\quad r = \frac{\partial G}{\partial k},\\[12 pt] \displaystyle p_\prime = \frac{\partial G}{\partial g_\prime},\quad q_\prime = \frac{\partial G}{\partial h_\prime},\quad r_\prime = \frac{\partial G}{\partial k_\prime}, \end{array} \] und die letzten sechs Differentialgleichungen~(\ref{eqn-3.alpha}) lassen sich daher in die Form setzen \begin{equation} \label{eqn-11.1} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{dg}{dt} = h \frac{\partial G}{\partial k} - k \frac{\partial G}{\partial h},\quad \frac{dg_\prime}{dt} = h_\prime \frac{\partial G}{\partial k_\prime} - k_\prime \frac{\partial G}{\partial h_\prime}, \\[12 pt] \displaystyle \frac{dh}{dt} = k \frac{\partial G}{\partial g} - g \frac{\partial G}{\partial k},\quad \frac{dh_\prime}{dt} = k_\prime \frac{\partial G}{\partial g_\prime} - g_\prime \frac{\partial G}{\partial k_\prime}, \\[12 pt] \displaystyle \frac{dk}{dt} = g \frac{\partial G}{\partial h} - h \frac{\partial G}{\partial g},\quad \frac{dk_\prime}{dt} = g_\prime \frac{\partial G}{\partial h_\prime} - h_\prime \frac{\partial G}{\partial g_\prime}, \end{array} \end{equation} w\"{a}hrend die drei ersten in \begin{eqnarray} \frac{d^2 a}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial a} - 2 \frac{\sigma}{a} &=& 0, \nonumber \\ \label{eqn-11.2} \frac{d^2 b}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial b} - 2 \frac{\sigma}{b} &=& 0, \\ \frac{d^2 c}{dt^2} + \frac{\partial G}{\partial c} - 2 \frac{\sigma}{c} &=& 0 \nonumber \end{eqnarray} \"{u}bergehen. Wir bemerken zugleich, dass aus der Integralgleichung~\ref{eqn-4.II}, wenn $\omega = 0$, drei Integralgleichungen, $g = 0$, $h = 0$, $k = 0$, folgen, d.~h., dass diese Gr\"{o}ssen immer Null bleiben, wenn sie anfangs Null sind. Dasselbe gilt nat\"{u}rlich auch von den Gr\"{o}ssen $g_\prime$, $h_\prime$, $k_\prime$. Aus den Differentialgleichungen (\ref{eqn-11.1}) und (\ref{eqn-11.2}) ist nun leicht ersichtlich, dass das Verschwinden der Variation erster Ordnung der Function~$G$ von den neun ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen $a, b,\ldots, k_\prime$, zwischen welchen die drei Bedingungen \[ a b c = \mathrm{const.},\quad g^2 + h^2 + k^2 = \omega^2,\quad g_\prime^2 + h_\prime^2 + k_\prime^2 = \omega_\prime^2 \] stattfinden, nothwendig und hinreichend ist, damit \[ \frac{d^2 a}{dt^2},\quad \frac{d^2 b}{dt^2},\quad \frac{d^2 c}{dt^2},\quad \frac{dg}{dt},\enspace\ldots,\enspace \frac{dk_\prime}{dt} \] Null werden und also Gestalt und Bewegungszustand des Ellipsoids constant bleiben, wenn $\displaystyle \frac{da}{dt}$, $\displaystyle \frac{db}{dt}$, $\displaystyle \frac{dc}{dt}$ Null sind. Die F\"{a}lle, in denen dieses stattfindet, haben wir fr\"{u}her vollst\"{a}ndig er\"{o}rtert. Es ergiebt sich nun aber auch hier wieder leicht, dass die Function~$G$ wenigstens f\"{u}r Ein System von Werthen der unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen ein Minimum haben m\"{u}sse, da sie f\"{u}r den alleinigen Grenzfall, wenn die Axen unendlich gross oder unendlich klein werden, gegen einen Grenzwerth convergirt, der nicht negativ ist, und, wie wir schon gesehen haben, immer f\"{u}r gewisse Werthe der unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen negativ wird, ohne je negativ unendlich zu werden. F\"{u}r den einem solchen Minimum entsprechenden constanten Bewegungszustand folgt aus dem Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft, dass jede der \emph{Dirichlet}'schen Voraussetzung gen\"{u}gende unendlich kleine Abweichung von demselben nur unendlich kleine Schwankungen zur Folge