\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ein Beitrag zur Elektrodynamik.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Annalen der Physik und Chemie.  Bd.~131.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Ein Beitrag zur Elektrodynamik.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Annalen der Physik und Chemie.  Bd.~131.]}

\maketitle

Der K\"{o}niglichen Societ\"{a}t erlaube ich mir eine Bemerkung
mitzutheilen, welche die Theorie der Elektricit\"{a}t und des
Magnetismus mit der des Lichts und der strahlenden W\"{a}rme in
einen nahen Zusammenhang bringt.  Ich habe gefunden, dass die
elektrodynamischen Wirkungen galvanischer Str\"{o}me sich
erkl\"{a}ren lassen, wenn man annimmt, dass die Wirkung einer
elektrischen Masse auf die \"{u}brigen nicht momentan geschieht,
sondern sich mit einer constanten (der Lichtgeschwindigkeit
innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler gleichen)
Geschwindigkeit zu ihnen fortpflanzt.  Die Differentialgleichung
f\"{u}r die Fortpflanzung der elektrischen Kraft wird bei dieser
Annahme dieselbe, wie die f\"{u}r die Fortpflanzung des Lichts
und der strahlenden W\"{a}rme.

Es seien $S$ und $S'$ zwei von constanten galvanischen
Str\"{o}men durchflossene und gegen einander nicht bewegte
Leiter, $\varepsilon$ sei ein elektrisches Massentheilschen im
Leiter~$S$, welches sich zur Zeit~$t$ im Punkte $(x,y,z)$
befinde, $\varepsilon'$ ein elektrisches Massentheilchen von $S'$
und befinde sich zur Zeit~$t$ im Punkte $(x', y', z')$.  Ueber
die Bewegung der elektrischen Massentheilchen, welche in jedem
Leitertheilchen f\"{u}r die positiv und negativ elektrischen
entgegengesetzt ist, mache ich die Voraussetzung, dass sie in
jedem Augenblicke so vertheilt sind, dass die Summen
\[ \sum \varepsilon f(x, y, z),\quad
   \sum \varepsilon' f(x', y', z'),\]
\"{u}ber s\"{a}mmtliche Massentheilchen der Leiter ausgedehnt
gegen dieselben Summen, wenn sie nur \"{u}ber die positiv
elektrischen oder nur \"{u}ber die negativ elektrischen
Massentheilchen ausgedehnt werden, vernachl\"{a}ssigt werden
d\"{u}rfen, sobald die Function~$f$ und ihre
Differentialquotienten stetig sind.

Diese Voraussetzung kann auf sehr mannigfaltige Weise erf\"{u}llt
werden.  Nimmt man z.~B.\ an, dass die Leiter in den kleinsten
Theilen krystallinisch sind, so dass sich dieselbe relative
Vertheilung der Elektricit\"{a}ten in bestimmten gegen die
Dimensionen der Leiter unendlich kleinen Abst\"{a}nden
periodisch wiederholt, so sind, wenn $\beta$ die L\"{a}nge einer
solchen Periode bezeichnet, jene Summen unendlich klein, wie
$c \beta^n$, wenn $f$ und ihre Derivirten bis zur ${(n -
1)}$\-ten Ordnung stetig sind, und unendlich klein wie
$e^{-\frac{c}{\beta}}$, wenn sie s\"{a}mmtlich stetig sind.

