% This paper has been transcribed in Plain TeX by % David R. Wilkins % School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland % (dwilkins@maths.tcd.ie) % % Trinity College, 1st June 1999. \magnification=\magstep1 \vsize=227 true mm \hsize=170 true mm \voffset=-0.4 true mm \hoffset=-5.4 true mm \def\folio{\ifnum\pageno>0 \number\pageno \else\fi} \font\Largebf=cmbx10 scaled \magstep2 \font\largerm=cmr12 \font\largeit=cmti12 \pageno=0 \null\vskip72pt \centerline{\Largebf SUR UN M\'{E}MOIRE DE M.~PLANA} \vskip24pt \centerline{\Largebf By} \vskip24pt \centerline{\Largebf William Rowan Hamilton} \vskip24pt \centerline{\largerm (Correspondance Math\'{e}matique et Physique, tome~8 (1834), pp. 27--30.)} \vskip36pt \vfill \centerline{\largerm Transcribed by David R. Wilkins} \vskip 12pt \centerline{\largerm 1999} \vskip36pt\eject \null\vskip36pt {\largeit\noindent Remarques de M.~Hamilton, Directeur de l'Observatoire de Dublin, sur un M\'{e}moire de M.~Plana ins\'{e}r\'{e} dans le Tome~VII de la Correspondance Math. (Extrait d'une Lettre).} \bigskip \centerline{[{\it Correspondance Math\'{e}matique et Physique}, 8 (1834), pp. 27--30.]} \bigbreak Les recherches de M.~Plana sur les rayons r\'{e}fract\'{e}s ne paraissent pas termin\'{e}es dans la livraison\footnote{*}{2${}^{\rm e}$ livraison.} que j'ai vue; mais sa difficult\'{e} est clairement \'{e}tablie dans cette livraison pour le cas des rayons r\'{e}fract\'{e}s, et si on ne pouvait la vaincre pour ce cas important, elle serait une fatale objection contre le th\'{e}or\`{e}me des trajectoires othogonales. M.~Plana, lui-m\^{e}me, para\^{\i}t cependant regarder ce th\'{e}or\`{e}me comme vrai, et il soup\c{c}onne en cons\'{e}quence qu'il y a dans son analyse quelque vice radical,\footnote\dag{``Il y a dans l'analyse pr\'{e}c\'{e}dente un vice radical, qui \'{e}chappe \`{a} toutes mes r\'{e}flexions.'' M\'{e}m.\ pag.~99.} qu'il n'a pu reconna\^{\i}tre. S'il me fait l'honneur de lire les remarques suivantes, il sera convaincu, je crois, que ce soup\c{c}on n'est pas fond\'{e}, et que son analyse ne demande qu'\`{a} \^{e}tre pouss\'{e}e un peu plus loin, afin de d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me avec lequel elle para\^{\i}t en opposition. M.~Plana d\'{e}signe par $x$~$y$~$z$, les coordonn\'{e}es du point sur une surface r\'{e}fl\'{e}chissante $$z = f(x, y),\quad dz = p \, dx + q \, dy,$$ o\`{u} la surface est rencontr\'{e}e par un rayon incident issu normalement d'un point $x'$~$y'$~$z'$ d'une certaine autre surface $$z' = F(x', y'),\quad dz' = p' \, dx' + q' \, dy';$$ de mani\`{e}re qu'en d\'{e}signant par $r$ la portion intercept\'{e}e de ce rayon, il a $$r^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2, \leqno {\rm (II)}$$ et $$\left. \eqalign{ x - x' + p' \, (z - z') &= 0,\cr y - y' + q' \, (z - z') &= 0.\cr} \right\} \eqno {\rm (n)}$$ Il consid\`{e}re $x'$, $y'$ et par suite $z'$, $r$ comme fonctions des deux variables ind\'{e}pendantes $x$,~$y$ d\'{e}termin\'{e}es par les \'{e}quations pr\'{e}c\'{e}dentes, et prouve qu'elles donnent par la diff\'{e}rentiation $$r {dr \over dx} = x - x' + p (z - z'), \leqno {\rm (III)}$$ $$r {dr \over dy} = y - y' + q (z - z'). \leqno {\rm (IV)}$$ Il pose, par abr\'{e}viation, $$a' = {x - x' \over z - z'},\quad b' = {y - y' \over z - z'}, \leqno {\rm (a)}$$ et il suppose, pour simplifier, que le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le point $x$~$y$~$z$ coincide avec l'axe des $z$; auqel cas, il prouve qu'on a $$\eqalign{ a' (1 + p^2 + q^2) + 2p (1 - a' p - b' q) &= 0,\cr b' (1 + p^2 + q^2) + 2q (1 - a' p - b' q) &= 0;\cr} \leqno {\rm (b)}$$ et finalement il d\'{e}duit, comme la condition de l'orthogonalit\'{e} des surfaces d\'{e}veloppables form\'{e}es par les rayons r\'{e}fl\'{e}chis, une \'{e}quation qui peut \^{e}tre exprim\'{e}e ainsi: $$2q ( p + a') {dx' \over dx} + (2 b' q - 1 - p^2 + q^2) {dy' \over dx} = 2p ( q + b') {dy' \over dy} + (2 a' p - 1 - q^2 + p^2) {dx' \over dy}:\footnote{\hbox{*}}{Ce coefficient diff\'{e}rentiel partiel est $\displaystyle {dy' \over dx}$ dans la livraison (page 98 derni\`{e}re ligne) mais \'{e}videmment par une erreur typographique.