hat, w\"{a}hrend in jedem andern Falle die Best\"{a}ndigkeit der Gestalt und des Bewegungszustandes nur labil ist. Die Aufsuchung der einem Minimum von $G$ entsprechenden Bewegungszust\"{a}nde ist nicht bloss f\"{u}r die Bestimmung der m\"{o}glichen stabilen Formen einer bewegten fl\"{u}ssigen und schweren Masse wichtig, sondern w\"{u}rde auch f\"{u}r die Integration unserer Differentialgleichungen durch unendliche Reihen die Grundlage bilden m\"{u}ssen; wir wollen daher jetzt untersuchen, in welchen von den F\"{a}llen, wo ihre Variation erster Ordnung verschwindet, die Function~$G$ ein Minimum hat. Aus jedem von den fr\"{u}her gefundenen F\"{a}llen, in denen das Ellipsoid seine Form beh\"{a}lt, erh\"{a}lt man zwar durch Vertauschung der Axen und Aenderungen in den Zeichen der Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ mehrere Systeme von Werthen der Gr\"{o}ssen $a, b,\ldots, k_\prime$, welche das Verschwinden der Variation erster Ordnung der Function~$G$ bewirken; wir k\"{o}nnen aber diese hier zusammenfassen, da die Function~$G$ f\"{u}r alle denselben Werth hat und in Bezug auf unsere Frage von allen dasselbe gilt. Ehe wir die einzelnen F\"{a}lle betrachten, m\"{u}ssen wir ferner noch bemerken, dass die Untersuchung, wenn $\omega$ oder $\omega_\prime$ Null ist, eine besondere einfachere Gestalt annimmt, indem dann $g$, $h$, $k$ oder $g_\prime$, $h_\prime$, $k_\prime$ aus der Function~$G$ ganz herausfallen. Die fr\"{u}here Untersuchung der constanten Bewegungszust\"{a}nde giebt nur zwei wesentlich verschiedene F\"{a}lle, in denen eine dieser beiden Gr\"{o}ssen Null wird. In dem im Art.~6 behandelten Falle kann dies nur eintreten, wenn \[ \frac{w'^2}{w^2} = \frac{(2a - b - c)(2a - b + c)}{(2a + b + c)(2a + b - c)} = \left( \frac{a - b}{a + b} \right)^4,\] also der Ausdruck \begin{equation} \label{eqn-11.3} b^2 c^2 + a^2 b^2 + a^2 c^2 - 3 a^4, \end{equation} den wir durch $E$ bezeichnen wollen, Null ist; und dann ergiebt sich in der That $\omega$ oder $\omega_\prime$ gleich Null. Die Gleichung $E = 0$ liefert aber nach $a$ aufgel\"{o}st nur eine positive Wurzel, die zwischen $\displaystyle \frac{b + c}{2}$ und $b$ liegt, und kann also nur in Falle~(I) erf\"{u}llt werden. Ausser diesem Falle giebt noch der im Art.~7 untersuchte Fall $\omega$ oder $\omega_\prime$ gleich Null, wenn $\tau^2 = \tau'^2$. Es l\"{a}sst sich nun zun\"{a}chst zeigen, dass in den F\"{a}llen (I), (II) und (III) die Function~$G$ keinen Minimumwerth haben kann, weil sich immer, w\"{a}hrend $a$, $b$, $c$ constant bleiben, die Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ so \"{a}ndern lassen, dass der Werth der Function noch abnimmt. Da $g$ und $g_\prime$ Null und $h$, $h_\prime$, $k$, $k_\prime$, den Fall $E = 0$ ausgenommen, nicht Null sind, so finden zwischen den Variationen dieser Gr\"{o}ssen die Bedingungen statt \[ \delta g^2 + 2 h \, \delta h + 2 k \, \delta k = 0,\quad \delta g_\prime^2 + 2 h_\prime \, \delta h_\prime + 2 k_\prime \, \delta k_\prime = 0 \] und die Variation von $G$ wird \[ {\textstyle\frac{1}{4}} \left( \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2 + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2 \right) + \frac{\partial G}{\partial h} \, \delta h + \frac{\partial G}{\partial k} \, \delta k + \frac{\partial G}{\partial h_\prime} \, \delta h_\prime + \frac{\partial G}{\partial k_\prime} \, \delta k_\prime \] oder da \[ \frac{\partial G}{\partial h} : \frac{\partial G}{\partial k} = h : k,\quad \frac{\partial G}{\partial h_\prime} : \frac{\partial G}{\partial k_\prime} = h_\prime : k_\prime \] \begin{equation} \label{eqn-11.4} \delta G = {\textstyle\frac{1}{4}} \left( \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2 + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2 \right) - \frac{1}{2h} \frac{\partial G}{\partial h} \, \delta g^2 - \frac{1}{2h_\prime} \frac{\partial G}{\partial h_\prime} \, \delta g_\prime^2. \end{equation} Bildet man die Determinante dieses Ausdrucks zweiten Grades von $\delta g$ und $\delta g_\prime$ und substituirt darin die aus Art.