\medbreak

\centerline{\bfseries
Erfahrungsm\"{a}ssiges Gesetz der elektrodynamischen Wirkungen.}

\nobreak\medskip

Sind die specifischen Stromintensit\"{a}ten nach mechanischem
Mass zur Zeit~$t$ im Punkte $(x, y, z)$ parallel den drei Axen
$u$,~$v$,~$w$, und im Punkte $(x', y', z')$ $u'$,~$v'$,~$w'$, und
bezeichnet $r$ die Entfernung beider Punkte, $c$ die von
\emph{Kohlrausch} und \emph{Weber} bestimmte Constante, so ist
der Erfahrung nach das Potential der von $S$ auf $S'$
ausge\"{u}bten Kr\"{a}fte
\[ - \frac{2}{cc} \int \!\!\! \int
   \frac{u u' + v v' + w w'}{r} \, dS \, dS',\]
dieses Integral \"{u}ber s\"{a}mmtliche Elemente $dS$ und $dS'$
der Leiter $S$ und $S'$ ausgedehnt.  F\"{u}hrt man statt der
specifischen Stromintensit\"{a}ten die Producte aus den
Geschwindigkeiten in die specifischen Dichtigkeiten und dann
f\"{u}r die Producte aus diesen in die Volumelemente die  in
ihnen enthalten Massen ein, so geht dieser Ausdruck \"{u}ber in
\[ \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc}
      \frac{1}{r} \frac{d d' (r^2)}{dt \, dt},\]
wenn die Aenderung von $r^2$ w\"{a}hrend der Zeit $dt$, welche
von der Bewegung von $\varepsilon$ herr\"{u}hrt, durch $d$, und
die von der Bewegung von $\varepsilon'$ herr\"{u}hrende durch
$d'$ bezeichnet wird.

Dieser Ausdruck kann durch Hinwegnahme von
\[ \frac{\displaystyle
   d  \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc}
      \frac{1}{r} \frac{d' (r^2)}{dt}}{dt},\]
welches durch die Summirung nach $\varepsilon$ verschwindet, in
\[  - \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc}
      \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt}
      \frac{d' (r^2)}{dt} \]
und dieses wieder durch Addition von
\[ \frac{\displaystyle
   d' \sum \sum \frac{\varepsilon \varepsilon'}{cc} rr
      \frac{\displaystyle d \left( \frac{1}{r} \right)}{dt}}{dt},\]
welches durch die Summation nach $\varepsilon'$ Null wird, in
\[    \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{rr}{cc}
      \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt \, dt} \]
verwandelt werden.

\medbreak

\centerline{\bfseries
Ableitung dieses Gesetzes aus der neuen Theorie.}

\nobreak\medskip

Nach der bisherigen Annahme \"{u}ber die elektrostatische Wirkung
wird die Potentialfunction~$U$ beliebig vertheilter elektrischer
Massen, wenn $\varrho$ ihre Dichtigkeit im Punkte $(x, y, z)$
bezeichnet, durch die Bedingung
\[       \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
       - 4 \pi \varrho
   = 0,\]
und durch die Bedingung, dass $U$ stetig und in unendlicher
Entfernung von wirkenden Massen constant sei, bestimmt.  Ein
particulares Integral der Gleichung
\[       \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
   = 0,\]
welches \"{u}berall ausser dem Punkte $(x', y', z')$ stetig
bleibt, ist
\[ \frac{f(t)}{r} \]
und diese Function bildet die von Punkte $(x', y', z')$ aus
erzeugte Potentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit~$t$
die Masse $- f(t)$ befindet.

Statt dessen nehme ich nun an, dass die Potentialfunction~$U$
durch die Bedingung
\[       \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}
       - \alpha \alpha
         \left(
            \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}
          + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}
          + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2}
         \right)
       + \alpha \alpha \,  4 \pi \varrho
   = 0 \]
bestimmt wird, so dass die vom Punkte $(x', y', z')$ aus erzeugte
Potentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit~$t$ die Masse
$- f(t)$ befindet,
\[ = \frac{\displaystyle f \left( t - \frac{r}{\alpha} \right)}{r} \]
wird.