} \leqno {\rm (c)}$$ mais M.~Plana ne voit pas de preuve analytique que cette \'{e}quation soit vraie, except\'{e} dans des cas particuliers. Pour \'{e}carter cette difficult\'{e}, j'observe que les \'{e}quations (n) de M.~Plana combin\'{e}es avec les \'{e}quations d\'{e}finitives (a) et avec la formule $dz' = p' \, dx' + q \, dy'$, donnent $$dz' = - (a' \, dx' + b' \, dy');$$ si l'on diff\'{e}rentie l'\'{e}quation (IV) par rapport \`{a} $x$, et l'\'{e}quation (III) par rapport \`{a} $y$, on trouve en comparant $$\eqalign{ r {d^2 r \over dx \, dy} + {dr \over dx} {dr \over dy} - (z - z') {d^2 z \over dx \, dy} - pq &= a' q {dx' \over dx} + (b' q - 1) {dy' \over dx} \cr &= b' p {dy' \over dy} + (a' p - 1) {dx' \over dy}:\cr} \leqno {\rm (e)}$$ d'o\`{u} il suit facilement, \`{a} cause de (b), que l'\'{e}quation (c) est vraie,\footnote\dag{(c) et (e) peuvent s'\'{e}crire, \`{a} cause de (b), $$2pq {dx' \over dx} +(1 - p^2 + q^2) {dy' \over dx} = 2pq {dy' \over dy} + (1 - q^2 + p^2) {dx' \over dy}.$$} et qu'ainsi les surfaces d\'{e}veloppables des rayons r\'{e}fl\'{e}chis sont en g\'{e}n\'{e}ral perpendiculaires les unes aux autres; ou, en d'autres termes, que les rayons r\'{e}fl\'{e}chis sont en g\'{e}neral normaux \`{a} une surface, quand les rayons incidens sont normaux \`{a} une autre. En compl\'{e}tant ainsi l'analyse de M.~Plana sur ce point important, j'ai cru devoir, par l'estime que je lui porte, adopter sa m\'{e}thode et sa notation. La marche que je suis pour d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de Huyghens, sur l'existence d'une s\'{e}rie des surfaces perpendiculaires aux rayons d'un syst\`{e}me ordinaire homog\`{e}ne quelconque, est d'apr\`{e}s l'expression fondamentale que j'ai \'{e}tablie pour la variation de ma {\it fonction caract\'{e}ristique\/}~$V$,\footnote*{Dans un des num\'{e}ros suivans de la {\it Correspondance}, nous donnerons un aper\c{c}u des travaux analytiques de M.~Hamilton sur l'optique.} la suivante $$\delta V = \delta \int v \, ds = {\delta v \over \delta \alpha} \, \delta x + {\delta v \over \delta \beta} \, \delta y + {\delta v \over \delta \gamma} \, \delta z;$$ \'{e}quation dans laquelle $x$~$y$~$z$ sont les coordonn\'{e}es rectangulaires d'un point quelconque sur un rayon quelconque du syst\`{e}me; et $\alpha$~$\beta$~$\gamma$ sont les cosinus des angles du rayon avec les demi-axes positifs de ses coordonn\'{e}es; tandis que $v$ est la vitesse corpusculaire le long du rayon, exprim\'{e}e comme une fonction homog\`{e}ne de la premi\`{e}re dimension des cosinus de la direction $\alpha$~$\beta$~$\gamma$. Dans le fait, pour des syst\`{e}mes ordinaires, cette formule g\'{e}n\'{e}rale se r\'{e}duit \`{a} la suivante: $$\delta V = v (\alpha \, \delta x + \beta \, \delta y + \gamma \, \delta z),$$ et elle montre que les rayons d'un pareil syst\`{e}me sont perpendiculaires \`{a} chacune de ces surfaces pour lesquelles ma fonction $V$ est \'{e}gale \`{a} toute quantit\'{e} constante. Dans la th\'{e}orie ondulatoire de la lumi\`{e}re, les surfaces perpendiculaires sont des ondes. Quand les rayons d'un syst\`{e}me ordinaire sont incidens sur un cristal, les rayons r\'{e}fract\'{e}s extraordinaires ne sont pas en g\'{e}n\'{e}ral perpendiculaires aux ondes ni \`{a} aucune autre surface commune; les rayons extraordinaires ont, cependant, des surfaces perpendiculaires das une certaine classe de cas, d\'{e}termin\'{e} par une \'{e}quation diff\'{e}rentielle partielle du second ordre, que j'ai pu int\'{e}grer pour les cristaux \`{a} un axe. Quelle que puisse \^{e}tre la disposition des rayons dans le cristal, ils deviennent de nouveau perpendiculaires aux surfaces pour lesquelles ma fonction~$V$ est constante, quand ils \'{e}mergent dans un milieu ordinaire. \bigskip \line{{\it Observatoire de Dublin,}\hfill} \line{\qquad {\it le\/} 16 {\it ao\^{u}t} 1833.\hfill} \bye