~6 (\ref{eqn-6.1}) sich ergebenden Werthe \begin{equation} \label{eqn-11.5} \begin{array}{c} \displaystyle \frac{2h}{q} = b^2 + c^2 - 2 a^2 \pm \surd ( 4 a^2 - (b + c)^2 ) ( 4a^2 - (b - c)^2 ) \\[12 pt] \displaystyle \frac{2h_\prime}{q_\prime} = b^2 + c^2 - 2 a^2 \mp \surd ( 4 a^2 - (b + c)^2 ) ( 4a^2 - (b - c)^2 ) \end{array} \end{equation} und folglich $\displaystyle \frac{h h_\prime}{q q_\prime} = E$, so findet sich diese \[ = \frac{3 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2)}{4 E (b^2 - c^2)^2}.\] Sie ist also positiv im Falle~(I), wenn $E < 0$, und im Falle~(III), aber negativ im Falle~(I), wenn $E = 0$, und im Falle~(II). In den beiden ersteren F\"{a}llen kann daher der Ausdruck~(\ref{eqn-11.4}) sowohl positive, als negative Werthe annehmen, in den beiden andern aber entweder nur positive, oder nur negative. Er erh\"{a}lt aber f\"{u}r $\delta g_\prime = - \delta g$ den Werth \[ \delta g^2 \, \left( \frac{1}{(b + c)^2} - \frac{b^2 + c^2 - 2 a^2}{2E} \right),\] welcher unter den in diesen F\"{a}llen geltenden Voraussetzungen immer negativ ist, wie man leicht sieht, wenn man ihn in die Form setzt \[ - \frac{(b^2 + c^2 - 2 a^2) (b^2 + 4bc + c^2 + 2 a^2) + (4 a^2 - (b + c)^2) (4 a^2 - (b - c)^2)}{4 (b + c)^2 E} \, \delta g^2 \] und bemerkt, dass $b^2 + c^2 - 2 a^2$ stets positiv ist, wenn $E \geq 0$. Wenn eine der beiden Gr\"{o}ssen $\omega$ oder $\omega_\prime$, z.~B.\ $\omega_\prime = 0$ ist, wird die Bedingungsgleichung zwischen $\delta g_\prime$, $\delta h_\prime$, $\delta k_\prime$ \[ \delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2 + \delta k_\prime^2 = 0;\] der Ausdruck der Variation von $G$ reducirt sich folglich auf \[ \delta G = {\textstyle\frac{1}{2}} \left( \frac{b^2 + c^2}{(b^2 - c^2)^2} - \frac{q}{h} \right) \, \delta g^2 \] und aus (\ref{eqn-11.5}) erh\"{a}lt man, da $\displaystyle \frac{2 h_\prime}{q_\prime} = 0$, \[ \frac{h}{q} = b^2 + c^2 - 2 a^2. \] Durch Einsetzung dieses Werthes ergiebt sich \[ \delta G = - \frac{(b^2 + c^2) (4 a^2 - (b + c)^2) + (b - c)^2 (b^2 + 4 b c + c^2)}{ 4 (b^2 - c^2)^2 (b^2 + c^2 - 2 a^2)} \delta g^2 \] also negativ, da $b^2 + c^2 - 2 a^2$ und $4 a^2 - (b + c)^2$ in diesem Falle positiv sind. In allen diesen F\"{a}llen hat also die Function~$G$ keinen Minimumwerth, und wir haben nun nur noch den Fall des Art.~7 zu betrachten, wobei wir den singul\"{a}ren Fall, wo $b = a$ und $\tau'^2 > \varepsilon \pi \varrho^4 \mathbin{.} 8,64004\ldots$, ganz ausschliessen k\"{o}nnen. Wenn eine der beiden Gr\"{o}ssen $\omega^2$ oder $\omega_\prime^2$ Null ist, liefert dieser Fall f\"{u}r jeden gegebenen Werth der andern Gr\"{o}sse nur Einen constanten Bewegungszustand, f\"{u}r welchen $\tau^2 = \tau'^2$, und die Function~$G$ muss dann f\"{u}r diesem ihr Minimum haben. F\"{u}r je zwei gegebene von Null verschiedene Werthe von $\omega^2$ und $\omega_\prime^2$ aber liefert dieser Fall zwei constante Bewegungszust\"{a}nde der fl\"{u}ssigen Masse, die durch Vertauschung von $\tau^2$ und $\tau'^2$ in einander \"{u}bergehen; denn man kann, um $\tau^2$ und $\tau'^2$ aus $\omega^2$ und $\omega_\prime^2$ zu bestimmen, \[ \tau = \frac{\omega + \omega_\prime}{2},\quad \tau' = \frac{\omega - \omega_\prime}{2} \] setzen und dabei die Zeichen von $\omega$ und $\omega_\prime$ beliebig w\"{a}hlen. Man kann aber leicht zeigen, dass in dem einen Falle wenn $\omega$ und $\omega_\prime$ gleiche Zeichen haben und also $\tau^2$ den gr\"{o}sseren Werth hat, kein Minimum von $G$ stattfindet. Die Bedingungen aus den Variationen der Gr\"{o}ssen $g, h,\ldots, k_\prime$ sind jetzt \[ \delta g^2 + \delta h^2 + 2 k \, \delta k = 0,\quad \delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2 + 2 k_\prime \, \delta k_\prime = 0,\] und die Variation von $G$ wird daher \begin{eqnarray*} & &{\textstyle\frac{1}{4}} \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \mathbin{\phantom{+}} \left( \frac{\delta g + \delta g_\prime}{b - c} \right)^2 + \left( \frac{\delta h + \delta h_\prime}{c - a} \right)^2 \\[12 pt] \displaystyle + \left( \frac{\delta g - \delta g_\prime}{b + c} \right)^2 + \left( \frac{\delta h - \delta h_\prime}{c + a} \right)^2 \end{array} \right\} \\ & &\qquad - {\textstyle\frac{1}{4}} \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \mathbin{\phantom{+}} \left( \frac{\displaystyle 1 + \frac{\omega_\prime}{\omega}}{(a - b)^2} + \frac{\displaystyle 1 - \frac{\omega_\prime}{\omega}}{(a + b)^2} \right) (\delta g^2 + \delta h^2) \\[24 pt] \displaystyle + \left( \frac{\displaystyle 1 + \frac{\omega}{\omega_\prime}}{(a - b)^2} + \frac{\displaystyle 1 - \frac{\omega}{\omega_\prime}}{(a + b)^2} \right) (\delta g_\prime^2 + \delta h_\prime^2) \end{array} \right\}. \end{eqnarray*} Diese aber erh\"{a}lt einen negativen Werth, wenn $\omega$ und $\omega_\prime$ gleiche Zeichen haben und $\delta h = \delta h_\prime = 0$, $\delta g_\prime = - \delta g$ angenommen wird; denn es ergiebt sich \[ \delta G = \left\{ \frac{1}{(b + c)^2} - \frac{1}{(b + a)^2} + \left( \frac{1}{(b + a)^2} - \frac{1}{(b - a)^2} \right) \frac{(\omega + \omega_\prime)^2}{4 \omega \omega_\prime} \right\} \, \delta g^2 \] und hierin ist \[ \frac{1}{(b + a)^2} < \frac{1}{(b - a)^2} \quad\mbox{und auch}\quad \frac{1}{(b + c)^2} < \frac{1}{(b + a)^2},\] da f\"{u}r $c \leq a$ nach Art.~7 (\ref{eqn-7.3}) \[ \frac{\tau'^2}{(b + a)^2} \geq \frac{\tau^2}{(b - a)^2},\] folglich $\tau'^2 > \tau^2$ ist und also $\tau^2$ nur gr\"{o}sser als $\tau'^2$ sein kann, wenn $c > a$. Die Function hat also auch in diesem Falle kein Minimum und muss folglich in dem allein noch \"{u}brig bleibenden Falle ihre Minimum haben. Dieses findet demnach statt f\"{u}r die im Art.~7 betrachtete Bewegung, wenn $\tau^2 \leq \tau'^2$ (den oben angegebenen singul\"{a}ren Fall ausgenommen); und in diesem Falle w\"{u}rde daher, w\"{a}hrend in allen andern F\"{a}llen die Best\"{a}ndigkeit der Gestalt und des Bewegungszustandes nur labil ist, jede der \emph{Dirichlet}'schen Voraussetzung gen\"{u}gende unendlich kleine Aenderung in der Gestalt und dem Bewegungszustande der fl\"{u}ssigen Masse nur unendlich kleine Schwankungen zur Folge haben. Hieraus folgt freilich nicht, dass der Zustand der fl\"{u}ssigen Masse in diesem Falle stabil ist. Die Untersuchung, unter welchen Bedingungen dieses stattfindet, w\"{u}rde sich wohl, da sie auf lineare Differentialgleichungen f\"{u}hrt, mit bekannten Mitteln ausf\"{u}hren lassen. Wir m\"{u}ssen jedoch auf die Behandlung dieser Frage in dieser Abhandlung verzichten, die nur der weiteren Entwicklung des sch\"{o}nen Gedankens gewidmet ist, mit welchem \emph{Dirichlet} seine wissenschaftliche Th\"{a}tigkeit gekr\"{o}nt hat. \end{document}