Bezeichnet man die Coordinaten der Masse $\varepsilon$ zur
Zeit~$t$ durch $x_t$,~$y_t$,~$z_t$, und die Masse $\varepsilon'$
zur Zeit $t'$ durch $x'_{t'}$,~$y'_{t'}$,~$z'_{t'}$, und setzt
zur Abk\"{u}rzung
\[    \left(
         (x_t - x'_{t'})^2
       + (y_t - y'_{t'})^2
       + (z_t - z'_{t'})^2
      \right)^{-\frac{1}{2}}
   = \frac{1}{r(t,t')} = F(t, t'),\]
so wird nach dieser Annahme das Potential von $\varepsilon$ auf
$\varepsilon'$ zur Zeit~$t$
\[ = - \varepsilon \varepsilon'
         F \left( t - \frac{r}{\alpha}, t \right).\]
Das Potential der von s\"{a}mmtlichen Massen $\varepsilon$ des
Leiters~$S$ auf die Massen $\varepsilon'$ des Leiters $S'$ von
der Zeit~$0$ bis zur Zeit~$t$ ausge\"{u}bten Kr\"{a}fte wird
daher
\[ P = - \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         F \left( t - \frac{r}{\alpha}, \tau \right) \, d\tau,\]
die Summen \"{u}ber s\"{a}mmtliche Massen beider Leiter
ausgedehnt.

Da die Bewegung f\"{u}r entgegengesetzt elektrische Massen in
jedem Leitertheilchen entgegengesetzt ist, so erlangt die
Function $F(t, t')$ durch die Derivation nach $t$ die
Eigenschaft, mit $\varepsilon$, und durch die Derivation nach
$t'$ die Eigenschaft, mit $\varepsilon'$ ihr Zeichen zu
\"{a}ndern.  Bei der vorausgesetzten Vertheilung der
Elektricit\"{a}ten wird daher, wenn man die Derivationen nach $t$
durch obere und nach $t'$ durch untere Accente bezeichnet,
$\sum \sum \varepsilon \varepsilon' F^{(n)}_{n'} (\tau, \tau)$,
\"{u}ber s\"{a}mmtliche elektrische Massen ausgedehnt, nur dann
nicht unendlich klein gegen die \"{u}ber die elektrischen Massen
einer Art erstreckte Summe, wenn $n$ und $n'$ beide ungerade sind.

Man nehme nun an, dass die elektrischen Massen w\"{a}hrend der
Fortpflanzungszeit der Kraft von einem Leiter zum anderen nur
einen  sehr kleinen Weg zur\"{u}cklegen, und betrachte die
Wirkung w\"{a}hrend eines Zeitraums, gegen welchen die
Fortpflanzungszeit verschwindet.  In dem Ausdrucke von $P$ kann
man dann zun\"{a}chst
\[ F \left( \tau - \frac{r}{\alpha}, \tau \right) \]
durch
\[ F \left( \tau - \frac{r}{\alpha}, \tau \right)
      - F( \tau, \tau)
   = - \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}}
         F'( \tau - \sigma, \tau) \, d\sigma \]
ersetzen, da
$\sum \sum \varepsilon \varepsilon' F (\tau, \tau)$
vernachl\"{a}ssigt werden darf.  Man erh\"{a}lt dadurch
\[ P =   \int\limits_0^t d \tau \, \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}}
         F'( \tau - \sigma, \tau) \, d\sigma,\]
oder wenn man die Ordnung der Integration umkehrt und
$\tau + \sigma$ f\"{u}r $\tau$ setzt,
\[ P =   \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \,
         \int\limits_{-\sigma}^{t - \sigma} d \tau \,
         F'( \tau, \tau + \sigma ).\]

Verwandelt man die Grenzen des innern Integrals in $0$ und $t$,
so wird dadurch an der obern Grenze der Ausdruck
\[ H(t) = \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \,
         \int\limits_{-\sigma}^0 d \tau \,
         F'( t + \tau, t + \tau + \sigma ) \]
hinzugef\"{u}gt, und an der untern Grenze der Werth dieses
Ausdrucks f\"{u}r $t = 0$ hinweggenommen.  Man hat also
\[ P =   \int\limits_0^t d\tau \,
         \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \int\limits_0^{\frac{r}{\alpha}} d \sigma \,
         F'( \tau, \tau + \sigma )
       - H(t) + H(0).\]

