\documentclass[a4paper,12pt,leqno]{article}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il
d\`{\i} 21 Gennaio 1864 al Sig.\ Professore Enrico Betti.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Annali di Matematica, Ser.~1, T.~VII., pp. 281--283.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

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\title{Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il
d\`{\i} 21 Gennaio 1864 al Sig.\ Professore Enrico Betti.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Annali di Matematica, Ser.~1, T.~VII., pp. 281--283.]}

\maketitle

Carissimo Amico

\dots\ Per trovare l'attrazione di un cilindro omogeneo retto
ellisoidale qual\-unque, io considero, introducendo coordinate
rettangolari $x$,~$y$,~$z$, il cilindro infinito limitato della
diseguaglianza:
\[ 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} > 0 \]
ripieno di massa di densit\`{a} costante $+1$, se $z < 0$, e di
densit\`{a} $-1$, se $z > 0$.  Allora se poniamo, come \`{e}
solito, il potenziale nel punto $x$,~$y$,~$z$ eguale a $V$ e:
\[    \frac{\partial V}{\partial x} = X,\quad
      \frac{\partial V}{\partial y} = Y,\quad
      \frac{\partial V}{\partial z} = Z,\]
si ha per $z = 0$, $V = 0$, $X = 0$, $Y = 0$.

$Z$ \`{e} eguale al potenziale dell'ellisse:
\[ 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} > 0 \]
colla densit\`{a} $2$, e si trova col metodo di \emph{Dirichlet},
se denotiomo con $\sigma$ la radice maggiore dell'equazione:
\[ 1 - \frac{x^2}{a^2 + s} - \frac{y^2}{b^2 + s} - \frac{z^2}{s}
   = F = 0,\]
e
\[ \sqrt{\left( 1 + \frac{s}{a^2} \right)
      \left( 1 + \frac{s}{b^2} \right) s} \]
con $D$:
\[ 4 \int\limits_\sigma^\infty \frac{\sqrt{F} \, ds}{D}.\]
$X$ ed $Y$ si possono determinare dalle equazioni:
\[ \frac{\partial X}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial x},\quad
   \frac{\partial Y}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial y} \]
e dalle condizioni:
\[ X = 0,\quad Y = 0 \]
per $z = 0$.

Per effettuare questa determinazione conviene di sostituire
invece di
$4 \int\limits_\sigma^\infty$, $2 \int\limits_\infty^\infty$
esteso per il contorno intero di un pezzo del Piano degli $s$,
che contiene il valore $\sigma$ senza contenere verun altro
valore di diramazione o di discontinuit\`{a} della funzione sotto
il segno integrale.  Se  denotiamo le radici di $F = 0$ in ordine
di grandezza con $\sigma$, $\sigma'$, $\sigma''$ questi valori
sono tutti reali e in ordine di grandezza:
\[ \sigma,\quad 0,\quad \sigma',\quad -b^2,\quad \sigma'',\quad -a^2,\]
in modo che:
\[ \sigma > 0 > \sigma' > - b^2 > \sigma'' > - a^2.\]
Posto:
\[ F = t - \frac{z^2}{s},\]
viene
\[ Z = 2 \int\limits_\infty^\infty \frac{\sqrt{ts - z^2}}{D \sqrt{s}} \, ds,\]
\[ \frac{\partial X}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial x}
   = \int\limits_\infty^\infty \frac{\displaystyle
         s \frac{\partial t}{\partial x}
         (ts - z^2)^{-\frac{1}{2}}}{D \sqrt{s}} \, ds;\]
ma:
\[ \int\limits_0^z (ts - z^2)^{-\frac{1}{2}} \, dz
   = \int\limits_0^{\textstyle \frac{z}{\sqrt{ts}}}
         (1 - \xi^2)^{-\frac{1}{2}} \, d\xi
   = \int\limits_0^{\textstyle \frac{z}{\sqrt{ts}}}
         \left( \frac{1}{\xi^2} - 1 \right)^{-\frac{1}{2}}
         \, d \log \xi,\]
e:
\[ \frac{\displaystyle s \frac{\partial t}{\partial x} \, ds}{D \sqrt{s}}
   = - 2 a b x (a^2 + s)^{-\frac{3}{2}} (b^2 + s)^{-\frac{1}{2}} \, ds
   = \frac{4 a b x}{b^2 - a^2} \, d \sqrt{\frac{b^2 + s}{a^2 + s}}.\]
Dunque si trova per integrazione parziale:
\[ X = \frac{2 a b x z}{b^2 - a^2}
         \int\limits_\infty^\infty \sqrt{\frac{b^2 + s}{a^2 + s}} \,
         (ts - z^2)^{-\frac{1}{2}} \, d \log ts.\]
Se si prende la via dell' integrazione come nella espressione di
$Z$ il valore dell' integrale sodisfa sempre alla condizione:
\[ \frac{\partial X}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial x};\]
ma pu\`{o} differire di funzioni di $x$ e di $y$, la funzione
sotto segno integrale essendo discontinua anche per $t = 0$.
Dunque occorre una determinazione olteriore della via dell'
integrazione.

Nella espressione di
$\displaystyle \frac{\partial X}{\partial z}
   = \frac{\partial Z}{\partial x}$
la funzione sotto segno integrale \`{e} continua per $s = 0$;
dunque il pezzo del piano degli $s$, per il cui contorno
l'integrale \`{e} esteso, deve contenere $s = \sigma$ e pu\`{o}
contenere o no $s = 0$, ma nessuno altro dei valori supra notati.
Nella espressioni di $X$ questo pezzo deve essere determinato in
modo che $X$ sia $= 0$ per $z = 0$: e affinch\`{e} ci\`{o}
avvenga, dovendo contenere $s = \sigma$, deve anche contenere la
maggiore radice di $ts = 0$ (la quale \`{e} la maggiore radice di
$t = 0$, se
\[ 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} < 0,\]
ed \`{e} $= 0$, se:
\[ 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} > 0)\]
ma nessun altra radice di $ts = 0$.  Perch\`{e} per $z = 0$ le
radici di $F = 0$ coincidono colle radici di $ts = 0$, e se la
via dell' integrazione passasse \emph{tra} due valori di
discontinuit\`{a} che coincidono per $z = 0$, doverebbe per
$z = 0$ passare per questo valore in modo che l'integrale nella
espressione di $X$ diverrebbe infinito ed il valore nonostante il
fattore $z$ rimarrebbe finito.\,\dots

\begin{flushright}
Vostro aff${}^{\mathrm{mo}}$ Amico \emph{Riemann}.
\end{flushright}

\end{document}