In diesem Ausdruck kann man $F'(\tau, \tau + \sigma)$ durch
$F'(\tau, \tau + \sigma) - F'(\tau, \tau)$
ersetzen, da
\[ \sum \sum \varepsilon \varepsilon' \frac{r}{\alpha} F'(\tau, \tau) \]
vernachl\"{a}ssigt werden darf.  Man erh\"{a}lt dadurch als
Factor von $\varepsilon \varepsilon'$ einen Ausdruck, der sowohl
mit $\varepsilon$ als mit $\varepsilon'$ sein Zeichen \"{a}ndert,
so dass sich bei den Summationen die Glieder nicht gegen einander
aufheben, und unendlich kleine Bruchtheile der einzelnen Glieder
vernachl\"{a}ssigt werden d\"{u}rfen.  Es ergiebt sich daher,
indem man
\[ F'( \tau, \tau + \sigma ) - F'( \tau, \tau )
   \mbox{ durch }
   \sigma \frac{\displaystyle
         d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau} \]
ersetzt und die Integration nach $\sigma$ ausf\"{u}hrt, bis auf
einen zu vernachl\"{a}ssigenden Bruchteil
\[ P =   \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \frac{rr}{2 \alpha \alpha} \frac{\displaystyle
         d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau}
         \, d \tau - H(t) + H(0).\]

Es ist leicht zu sehen, dass $H(t)$ und $H(0)$ vernachl\"{a}ssigt
werden d\"{u}rfen; denn es ist
\[ F'(t + \tau, t + \tau + \sigma)
   =  \frac{\displaystyle
         d    \left( \frac{1}{r} \right)}{dt}
    + \frac{\displaystyle
         d^2  \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2} \tau
    + \frac{\displaystyle
         d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2} (\tau + \sigma)
    + \cdots,\]
folglich:
\[ H(t)
   = \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
      \left(
         \frac{rr}{2\alpha \alpha}
         \frac{\displaystyle d    \left( \frac{1}{r} \right)}{dt}
       - \frac{r^3}{6\alpha^3}
         \frac{\displaystyle d^2  \left( \frac{1}{r} \right)}{dt^2}
       + \frac{r^3}{6\alpha^3}
         \frac{\displaystyle d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{dt \, dt}
       + \cdots
      \right).\]
Hierin aber ist nur das erste Glied des Factors von
$\varepsilon \varepsilon'$
mit dem Factor in dem ersten Bestandtheile von $P$ von gleicher
Ordnung, und dieses liefert wegen der Summation nach
$\varepsilon'$ nur einen zu vernachl\"{a}ssigenden Bruchtheil
desselben.

Der Werth von $P$, welcher sich aus unserer Theorie ergiebt,
stimmt mit dem erfahrungsm\"{a}ssigen
\[ P = \int\limits_0^t \sum \sum \varepsilon \varepsilon'
         \frac{rr}{cc}
         \frac{\displaystyle
            d d' \left( \frac{1}{r} \right)}{d\tau \, d\tau}
         \, d\tau \]
\"{u}berein, wenn man
$\alpha \alpha = {\textstyle\frac{1}{2}} cc$
annimmt.

Nach der Bestimmung von \emph{Weber} und \emph{Kohlrausch} ist
\[ c = 439450 \cdot 10^6
         \frac{\mathrm{Millimeter}}{\mathrm{Secunde}},\]
woraus sich $\alpha$ zu 41949 geographischen Meilen in der
Secunde ergiebt, w\"{a}hrend f\"{u}r die Lichtgeschwindigkeit von
\emph{Busch} aus \emph{Bradley}'s Aberrationsbeobachtungen 41994
Meilen, und von \emph{Fizeau} durch directe Messung 41882 Meilen
gefunden worden sind.

\end{document}